رياضيات السادس العلمي || محاضره 1 || مقدمة العدد التخيلي|| الفصل الاول

بسم الله الرحمن الرحim.

Selamünaleyküm ve rahmetullahi ve berekatüh.

Altıncı sınıf bilimsel öğrencileri, kahramanlar! Umarım iyisinizdir ve sizin için iyi bir yıl, sizin o güzel yüzleriniz gibi güzel bir başlangıç olmuştur. Sadece iki derste matematik müfredatının temellerini açıkladıktan sonra, görmeyenlerin mutlaka dönüp bakması gerekiyor. Bugün genel olarak matematik müfredatını, kaç bölümden oluştuğunu, her bölümün kaç puan getirdiğini öğreneceğiz. Ardından birinci bölüme biraz gireceğiz, birinci bölümün ne anlama geldiğini, sanal sayının ne olduğunu göreceğiz. Gelecek derste birinci bölüme daha derinlemesine gireceğiz ve genel olarak ele alacağız. Ama bugün, matematik müfredatı ve birinci bölüm için bir tanıtım olacak. Doğru bir başlangıç yapmanızı istiyorum, arkamızda birikim bırakmayalım. Her dersi gördüğümüzde, içindeki her konuyu, her notu, her ödevi tam olarak anlamalıyız. Siz de babacığım, bunları çözebildiğinizi bilmelisiniz. Böylece birikimimiz olmaz. Matematik kolaydır, sadece devamlılık gerektirir. Size açıkladığım gibi. Başlayalım.

Bismillahirrahmanirrahim, Allah'a tevekkül ediyoruz. Yaratıcıların en şereflisi Hz. Muhammed'e ve onun tertemiz ailesine salat ve selam olsun. Ya Allah!

Bismillahirrahmanirrahim. Birinci bölüme bir giriş yapalım. Girişten önce genel olarak matematiğe bir giriş yapalım. Altıncı sınıf bilimsel matematik müfredatı altı bölümden oluşmaktadır. Kaç bölümden? Altı bölümden.

Birinci bölüm: Adı karmaşık sayılar. Adı ne? Karmaşık sayılar. Sınavdaki puanı 20. Yazıyı biraz büyütelim ki görüntü net olsun.

İkinci bölüm: Adı konik kesitler. Sınavdaki puanı da 20.

Üçüncü bölüm: Adı diferansiyel. Yaklaşık olarak en büyük bölüm. Sınavdaki puanı 40. Ya Allah!

Dördüncü bölüm: Adı integral. Sınavdaki puanı 30.

Beşinci bölüm: Adı diferansiyel denklemler. Sınavdaki puanı 20.

Altıncı bölüm: Adı geometri. Sınavdaki puanı 20.

Bu, bölümlerin genel bir dağılımıdır. Bir öğrenci gelip puanları hesaplayacak ve diyecek ki, "Bunlar 150 puan ediyor, ben ise 100 üzerinden sınava giriyorum." Evet, biz tüm soruların yaklaşık 50 puanlık bir kısmını, yani boş bırakılan kısımları da hesaplıyoruz. Bu yüzden size boş bırakılan kısımları da dahil ederek hesaplıyorum. En büyük, en kapsamlı bölümümüz üçüncü bölüm. Altıncı sınıf bilimsel bölümü zor değil. Altıncı sınıf bilimsel bölümü zor değil, özellikle altıncı sınıf bilimsel matematiği zor değil. Ben bunu bir oyunla, alıp verme, gelme gitme şeklinde başlamayacağım. Sadece basitçe fikri size aktaracağım. Sadece devamlılık gerektirir. Sadece devamlılık gerektirir. Yani konuyu okuyun, ödevlerini çözün, bitti. Daha önceki sınıflarda öğrendiğimiz diğer dersler gibi. Sadece devamlılık gerektirir, çünkü uzun ve sadece 100 puanı arıyorsunuz. 100 puanı arayan öğrenci, 50 puanı arayan öğrenci gibi değildir, canım benim. Bu yüzden kimse size altıncı sınıfın zor olduğunu, abartıldığını, büyütüldüğünü söylemesin. Hayır, hayır, hayır. Sakin bir şekilde, akıcı bir şekilde. Kolaydır, sadece devamlılık gerektirir.

Hadi bakalım, Bismillahirrahmanirrahim. Birinci bölüme başlayacağız, adı karmaşık sayılar. Birinci bölüme girmeden önce, daha önceki derslerden öğrendiğimiz sayı kümelerini hatırlamamız gerekiyor. Sayı kümelerinden birinci bölüme girerek bir bağlantı kuracağız.

Doğal sayılar kümesi, sembolü ne? Hatırlayan var mı babacığım? Doğal sayılar kümesinin sembolü ne? Harika, N. Doğal sayılar kümesi N neyi kapsar? N, pozitif sayıları kapsar. Yani birden yukarı doğru. Sıfır dahil değil. Bir, iki, üç ve sonsuza kadar. Sıfır dahil değil babacığım.

Peki, tam sayılar kümesi, sembolü W. Bu yeni bir ders, orta ikinci sınıfta eklendi ve kabul edildi. Dediler ki, tam sayılar kümesi, doğal sayılar kümesiyle tam olarak aynıdır, sadece sıfır eklenir. Yani sıfırdan başlar. Yani doğal sayılar kümesi sadece pozitif sayıları, birden yukarı doğru kapsar. Tam sayılar kümesi ise pozitif sayıları ve sıfırı kapsar.

Tam sayılar kümesi, sembolü Z. Tam sayılar kümesinin sembolü ne? Z. Z neyi kapsar? Z'nin üstünde bir çizgi olduğunu söylüyor. Yani pozitif sayıları, sıfırı ve negatif sayıları kapsar. Nasıl yani öğretmenim? Mesela -2, -1, 0, 1, 2 ve sonsuza kadar. Yani tam sayılar kümesi pozitif sayıları, sıfırı ve negatif sayıları kapsar. Buna tam sayı diyoruz.

Rasyonel sayılar kümesi, sembolü Q. Rasyonel sayılar kümesinin sembolü ne babacığım? Q. Q neyi kapsar? Yukarıdakilerin hepsini ve A/B şeklinde yazılabilen kesirleri kapsar. Yani ne demek öğretmenim? A/B yani 4/3. Buna rasyonel sayı denir. Mesela -5/2. Buna rasyonel sayı denir. Kesir. Peki 7, rasyonel sayı mıdır, değil midir? Kim söyleyecek? Ahmet, 7 rasyonel sayı mıdır? Yani kesirli sayı mıdır? Evet, kabul edilir. Çünkü her sayının paydası birdir. Bu yüzden rasyonel sayılar kümesi pozitif sayıları, sıfırı, negatif sayıları ve kesirleri kapsar. Çünkü herhangi bir sayı, mesela -5, rasyonel sayı olarak adlandırılır. Çünkü paydası birdir, ancak yazılmaz. Peki, nokta olanlar da mı? Mesela 0.3, 0.4, 0.5, 1.3, 1.2. Bunların hepsi kolayca rasyonel sayılardır.

Reel sayılar kümesi, ki bu birinci bölümdeki çözümümüzün bir parçası olacak, sembolü R. Reel sayılar kümesinin sembolü ne? R. Reel sayılar kümesinin sembolü ne? R. R neyi kapsar? R, tüm pozitif sayıları, negatif sayıları, sıfırı ve kökleri kapsar. Tüm sayıları kapsar. Yukarıdakilerin hepsini kapsar. Yani reel sayılar kümesi pozitif ve negatif sayıları, sıfırı, kesirleri ve kökleri kapsar. Buna reel sayı denir. Bu, önceki sınıflarda öğrendiğimiz sayı kümeleri hakkındadır.

Öğrencilerim, karekök. Ben temel bilgilerde karekökü öğrendim ama size hatırlatmam gerekiyor. Mesela öğretmenim, karekök nedir? İki sayının kendisiyle çarpımının sonucudur. Nasıl yani öğretmenim? Bana bak. Bunların hepsi karekökler. Temellerle birlikte okuyan öğrenciler, yazdığım karekökleri ve sonsuza kadar gideceğini bilecekler. Peki, 1'in kökü neden? Çünkü kökün tanımı, sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığıdır? İki kez. Yani 1'i kendisiyle çarparsam, 1 x 1 = 1. Bu yüzden 1'in kökü 1'dir. Peki, 4'ün kökü kaç? Harika, 2. Nasıl bildin? Öğretmenim, 2'yi kendisiyle iki kez çarparsam, yani 2 x 2 = 4. Bu yüzden 4'ün kökü 2'dir. 9'un kökü kaç? Harika, 3. Neden 3? Çünkü 3'ü kendisiyle iki kez çarparsam 9 elde ederim. Bu yüzden 9'un kökü 3'tür. 16'nın kökü kaç? 4. 16'nın kökü kaç? 4. Neden? Eğer 4'ü kendisiyle iki kez çarparsam, 4 x 4 = 16. Ve böyle devam eder. 25'in kökü 5, 36'nın kökü 6, 49'un kökü 7, 64'ün kökü 8, 81'in kökü 9, 100'ün kökü 10. Peki, öğretmenim veya hocanız size neden 81'in kökü 9 diye sorarsa? Çünkü 9'u kendisiyle çarpmayı deneyin. 9 x 9 = 81. Bu yüzden karekök, sayının kendisiyle kaç kez çarpılmasıdır? Sadece iki kez. Tamam. Öğretmenim, bunları temel bilgilerde öğrendik. Neden tekrar anlatıyorsunuz? Neden sadece bize anlatıyorsunuz? Ben bilerek anlatıyorum. Neden? Bağlantı kurmak için. Neyi? Karekök sadece pozitif sayılar içindir. Vay canına, bu ne? Öğretmenim, bu ne demek? Bana bak. Tamam. Bu doğru mu, değil mi? Biraz düzeltelim. Daha iyi olur mu? Diyelim ki, -4'ün karekökü. Bu, -4'ün karekökünü verecek. Bir öğrenci diyecek ki, sonuç 2. -4'ün kökü 2'dir. Bu yanlış. Neden yanlış? Çünkü karekökün tanımı, sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığıdır? İki kez. Eğer 2'yi kendisiyle çarparsam, 2 x 2 = 4. Ben -4'ün kökünü istiyorum. Yani bu öğrenciye, "Üzgünüm, bu 2 değil" diyeceğim. Bir öğrenci ve bir öğrenci diyecek ki, "Öğretmenim, -4'ün kökü -2'dir." Kök tanımına gelirsek, sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığıdır? İki kez. -2'yi kendisiyle çarpın. Eksi çarpı eksi artı. 2 x 2 = 4. Yani -2 x -2 = 4. Bana -4'ü verdi. Yani doğru mu, yanlış mı? Yanlış. Yani ne 2, ne de -2. Bir öğrenci diyecek ki, "Öğretmenim, o zaman 2 x -2 = -4." Bu yöntem zaten yanlış. Neden? Çünkü sayının kendisiyle çarpılmasıdır. Babacığım, 2 kendisiyle -2 midir? Hayır. Yani -4'ün kökü ne 2'dir, ne -2'dir, ne de 2 x -2'den gelir. Yani bu bir sorundur. -4'ün karekökü bir sorundur. Herhangi bir negatif sayının karekökü, herhangi bir negatif sayının karekökü, bir sorundur. Herhangi bir negatif sayının karekökü nedir? Bir sorundur. Bilim insanları oturdular ve dediler ki, her sorunun bir çözümü vardır. Harika. Dediler ki, sadece pozitif sayılar için karekökümüz var. Neden düşünmüyoruz ve karekökün negatif sayılar için de olabileceği bir yol bulmuyoruz? Karşısında sıfır oturdu. Dedi ki, nasıl bir yolun var? Dedi ki, evet. Nedir? Sadece ekranı biraz daha iyi yapalım. Dedi ki, -4'ün kökü değil mi? Dedi ki, neden -4'ü parçalamıyoruz? Kök iner. Ne diyeceğim? Diyeceğim ki, bu -4, 4 x -1'den gelir. Bu -4, 4 x -1'den gelir. Kökün içindeki sayıyı parçala. Kökün içindeki sayıyı parçala. 4 x -1'den gelir. Bilimsel olarak doğru mu? Evet. Çünkü 4'ü -1 ile çarparsam, -4 elde ederim. Dedi ki, sonra ne yapacaksın? Dedi ki, sonra kökü dağıtacağım. Birincisine ve ikincisine dağıtacağım. Dedi ki, yani kök birincisine ve ikincisine dağılır mı? Dedi ki, evet. Çünkü çarpma işlemi varsa, kök birincisine ve ikincisine dağılır. Dedi ki, sonra? Dedi ki, bak, pozitif 4'ün kökü var. Bu pozitif 4'ün kökü kaç? 2. Pozitif 4'ün kökü kaç? 2. Burada benim sorunum ortaya çıktı. Burada benim sorunum ortaya çıktı: -1'in kökü. Bu bir sorundur. Bu -1'in kökü, küçüldü, küçüldü, bir sorunum oldu. Bu yüzden dediler ki, hayal edelim ve varsayalım ki -1'in köküne i diyelim. -1'in köküne ne diyelim? i diyelim. Yani 4'ün kökü 2 ve -1'in kökü i'dir. Yani -4'ün kökü 2i oldu. i harfi olan her sayıya sanal sayı diyoruz. i harfi olan her sayıya ne diyoruz? Sanal sayı. i harfi olan her sayıya ne diyoruz? Sanal sayı. Biz bunu kendimiz hayal ettik, varsaydık. Bu yüzden karmaşık sayılar, sanal kısımları aracılığıyla ortaya çıktı. Öğretmenim, bu benden isteniyor mu? Hayır, istenmiyor. Neden istenmiyor? Bu sadece öğrenciye bir açıklama örneği. Mesela bana başka bir örnek verin. -25'in kökü. Öğretmenim, negatif sayının karekökü yok. Bunu parçala. Hadi, kök iner. -25, 25 x -1'den gelir. 25 x -1 neyi verir? -25. İkinci adımda ne yapıyoruz? Kökü dağıtıyoruz. Birincisine ve ikincisine dağıtıyoruz. Yani kök 25'e ve -1'e dağılır. Yani kök 25 çarpı kök -1 olur. Sonra, öğretmenim? Sonra, pozitif 25'in kökü sorun değil. Pozitif 25'in kökü kaç? 5. Pozitif 25'in kökü kaç? 5. Sorun değil. Peki, -1'in kökü ne dedik? Sorun. -1'in kökü ne dedik? Sorun. Bir varsayım verdik. Ne varsayımı? i. Tabii ki i böyle yazılır, böyle yazılır, böyle yazılır. Nasıl yazarsan yaz, doğrudur babacığım. Yani -25'in kökü 5i oldu. i harfi olan her sayıya ne diyoruz? Sanal sayı. i harfi olan her sayıya ne diyoruz? Sanal sayı. Öğretmenim, örnekleriniz var mı? Evet, örneklerim var ama bir ara verip devam edeceğiz, canlarım. Bu sadece bir açıklama. Yani sizden istenmeyen şeyler var. Öğretmenim, negatif bir sayının karekökünü hızlıca bulmak için bir yönteminiz var mı? Yani sizin yaptığınız adımları takip etmeden? Evet, nedir o yöntem babacığım? Bir taktik, Allah izin verirse. Kökün altında negatif ne varsa, önce i koy. Kökün altında negatif ne varsa, önce i koy. Ve sayıyı kökten çıkar. 64'ün kökü kaç? Harika, 8. -100'ün kökü. Kökün altında negatif ne varsa, kökün altında negatif ne varsa, i koy. Kökün altında negatif ne varsa, i koy. Ve sayıyı kökten çıkar. 100'ün kökü kaç? 10. Bu yöntem kabul ediliyor mu? Evet babacığım. Aslında ben bu yöntemi istiyorum. Bu yöntem, çözümün bir parçasıdır. Birinci bölümü ilerledikten sonra. Yani tam bir çözüm değil, adımların bir parçası. -3'ün kökü. Diyeceksin ki, öğretmenim, kökün altında negatif olduğu için, bu negatif hemen i'yi verir. Detaylandırmadan. Kökün altında negatif ne varsa, hemen i koy. Ve sayıyı kökten çıkar. 3'ün kökü var mı? Hayır. Yani kök kendisiyle iner. Soru, kök 3. Bir sonucu var mı? Hayır. Yani kendisiyle iner. Peki, kök 4'ün bir sonucu var mı? Evet. Kaç? Harika, 2. Burada kök 3'ün bir sonucu yok, kendisiyle iner. Bu sanırım silinecek, değil mi? Evet, güzel bir hareket. Evet. Hadi, -7'nin kökü. Kökün altında negatif ne varsa, hemen i koy. Kökün altında negatif ne varsa, hemen i koy. Ve sayıyı kökten çıkar. 7'nin kökü var mı? Hayır. Yani kendisiyle iner. -11'in kökü. Kökün altında negatif ne varsa, hemen i koy. Kökün altında negatif ne varsa, hemen i koy. Ve sayıyı kökten çıkar. 11'in kökü var mı? Hayır. Yani kendisiyle ve köküyle iner. Peki, kahramanım, bana bunun kaç olduğunu söyleyecek. Ahmet, kaç? Harika, 6. Bazı öğrenciler 6i diyor. Biz ne zaman i koyarız? Kökün içinde ne olduğunda? Negatif. Eğer kökün içinde negatif varsa, i koyarız. Peki, öğretmenim, eğer kökün içinde negatif yoksa? Burada negatif yok. 36'nın kökü kaç? Sadece 6. Peki, kaç? Harika, sadece 7. Peki, bu kaç? Ahmet, kaç? i. Harika. Neden i dedi? Kökün altında negatif olduğunu gördü. Kökün altında negatif olduğu sürece, i koyarız. Ve sayıyı kökten çıkar. 9'un kökü kaç? 3. Yani fikir ne babacığım? Bütün bu konuşmaların özeti ne? Eğer karekökün içinde negatif görürsen, i koy. Negatif yoksa, i koyar mıyız? Koymayız. Anlaştık mı? Öğrenciler, bunlar sizin ödevleriniz. Çıktılarını çıkaracağım. Hadi, aşağıdaki köklerin sonuçlarını çıkarın. Kök -81 = Kök -13 = Kök -25/4 = Bunlar sizin ödevleriniz, canlarım. Bugün, matematik müfredatının kaç bölümden oluştuğunu öğrendik. Birinci bölüm, yani karmaşık sayılar, neyin kökeni? Pozitif sayılar için karekök sorun değil. Negatif sayılar için karekök bir sorundu. Bu kavramı anlamanızı istiyorum. Geri kalanını, Allah izin verirse, birinci bölümde ayrıntılı olarak ele alacağız. Gelecek derste görüşmek üzere. Karmaşık sayılar bölümünün başlangıcı. Allah'a emanet olun.