Transcription
[Música] vamos a ver cómo podemos resolver los juegos y en primer lugar vamos a utilizar el criterio de la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. este criterio consiste, como su propio nombre indica, en ir eliminando una tras otra las estrategias que cualquiera de los jugadores nunca llevaría a cabo debido a que, siguiendo otra estrategia, podría obtener siempre un pago mayor. al realizar la eliminación de una estrategia, los pagos que esta contenga no condicionarán las sucesivas eliminaciones que se vayan efectuando. posteriormente, lo veremos mucho más claramente con el ejemplo de la figura que tenemos aquí a mi derecha, en el que las posibles acciones entre las que puede elegir el jugador número uno son a y b, mientras que el jugador número dos puede optar entre x, y, y z.
analizando detenidamente la matriz de pagos, podemos apreciar que el jugador número dos nunca debería optar por Z. en efecto, los pagos que recibiría en función de lo que eligiese el jugador número uno (1 si el jugador número uno opta por a y 2 si el jugador número uno opta por B) son siempre menores que los que podría percibir si eligiese la alternativa y, puesto que 12 es mayor que 11 y 3 es mayor que 2. es decir, haga lo que haga el otro jugador, siempre obtendrá una mejor remuneración si elige y a si elige Z. diremos en ese caso que la estrategia Z está estrictamente dominada por I, por lo que ningún decisor racional la utilizaría. eliminaremos por tanto, a partir de este momento, esa estrategia para poder seguir analizando el juego resultante.
como vemos en la figura, entre las estrategias que le quedan al jugador número 2, x e y, ninguna domina la otra, pues 7 es menor que 12 y 10 es mayor que 3. ahora, sin embargo, el jugador número uno es quien tiene una estrategia dominada: la estrategia a. en efecto, los pagos que percibe con ella son siempre menores que que podría obtener si optase por la estrategia B, haga lo que haga el jugador número dos. es decir, 9 es mayor que 8 y 9 es mayor que 6.
es importante darse cuenta de que el jugador número uno no podría eliminar la estrategia a, es decir, esta no estaría estrictamente dominada por B si previamente no hubiésemos eliminado la estrategia Z para el jugador número dos. así, con el juego inicial, para el jugador número uno teníamos que 9 mayor que 8 y 9 mayor que 6, como ahora, pero 3 menor que 10, como veis. es decir, que en el caso de que el jugador número dos optase por Z, el jugador número uno obtendría una mayor remuneración con la estrategia a que con la B, por lo que no podíamos decir que la primera estuviese estrictamente dominada por esta. sin embargo, dado que el jugador número uno sabe que el jugador número dos nunca utilizaría la estrategia Z al estar esta dominada estrictamente por y, el juego se ha reducido y ahora sí que a está estrictamente dominada por B, por lo que procederemos a eliminarla.
en el juego ya se han reducido notablemente las posibilidades de elección para ambos jugadores. de hecho, para el jugador número uno solo queda la estrategia B, mientras que al jugador número dos aún le quedan las estrategias X e Y. dado que el jugador número dos sabe que el jugador número uno no usará la estrategia a (pues el jugador número uno sabe a su vez que el jugador número dos nunca utilizará la estrategia Z), la decisión final la tomará el jugador número dos entre X e Y. obviamente, dado que 10 es mayor que 3, optará por la estrategia x, como vemos aquí.
como podemos observar, el equilibrio del juego se produce cuando el jugador número uno opta por b y el jugador número dos elige x, obteniendo respectivamente unos pagos de 9 y 10. si nos fijamos en la matriz, podemos apreciar que ambos pagos son inferiores a los que podrían haber obtenido si el equilibrio hubiese sido a Z, el conjunto de estrategias que hemos sombreado más suavemente en la matriz de pagos, dando lugar por tanto a un resultado que es ineficiente en el sentido de Pareto, puesto que 9 es menor que 10 y 10 es menor que 11. ambos podrían mejorar. volveremos a incidir sobre este aspecto más adelante cuando expliquemos el concepto del equilibrio de Nash.
bien, en ocasiones, en el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, podemos llegar a una situación en la que no encontremos ninguna posibilidad de eliminar ninguna estrategia. podemos optar en ese caso por si hay estrategias que estén dominadas por una estrategia mixta. una estrategia mixta es una combinación lineal de varias estrategias. consideramos entonces que los jugadores no están obligados a elegir una única estrategia, sino que pueden emplear una u otra conforme a una determinada probabilidad. de nuevo, con un ejemplo como en el que podemos ver aquí, vamos a apreciar más claramente cómo se llevaría a cabo el proceso de eliminación de estrategias estrictamente dominadas cuando tenemos en consideración la posibilidad de emplear estrategias mixtas frente a las estrategias puras que hemos utilizado hasta ahora.
en esta matriz, podemos apreciar que no existe ninguna estrategia que esté estrictamente dominada en estrategias puras por ninguna otra, ni para el jugador número uno ni para el jugador número dos. es decir, no hay ninguna estrategia en la que el jugador percibe va siempre un pago inferior que utilizando otra. sin embargo, en esta ocasión, existe una estrategia que sí está dominada por una estrategia mixta. se trata de Z. en efecto, imaginemos que el jugador número dos utilizase con probabilidad 0,5 la estrategia x y con probabilidad 0,5 la estrategia y. el pago esperado que obtendría sería, si el jugador número uno eligiese a, 1/2 de 11 + 1/2 de 14, es decir, 12,5. igualmente, si el jugador número uno eligiese la estrategia B, el pago esperado del jugador número dos sería 1/2 de 10 + 1/2 de 3, es decir, 6,5. como se puede apreciar, ambos pagos esperados son mayores que los que obtendría empleando la estrategia Z, pues 12,5 es mayor que 12 y 6,5 es mayor que 6. podríamos por tanto prescindir de la estrategia Z.
en la siguiente figura lo vemos y, siguiendo el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, alcanzaríamos el equilibrio. a partir de este momento, se abre la posibilidad de continuar la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas fijándonos simplemente en las estrategias puras. así, para el jugador número uno, la estrategia a está estrictamente dominada por B, pues sus pagos son siempre mejores en esta última: 9 es mayor que 8 y 9 es mayor que 6, como vemos en la figura. finalmente, dado que el jugador número uno optará por B, es el jugador número dos quien tiene que elegir entre la estrategia x y la estrategia y, y lógicamente optará por x, dado que con ella tendrá un mejor pago: 10 es mejor que 3, como se puede apreciar.
el equilibrio del juego se produce cuando el jugador número uno opta por b y el jugador número 2 elige x, obteniendo respectivamente unos pagos de 9 y 10. como ocurría en el caso anterior, ambos pagos son inferiores a lo que podrían haber obtenido si el equilibrio hubiese sido a Z, dando lugar de nuevo a un resultado ineficiente en el sentido de Pareto, puesto que 9 es menor que 10 y 10 es menor que 12. ambos jugadores podrían mejorar. no siempre, lógicamente, el resultado será Pareto inferior como los dos ejemplos propuestos, aunque con ellos pretendemos reflejar la existencia de esta posibilidad. si bien con la utilización de las estrategias mixtas, como vimos anteriormente, se amplía la resolución de juegos mediante el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, no todos los juegos se pueden resolver utilizando esta metodología. lo veremos con otro ejemplo numérico en esta figura, en la que solamente hemos variado un pago del jugador número uno, el que percibe cuando la combinación de estrategias es B Z, y otro del jugador número dos, el que recibe cuando la combinación de estrategias es B y.
en este caso, por más que lo intentásemos, no podríamos encontrar una combinación de estrategias que dominase estrictamente a ninguna otra. tendremos que utilizar entonces otra metodología, como la del equilibrio de Nash.