Transcription
இது ஒரு மிக சுவாரஸ்யமான பிரச்சனை. நாம் 3-ன் அடுக்கு பை மற்றும் பை-ன் அடுக்கு 3 ஆகியவற்றை ஒப்பிட்டு, எது பெரியது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். தீர்வைக் காணும் முன், உங்களால் இதைத் தனியாகச் செய்ய முடியுமா, உங்கள் பதிலை கருத்துகளில் எனக்குத் தெரியப்படுத்துங்கள்? கால்குலேட்டர்களைப் பயன்படுத்த வேண்டாம். சரி, இரண்டு எண்களையும் நேரடியாக ஒப்பிடுவது எளிதல்ல என்பதால், அவற்றை எளிதாக்கி ஒப்பிடுவதற்கு ஒரு புத்திசாலித்தனமான முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். உங்களுக்குத் தெரியுமா? a-ன் அடுக்கு b மற்றும் b-ன் அடுக்கு a போன்ற கோவைகளை நாம் நேரடியாக ஒப்பிட முடியாது. எனவே, ஒரு மிக பயனுள்ள முறை என்னவென்றால், இருபுறமும் இயற்கணித மடக்கை (natural logarithm) அல்லது அடிமானம் e கொண்ட மடக்கையை எடுப்பது. இது அடுக்குகளைக் கீழே கொண்டு வர உதவுகிறது மற்றும் ஒப்பீட்டை எளிதாக்குகிறது. எனவே, இருபுறமும் மடக்கையை எடுப்போம். 3-ன் அடுக்கு பை-ன் மடக்கை என்பது பை பெருக்கல் மடக்கை 3 ஆகும். மற்றும் பை-ன் அடுக்கு 3-ன் மடக்கை என்பது 3 பெருக்கல் மடக்கை பை ஆகும். இப்போது, ஒரு காரியம் செய்யுங்கள். இருபுறமும் 3 பெருக்கல் பை ஆல் வகுக்கவும். இது ஒரு நேர்மறை எண் என்பதால், இறுதி ஒப்பீடு மாறாது. வகுத்த பிறகு, ஒருபுறம் மடக்கை 3 வகுத்தல் 3 மற்றும் மறுபுறம் மடக்கை பை வகுத்தல் பை கிடைக்கும். இப்போது, இங்கே தான் மேஜிக் வருகிறது. இதை நன்றாகப் புரிந்துகொள்ள ஒரு சார்பை வரையறுப்போம். f(x) என்பது மடக்கை x வகுத்தல் x என இருக்கட்டும். எனவே, இதைச் செய்வதன் மூலம், நமது பிரச்சனை இப்போது f(3) ஐ ஒப்பிடுவதாகக் குறைகிறது, இது இதுவாக இருக்கும், மற்றும் f(பை) ஐ ஒப்பிடுவதாகக் குறைகிறது, இது இதுவாக இருக்கும். அடுத்த படியில், இந்த சார்பு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் படிப்போம். அதைச் செய்ய, நுண்கணிதத்தைப் (calculus) பயன்படுத்தி இந்த சார்பின் வகைக்கெழுவைக் (derivative) கண்டறிவோம். வகைக்கெழுக்களுக்கான வகுத்தல் விதியைப் (quotient rule) பயன்படுத்தி, மடக்கை x வகுத்தல் x இன் வகைக்கெழு 1 கழித்தல் மடக்கை x வகுத்தல் x வர்க்கம் என வருகிறது. வகைக்கெழுவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கவும். 1 கழித்தல் மடக்கை x சமம் பூஜ்ஜியம். இது மடக்கை x சமம் 1 எனத் தருகிறது. எனவே, x சமம் e எனப் பெறுகிறோம். எனவே, சார்பு ஒரு நெருக்கமான புள்ளியைக் (critical point) கொண்டுள்ளது, அதாவது e இல் ஒரு பெருமம் (maxima) அல்லது சிறுமம் (minima) உள்ளது. இது சிறுமமா அல்லது பெருமமா என்பதைக் கண்டறிய, இந்த சார்பை இருமுறை வகைக்கெழு (double differentiate) செய்வோம். மீண்டும், வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி, f இன் இருமுறை வகைக்கெழு இதுவாக வருகிறது. இங்கே x சமம் e ஐப் பிரதியிடவும், இது 2 கழித்தல் 3 வகுத்தல் e கனம் ஆகிறது, இது பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவு. f இன் இருமுறை வகைக்கெழு எதிர்மறையாக இருப்பதால், x சமம் e இல் ஒரு பெருமம் கிடைக்கிறது. எனவே, ஒட்டுமொத்தமாக, இந்த சார்பு x சமம் e வரை அதிகரித்து பின்னர் e க்குப் பிறகு குறைகிறது என்று அர்த்தம். இப்போது, நமது எண்களைக் கவனியுங்கள். இது 3, மற்றும் பை தோராயமாக 3.14 ஆகும். இரண்டும் e ஐ விடப் பெரியவை, இது தோராயமாக 2.72 ஆகும். எனவே, இரண்டு மதிப்புகளும் சார்பின் குறையும் பகுதியில் அமைந்துள்ளன. இப்போது, ஒரு சார்பு குறைந்து கொண்டிருந்தால், ஒரு பெரிய உள்ளீடு ஒரு சிறிய வெளியீட்டைக் கொடுக்கும். பை 3 ஐ விடப் பெரியது என்பதால், f(பை) ஆனது f(3) ஐ விடக் குறைவு. இதன் பொருள் மடக்கை 3 வகுத்தல் 3 ஆனது மடக்கை பை வகுத்தல் பை ஐ விடப் பெரியது. இதன் பொருள் பை பெருக்கல் மடக்கை 3 ஆனது 3 பெருக்கல் மடக்கை பை ஐ விடப் பெரியது. எனவே, அசல் ஒப்பீட்டிற்குத் திரும்பிச் சென்றால், 3-ன் அடுக்கு பை ஆனது பை-ன் அடுக்கு 3 ஐ விடப் பெரியது என்று பெறுகிறோம். அதுதான். நுண்கணிதம் மிகவும் அருமையாக இல்லையா? இந்த வீடியோவை நீங்கள் ரசித்திருந்தால், தயவுசெய்து எங்கள் சேனலை விரும்புவதையும், பகிர்வதையும், குழுசேர்வதையும் மறக்க வேண்டாம். மிகவும் அருமை.