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Buenas, ¿qué tal? ¿Cómo están? Este es el primer vídeo de la materia Matemática 51, y presenciar el primer vídeo para la práctica 1, porque ya hice un vídeo, pero fue de nivelación, súper elemental para hacer la práctica, hacer ésta. Entonces, este es el primer vídeo de contenidos ya oficial de la materia, contenido de la práctica uno que va a entrar en el primer parcial. Obviamente, en estas condiciones de virtualidad, todavía hay algunas cosas que no están definidas; hay que ir esperando para ver cómo es la dinámica de los parciales virtuales, si es que finalmente va a haber, y demás, cómo va a ser la… perdí… el reglamento para llegar al final, sí, cómo dadas las condiciones para atender un final. Pero por el momento, tenemos que ir aprendiendo los temas. Está entonces arrancando con la práctica 1. Ya podemos definir, o podemos dividir, mejor dicho, a la práctica en dos grandes temas que son: si, dentro de lo que es el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos; o sea, ubicar puntos en un plano, como hice acá ubicando el punto A, el punto B, distancias como ahora les voy a explicar; y también lo más difícil de la unidad 1: las inecuaciones. Y ahí estamos hablando de operaciones en ecuaciones dentro de la recta real, está, o sea, solamente teniendo en cuenta valores de x.
Ahora lo que voy a hacer es estrenar el plano cartesiano. Es muy fácil, seguramente ya lo conoce, y la fórmula de distancia entre dos puntos que, de paso, se basa bien en el teorema de Pitágoras. Está todo… el primero… el principal… plan… guarde… 100… el plano cartesiano es el espacio de dos dimensiones conformado por el eje x y el eje vertical, y se llama el eje de ordenadas. Por ejemplo, acá tengo un valor de… 1, 2, 3, 4, 5; y entonces acá hay como una línea imaginaria, sin una línea imaginaria, y dentro de esa línea imaginaria, en todos estos puntos de esta línea imaginaria, ¿cuánto vale la coordenada y? Bueno, va a valer 5. Estamos en la ordenada 5. Está. Entonces, cuando hablamos de valores de y, ordenada; cuando hablamos del eje x, es el eje de abscisas. Entonces, cuando hablamos de algún valor de x, es una abscisa. Por ejemplo, x igual 4, pues no tengo esta recta imaginaria, y si yo me paro en todos estos puntos, x siempre va a valer cuánto. Está. Bueno, entonces ya conocemos al eje inicial de… Heim… recuerden: en el eje x, positivo para la derecha, negativos para la izquierda; y, positivo para arriba, negativos para abajo.
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Voy a ubicar dos puntos, por ejemplo, el punto A y el punto B. Fíjense que los puntos dentro de un plano tienen dos coordenadas claras: una coordenada x y una coordenada y, como si fuera la batalla naval, que uno va ubicando con coordenadas; es lo mismo, pero solo que con coordenadas x y con coordenadas y. Está. Entonces, así yo tengo un punto que es el punto (4,3). Entonces, lo que me está diciendo esta manera de escribir un punto, que es la manera que vamos a usar, me dice que el punto A tiene una coordenada de x igual a 4, o sea que va a estar por acá en esta recta imaginaria, y una coordenada y que es 3. Entonces está en esta recta, y con una coordenada de y, 3. Entonces voy a unir estas dos coordenadas, y el punto de encuentro de esas dos coordenadas es el punto (4,3); 4 de x, 3 de y. Bien. Por otra parte, tenemos el punto B. Es muy fácil. Me dicen que es (-3,1). -3 coordenadas… 0, -1, -2, -3. Entonces, 0, 1. Unimos estas dos coordenadas y llego a la conclusión de que este es el punto B. Tengo el punto A, tengo el punto B. Algo que van a pedir mucho en esta materia, la práctica 1, después ya no, es la distancia entre estos dos puntos. ¿Cómo se calcula la distancia? Bueno, si se dan cuenta, se está formando una especie… es un triángulo rectángulo, que tiene un ángulo recto. Entonces es un triángulo al cual yo puedo aplicar el teorema de Pitágoras, que me dice… el teorema de Pitágoras… que la diagonal, la hipotenusa, que en este caso la hipotenusa es esta diagonal, es la distancia a calcular; que la diagonal al cuadrado es igual a la suma entre este lado al cuadrado más este lado al cuadrado. Básicamente me dice algo así: que la diagonal al cuadrado, que en el teorema de Pitágoras se expresa finalmente en la hipotenusa, es igual a la suma entre el cateto mayor al cuadrado y el cateto menor al cuadrado, o podemos poner simplemente los dos catetos al cuadrado. Cuando yo hago de este cuadrado y lo paso como raíz, me queda una expresión que tiene este aspecto. ¿No se dan cuenta que es exactamente igual a la fórmula de distancia? Porque justamente la fórmula de distancia sale del teorema de Pitágoras. ¿Estamos bien? Nadie les va a venir a preguntar cómo es, ya se sabe supuestamente, previo a la materia, es algo que se ve antes de la universidad. Pero aplicando el teorema de Pitágoras, ¿cómo llegar a esta fórmula? Que me dice esa fórmula… muy fácil: que la distancia entre el punto A y B va a ser igual a la raíz cuadrada de (xa - xb)² + (ya - yb)². Por ejemplo: 4 - (-3). 4 - (-3), ¿ya sé cuánto queda? 4 menos -3 = 7. Y de y, 3 - 1. 3 - 1 = 2. Entonces me queda 7² + 2². 7² = 49; 2² = 4. Entonces, 49 + 4 = 53, o sea, la raíz cuadrada de 53. Ya que es la respuesta directamente, porque es al sporting… a la raíz de 53. Bueno, si no somos… el trabajo… razonamos con la calculadora. Si hacemos la raíz de 53 nos va a dar un número que es un número irracional. ¿Irracional por qué? Porque tiene infinitas cifras después de la coma y no es periódico. Es un número que no puede ser expresado como una división… tras… un número irracional. Están los números irracionales, están dentro de los números reales. Sí, están dentro de los números reales, pero son como una categoría aparte dentro de los números reales. Están los naturales: 1, 2, 3, 100 mil, en el 5 mil millones, positivos. Después están los enteros, que son los naturales y también los enteros negativos y el 0. Después tenemos a los racionales, entran también los números fraccionarios. Después entra, por ejemplo, los números periódicos, están los números decimales; y después tenemos los reales, que los reales incluyen a todos los racionales y a los irracionales. Por ejemplo, raíz de 53… raíz de 53 es un número primo, tanto que no puede ser dividido por nadie. Tampoco puedo expresar eso… si yo lo pongo en la calculadora me va a dar esto… un número horrible. Está. Entonces, la manera más exacta, más precisa de poder escribir esta respuesta es poniendo raíz de 53, y eso está perfecto. Si no nos van a exigir otra cosa más allá de esto, porque está… la manera más exacta y más precisa de poder expresar la respuesta. ¿Estamos? Entonces, con esto ya sabemos lo que es distancia. Siempre que les pidan la distancia, a veces… y esto lo vamos a ver en las clases de zoom, si, los ejercicios de la práctica, porque la complican un poco más ahí; van a ver, cuando la resuelva, grave… siempre van a dar como hasta una distancia, y quizás me piden despejar, no sé, la coordenada y de uno de los puntos; supongamos que la coordenada y de uno de los puntos se llama… o sea, tiene un número, un valor numérico, pero no lo conozco esta y; quizás mi objetivo es encontrar a y, para eso me van a dar la distancia. Bueno, se ha quedado… lo voy a tener, pero lo que no voy a tener es la y. Entonces tendría que despejar, pasando la raíz como un cuadrado, y como les voy a explicar. Entonces, en la práctica… ¿estamos bien hasta acá? Entonces, lo que tiene que ver por plano cartesiano, que es una introducción para que después, cuando veamos funciones y yo les diga “eje de ordenadas”, ustedes sepan que estoy hablando del eje y, y “eje de abscisas” estoy hablando del eje x, así como ubicar puntos. Esto es clave, es muy importante; y distancia. Está. O sea, con esto ya tenemos esta primera parte lista. Ahora vamos a empezar con las inecuaciones. Ahora sí, bien en lo complejo… esto es… estamos… bueno.
Entonces, como les dije, ahora empezamos con las inecuaciones. Ya está plano cartesiano, la introducción al menos, y distancia entre puntos, hacemos ubicar puntos en el plano y calcular su distancia. Ahora vamos a empezar a resolver inecuaciones en el plano de la recta real. Sí, ahora todo va a girar en torno a la recta real, a infinitos valores de x que van desde menos infinito y más infinito. Está. Una inecuación, primero y principal, es algo muy, muy parecido a una ecuación, solo que a diferencia de una ecuación, no vamos a tener una igualdad, algo que es igual a otra cosa como en una ecuación; vamos a tener algo que es menor que otra cosa, menor o igual a otra cosa, mayor a otra cosa o mayor o igual a otra cosa. Va a haber algún condicionante lógico. ¿Estamos bien? Y además, una ecuación nos da un número de resultados puntuales; nos puede dar una solución que sea uno, o dos, o no sé, cuatro, o menos siete, pero un número puntual de números, o tres números. Ahora una inecuación nos va a dar un conjunto numérico, y eso lo vamos a tener que representar en la recta, como estoy representando. Está bien. Cuatro son los tipos de inecuaciones que vamos a ver: las lineales (no sé si se ven muy bien por el reflejo), las lineales, las cuadráticas, las racionales y las modulares. Cualquiera de éstas se las pueden tomar; las más tomadas son cuadráticas y racionales. Esas son las más tomadas, pero pueden aparecer las modulares, que tampoco son fáciles. Todo esto, como les dije, con una lineal, y después vamos a meternos en las cuadráticas, racionales y… vamos con una lineal. Fíjense, el primero y principal, como está expresado este ejercicio, viene… dice: “Ya”, que es A, es un conjunto numérico, es un conjunto de números, es una bolsa de números. Dentro de esa bolsa tengo algunos números y otros… ésta es un conjunto que yo estoy abordando, o sea que puede haber un montón de números, mismos infinitos números. Está bien, pero es un conjunto, y es un conjunto que va a estar formada por los números… para todo x pertenecientes a los reales, y formado por todas las x que pertenezcan… al final, en todos los números reales que cumplan una determinada condición. No todos, los que cumplan una determinada condición. ¿Qué condición? Bueno, acá está: “tal que” cumplan o sean los que cumplan esta condición: que -4x - 8 sea menor o igual a 10. O sea, hay algunos valores de x que si yo los pongo acá, dan algo verdadero, pero hay otros que dan algo falso. ¿Qué sería algo falso? No sé, 15… 15 - 9 es menor o igual a 10. 15 - 9 es mayor a 10. ¿Estamos bien? Entonces vamos a calcular ese intervalo a partir de resolver esta ecuación, solamente la resta, parte, que es lo que vamos a tener que hacer. Bueno, vamos a tener que despejar x, como hablaríamos normalmente en una ecuación, solamente que acá tenemos, en vez de un igual, un condicionante lógico, que en este caso es menor o igual. Siempre si la boquita apunta lo que es más grande. Entonces, si yo tengo esta boca así, significa que el 10 es más grande, o sea que el 10 es mayor que lo que tengo del otro lado; o dicho de otra forma, lo que tengo mezclado es menor o igual a 10. ¿Ven por qué aparece esa línea de ahí? Entonces, despejo x. Primero, el 8 que está restando lo paso sumando, entonces me queda 10 + 8 = 18 - 4x. Y acá va a pasar algo que ya es especial, es único de las inecuaciones, que no pasaba en las ecuaciones, pero esto es muy, muy importante. Fíjense que ahora lo que tengo que hacer es agarrar al -4, ¿qué está haciendo? Bueno, está multiplicando. Entonces, ¿cómo va a pasar para el otro lado? Y digo: -4… -4 es el número que están multiplicando, iba a pasar dividiendo. Abono… líquido… me va a quedar 18 dividido en -4. Y esto no lo escribí al pizarrón, por favor, no te lo hagan… un recuadro así, y anoten lo. Es clave, tiene que estar en cualquier hoja, de cualquier apunte de inecuaciones, y es lo siguiente: siempre que yo pase multiplicando o dividiendo, como en este caso, del -4 que estoy pasando dividiendo… siempre que pase multiplicando o dividiendo por un número negativo, el sentido de la inecuación va a cambiar. Siempre que pase multiplicando o dividiendo por un número negativo, el sentido de la ecuación va a cambiar. ¿Qué significa esto? Que agarro el 4 que están multiplicando, y lo paso dividiendo. Estoy dividiendo por un número negativo. Entonces, si acá decía menor o igual, ahora voy a cambiar el sentido del condicionante lógico, y mayor o igual… o cambian… lo cambian de sentido. Entonces ahora me queda que x es mayor o igual… se dio vuelta la cosa… a 18 dividido -4. Está bueno… 18 dividido -4 es… más dividido menos = menos… y 18 y 24, en realidad, me da 4.5, pero lo puedo simplificar: 18 dividiendo por dos, que me dan 9; 4 dividiéndolo por dos, que me da 2; y me queda que x es mayor o igual a -9/2. Y ahí queda mejor trabajar con números fraccionarios, mejor, más cómodo para ver qué les conviene, y además, después vamos a usar muchísimo los números fraccionarios en las funciones matemáticas a partir de la práctica 2 en adelante, hasta el final. Bien, escribo las condiciones. Esta es la condición que me dio: que x es mayor o igual a -9/2. Para que esto sea verdad, para que esté dentro del conjunto A, los valores de x, entonces voy a escribir esa condición en la recta numérica. Y lo que hago acá es muy fácil. Recta real, si, solamente valores de x: a la izquierda los negativos, a la derecha los positivos. Marco el 0, fácil, el número de referencia. Este -9/2 es positivo o negativo. Y el negativo. Entonces, va a estar a la izquierda del cero. ¿Cuánto? -9/2. Y ustedes lo hacen en la calculadora. Si hacen -9 dividido 2, les va a dar -4.5. Fíjense, yo lo puse en… -3, -4 y -5; veces lo puse acá la mitad, porque es -4.5. Esto es solamente para que ustedes lo puedan… hablar de manera… de nada, pero es muy importante. No es que todas las unidades tienen que estar medidas con la… más… lo importante es que ésta les quede… deseo… y en… 3… 5… 4… Y ahí lo que hago es marcar este valor de referencia. Fíjense que yo le puse un corchete, porque el corchete me dice que -9/2 también vale. Porque claro, x tiene que ser más grande o igual… o igual a -9/2. O sea, que si x vale -9/2, es… nada de esto… nada… -9/2 es mayor o igual a -9/2; y sí, bueno, entonces vale. Entonces, como vale -9/2, está incluido entre mi solución. Por eso le estamos poniendo un corchete, porque el corchete incluye… cientos… juegas… más… yo soy mayor y siguen… igual… acá no debería ir un corchete, debería ir un paréntesis, porque… porque el corchete incluye a ese valor dentro del conjunto, y el paréntesis yo lo excluye, no lo tiene en cuenta. Entonces, como un corchete, porque acá decía mayor o igual a -9/2, van y me dice mayor… entonces desde -9/2, incluyendo lo, por eso con corchetes, a todos los valores que sigan hacia los números positivos. Y ¿cómo se dice eso? Bueno, más infinito. Más infinito es una manera… aclaro que más infinito no es un número, no es un número; es un concepto, es una manera de decir: bueno, todos los valores que siguen para allá, y que para allá siguen hasta que termine. Si, nunca va a terminar, porque siempre va a dar un número mayor. Entonces, justamente eso lo está representando el más infinito. Es bueno… y todos los números necesitan seguir hasta el número más grande que te puedas imaginar… bueno, el siguiente. Está bárbaro. Entonces, desde -9/2 con corchete hasta más infinito. Y a más infinito, gracias a tenerlo bien claro en la recta real, me quedó la solución. Entonces, ¿para qué sirve hacer esto en la recta real? Para entender mucho mejor la solución. Después, quizás cuando tengan mucha práctica, se van a dar cuenta que esto es esto directamente, y quizás pasan así directamente, pero igual les recomiendo que hagan las rectas reales. Y ahora el examen va a ser virtual, que no lo… examen escrito… le dan mucha importancia a esto. Si ustedes hacen esto y lo hacen bien, suma muchos puntos, la verdad que queda muy bien, y hay puntajes parciales. El tema es que ahora los exámenes virtuales, no sabemos cómo van a ser. Entonces, bueno, es una incógnita, pero los temas los tenemos que aprender acá. Entonces, tienen explicadas una ecuación de tipo lineal. Vamos ahora con las cuadráticas, que son bastante complejos. Entonces seguimos…
Ahora con las inecuaciones cuadráticas. Mucho más difíciles, mucho más complicadas que las inecuaciones lineales. Así que ahora toda la concentración, sí, porque es algo bastante más complejo. Primero y principal, ¿cómo diferenciamos una ecuación cuadrática de una de una lineal? Una cuadrática tiene algo especial, y es que tiene x al cuadrado. Está, el nombre me lo dice: cuadrado. Entonces, ¿por qué se halla del conjunto A? Sí, que corresponde a todo el conjunto de números reales que cumple esta condición. Está. Entonces, hagamos la condición, y está en mi inecuación. La condición dice: x² - 6 tiene que ser mayor o igual a -x. Está, o sea, abierto de tipo grave… listo. Y bueno, esto es cuadrático, ojos, porque a veces… a veces quizás no aparece el cuadrado, pero aparece de esta forma, y eso es otra manera de poner una expresión cuadrática. Y yo distribuyo esto, me va a terminar quedando x²… está bueno. Pero vamos con un caso fácil. Después en las clases la voy a complicar más. Tenemos x². Lo primero que voy a hacer es tirar todos para el mismo lado y que me quede 0 del otro lado. Esto es clave, es lo que sea… y muy importante. Entonces, dejo x², ¿qué es? -6, y x que estaba restando la pasé sumando, me quedó esta expresión: x² + x - 6 ≥ 0. Perfecto. En este caso me quedó mayor… a veces me va a quedar mayor a cero, a veces menor o igual, o a veces menor, pero en éste es mayor o igual a cero. O sea, que si esta expresión me da ≥0, está todo bien, va a estar dentro de mi solución. ¿Y qué hacemos ahora? Bien, si no lo tenemos en forma factorizada, en esa forma… si no lo tenemos los factores… vamos… identificamos a… a = 1, si, el número que multiplica a x² = 1; identificamos a b = 1, y c = -6. Hacemos la resolvente… no lo voy a hacer en el vídeo, si, para no perder tiempo, ya la hice, y me da dos soluciones que son 2 y -3. Entonces, empiezo a poner un poco de sombra, por si no se ve muy bien, sé que hay un brillo por acá. Pongo un poquito de sombra, y se vio bien. ¿Ya vieron? Todo es lo que está acá. Bien, porque cuando me vaya esto va a quedar peor… todo blanco. Bien. Entonces, niños, dos soluciones: 2 y -3. ¿Qué hago con estas dos soluciones? Bueno, ahora voy a escribir esta misma expresión pero en la factorizada, es decir, en factores, dos cosas que se multiplican. Y es la clave… necesito dos cosas que se multiplican entre sí: (x - 2)(x + 3). Fíjense que les cambió el signo. Esto está explicado en el primer vídeo de nivelación. Si, mis soluciones son 2, si mis raíces son 2, entonces voy a poner x - 2; si mis soluciones son -3, les voy a poner x - (-3), y -(-3) termina siendo +, o sea, que la forma factorizada de esta expresión… factorizada, terminan siendo las soluciones de la resolvente, solamente con el signo cambiado. Esta… y otra cosa importante: si yo tengo un valor de 1… 2, por ejemplo, en este caso, también los 12 estados se va a mantener, y debería poner dos ahí, que después no me va a cambiar nada igual de la ecuación, porque es importante. Entonces, una vez que llegamos a esta expresión, tenemos una cosa multiplicada con otra… una cosa multiplicada con otra… unas cosas multiplicadas con otra… triángulo x cuadrado… círculo… triángulo… importa… una cosa… cosa 1 multiplicada por otra cosa… cosa 2… sean lo que sea, me da igual. Lo importante que yo tengo dos cosas multiplicadas entre sí, y la condición me dice que esas dos cosas multiplicadas entre sí tienen que ser siempre mayor o igual a cero. O sea, que puede ser cero, pero tiene que ser mayor a cero… esta sea mayor… también puede ser igual… pero es igual a cero… es fácil… ya sé que tiene que pasar para que sea igual a cero: es que tiene que valer 2, o… ahora me tiene que valer -3, igual… eso me va a quedar calculado automáticamente con este procedimiento. Está… muy importante que hay dos cosas… perdón, que repita, pero es muy importante: dos cosas multiplicadas entre sí. Entonces, ¿de qué manera puedo hacer para que dos cosas multiplicadas entre sí den algo mayor a cero, es positivo? Entonces, cuando una multiplicación entre dos cosas es positivo… a ver, si lo tenemos… más por menos = menos… entonces no me da positivo. Yo necesito más… por más… el ejemplo… porque si la primera cosa es positiva y la segunda es positiva, más por más me va a dar positivo. Bien, bárbaro. ¿Y cuál sería el otro caso? Y para que me dé positivo… menos por menos… si la primera cosa es negativa y la segunda negativa, menos por menos = más… también. Ahora, lo que no me sirve es que una sea positiva y la tercera negativa, o una negativa y la otra positiva, porque si tienen signos diferentes, al multiplicar se me va a dar negativo, y yo no quiero que me dé negativo; quiero que me den positivo o cero, mayor o igual a cero. Está. Entonces, lo que voy a hacer es plantear dos pasos, como acabo de decir: más por más me daba una solución buena, y menos por menos también me da otra solución que me sirve. Entonces, caso uno: planteo… más por más… que la primera cosa sea positiva, y que al mismo tiempo… clave esto que estoy diciendo… y que al mismo tiempo la segunda cosa sea positiva. Entonces, ¿qué voy a tener? Bueno, primera cosa: x - 2 ≥ 0. Más por más = positivo. Pero también, porque le pongo igual, porque igual… o sea, mayor o igual a cero… es igual… dinero… con esto igual… entonces el mayor o igual va sumando, y me quede… aquí tiene que ser mayor o igual a 2. Bueno, voy a marcar en la recta… acá tengo el 2, listo. Entonces, x tiene que ser mayor o igual a 2. Bueno, entonces… como veis… y el mayor o igual… o corchetes, porque lo incluyen… y que vengan… bueno… valores… ya tengo una parte de este caso… la segunda condición que también tiene que pasar, es decir, tienen que cumplirse las dos a la vez, al mismo tiempo. Por eso dice “i” acá. Dice… pero el símbolo que vamos a usar es este de acá arriba, es como un ave para abajo, que significa intersección, pero es como decir “una cosa y la otra”, ya… las dos condiciones al mismo tiempo… al mismo tiempo… de x + 3 tiene que ser mayor o igual a 0. Despejo… en tres… los… va a ser… restarle… me queda que tiene que ser mayor o igual a -3. O sea, que para marcarlo acá… o al -3… y aquí tiene que ser como mayor o igual… bueno… entonces, como dice igual… corchetes… como dice mayor… y todos los números más grandes… bien… perfecto… yo te marqué el conjunto de soluciones… bueno, escribir… y a mí me dicen “y”, o sea, que las dos cosas tienen que pasar al mismo tiempo. Entonces, lo que me voy a preguntar es: ¿dónde yo tengo las líneas las dos a la vez? ¿Dónde tengo dibujado… podría decir… con los dos colores… rojo en rojo… así… este conjunto… la marca… de productos… en la pregunta ahora es más fácil… si dos de estas están pintados con los dos colores a la vez… y bueno, acá veo que no hay ningún color… acá veo que está solamente el rojo… hay el cabello rojo y el negro… también veo los dos conjuntos… bueno… entonces este pedazo de acá va a ser la solución, es decir, desde 2, incluyendo lo, hasta más infinito. Y el infinito siempre va con paréntesis. No sé si lo notaba en el ejercicio anterior de lineales… el ejercicio… componentes… el infinito… perdón… para comprender por qué… y por qué… si yo me pongo corchete, estoy incluyendo… incluyendo a quién… incluyendo un número… y que les dije antes… que el infinito no es un número. Entonces no lo pueden incluir, por definición del acuerdo… poner un corchete… ya sea más infinito, menos infinito, va a ir siempre con paréntesis. Está, porque no es un número, no lo puedo incluir. Listo, la solución del…
Caso: una hora yo había dicho que había dos maneras de resolver esto: más por más o menos por menos, y las dos son válidas. Entonces yo tengo estas soluciones y fíjense: ahora no estoy usando el condicionante y estoy usando “o”, o sea que también puede llegar a pasar el caso 1, o también puede llegar a pasar el caso 2. Y esto se representa con una ∪, que significa unión, porque está todo bien y el otro también va a estar todo bien; los dos me van a dar soluciones. Entonces, el resultado final van a ir los dos. Está bien, vamos con este caso: menos por menos. O sea, primera cosa: tiene que ser negativa. Acá está planteado que x - 12 ≤ 0 y, al mismo tiempo, la segunda cosa también tiene que ser negativa. Despejo acá, pasando el 12 sumando, y me quedo con esto. Y esto lo voy a representar: x tiene que ser menor o igual a 2. Marco el 2, y el que tiene que ser menor o igual: x tiene que ser menor o igual a -3. x ≤ -3, y x tiene que ser menor o igual. Entonces, ¿dónde es el único lugar en donde tengo pintado con los dos colores? Acá ninguno, acá solo el negro, acá están los colores. Entonces, esa es mi solución, que va a venir desde menos infinito hasta -3, y el -3 con corchetes. Entonces tengo estas dos soluciones, y a mí me dicen que puedo cumplir esta o esta, mejor dicho que todos estos valores cumplen con la condición, y que esto también, o sea las dos soluciones. Puedo tener esta solución o esta solución; las dos son válidas. Entonces la respuesta, les voy a unificar. Entonces, ¿qué voy a decir? Arranco por la que está más a la izquierda. Esta tiene menos infinito. Entonces, como menos infinito hasta -3 corchete, unión 2 a más infinito. Y eso que me quedó ahí arriba es la solución general de quién, de esta ecuación, y ¿cómo la voy a nombrar? A, porque el nombre del conjunto es igual al desorden, y ahí lo resolvemos. Entonces, una inecuación cuadrática, estamos. Si quieren, vuelvan a ver esta parte en las clases. Igual, voy a resolver no a uno, sino varios ejercicios de ecuaciones cuadráticas, seguramente unos tres diferentes, y después haremos repaso, así que no se preocupen, que vamos a practicar mucho de esto. Si es abrumador, puede ser el largo del procedimiento, pero ahora vamos a ir a la racional, y van a ver que tienen las mismas lógicas. Estamos, seguimos.
Tercer tipo de ecuación: ya vimos las lineales, vimos las cuadráticas, y ahora vamos a ver las racionales. Primero y principal: así como las cuadráticas las identificamos porque había x al cuadrado, ¿cómo vamos a identificar una racional? Bueno, muy muy fácil: en una ecuación racional yo puedo ver a x abajo, en el denominador, dividiendo. Acá me dan el conjunto B, por si pensaban que todos los conjuntos se llaman A. Nos pondrán la letra que quieran, la letra mayúscula. El conjunto B se llama, en este caso, va a ser todos los valores reales que cumplan estas condiciones, y dentro de esta condición yo puedo ver claramente que hay una x dividiendo, en el denominador. Entonces, esto es una ecuación racional. ¿Cómo se van a resolver todas? De la misma forma: es un paso a paso que ustedes tienen que aprender, y en el primer paso lo que vamos a hacer es tirar todo para un mismo lado, y que me quede 0 del otro lado. Lo mismo que hacíamos en las cuadráticas, es lo mismo. Si tienen varias cosas en común, entonces lo importante es comparar con el 0, para después pensar esto de la regla de los signos, caso 1, caso 2, y demás. Una vez que pasó 2 en una expresión, lo que tengo que hacer es llevarlo a una sola fracción. En todo su primer paso, tiro todo para un lado y que me quede 0. Segundo paso: esta expresión la llevo a una sola fracción. ¿Cómo voy a llevar a tomar una fracción, no restar menos? Es como restarle dos enteros, y hago simplemente la resta de fracción: denominador común entre -1 y 1 me da x - 1. Ahora lo que Mercedes: x - 1 dividido y -1 me ha, me da una x. x + 6. Estoy haciendo la resta de fracciones. Estos, si quieren, está explicado en el vídeo de liberación, está en la descripción del club, está. Entonces, repito: el y - 1 dividido en 1: 1 x x + 6. x + 6 - porque dice -x - 1 dividido 1: x - 1. O sea, x - 1 x 2 me va a dar 2x - 2. Salvo el paréntesis, y como hay un menos delante del paréntesis, me va a cambiar el signo de los dos términos: aparentes, terminar 6 - 12 y que era positivo que lo negativo, y luego que la negativa positivo, y ahí completé la resta de estas dos fracciones, con el número como una fracción, un poco asoció este término que es x con -12x y me da -x, y 6 - 2: 8 - 1. Y ahí llegué a esta expresión. Y necesitamos, siempre necesitamos, esta expresión de un lado 0, y del otro lado una fracción, o sea un numerador, una cosa de arriba, y un denominador, cosa de abajo. Se acuerdan en la cuadrática que necesitamos dos cosas, dos factores que se multiplicaban, así yo podía pensar más por más o menos por menos, segundos, y tenían que ser positivos o negativos. Ahora lo mismo, pero voy a pensar como dos cosas que se multiplican, sino como dos cosas que se dividen. Entonces, tengo cosa 1, lo que está arriba, que es -x + 8, y el denominador que va a ser x - 1. La división entre estas dos cosas, ¿cómo me tiene que dar, en este caso, y según lo que me decía la ecuación? Nos tienen que dar menor o igual que 0. Menor o igual que 0, lo puedo pensar como negativo. Lo tengo que pensar como que es un número negativo lo que yo estoy buscando o cero. Están son valores y, cuando yo las ponga en esa expresión, me tiene que dar un valor negativo o me tiene que dar cero. Entonces, empiezo a pensar: a ver, ¿qué división entre dos signos me va a dar algo negativo? Si yo hago + / +, me va a dar +. Si hago - / -, me va a dar + también. Yo no necesito que me dé +, yo necesito que me den menor a 0, o sea negativo, y ahí hay dos alternativas: - / + o + / -. Pasó 1, caso 1, vamos con el caso 1 a fondo: - / +. - / + significa que lo de arriba tiene que ser negativo: -x + 8 tiene que ser menor o igual a 0. Negativo o 0. Puedo ayudar arriba, el numerador, valer cero, ¿y cuánto me da la fracción si el numerador vale 0? 0 dividido cuando cosa me da 0, a bueno perfecto, o sea que lo de arriba puede ser cero. Paso la x que está restando, sumando, y me queda que x es mayor o igual a 8. Bárbaro. Vamos con lo de abajo, con el denominador, que tiene que ser positivo. Entonces, planteo que x - 1 tiene que ser mayor a 0. Ojo, porque fíjense que yo no puse mayor o igual para el numerador; sí le puse igual, pero para el denominador nunca le pueden poner igual, que quede claro nunca. ¿Por qué? Porque si el denominador vale 0, estoy dividiendo por 0, y se lo márquez: denominador puede valer cualquier cosa, pero que sea distinto de 0, por favor. O sea, que si en algún momento ustedes plantean que el denominador puede ser igual a 0, está mal. No pueden poner que el denominador es igual a 0, porque no se puede dividir por 0, es un error matemático. Estamos con eso aclarado, porque es uno de los errores más comunes. Por inercia, uno va a ir poniendo mayor igual, menor igual, ya que cuando uno igual no, no puede ser igual el denominador a 0, ¿valor? Porque no se puede dividir por 0, porque es muy importante, es bien. Entonces tengo x - 1 > 0. ¿Por qué estoy planteando que el denominador es positivo? El 1 que está restando lo paso sumando, y me terminó quedando que x es más grande, pero no igual, aún más grande, o sea que acá voy a usar paréntesis. Estamos bien. Voy a unificar al 2, si, el, mejor dicho, pueden ser la intersección, perdón, pues la intersección. Voy a ver dónde se cumplen las dos cosas al mismo tiempo, en el mismo eje, en la misma recta real. Yo tengo que x es mayor o igual a 8. Marco el 8, y mayor o igual significa corchete, y marco con los que llevan después, mayor o igual, sean los mayores o iguales a 8, como dice iguales, le pongo el corchete porque incluimos al 8. Acá le dice que tiene que pasar esto y también esto, o sea que sea mayor a 1, y acá me dice es mayor, entonces le voy a poner paréntesis. Esta le pongo paréntesis, y me dice mayor, los que vienen después. Entonces, como acá me dicen, y me hago la misma pregunta que me hacía en la cuadrática: dentro de un mismo caso, ¿cuándo se cumplen las dos cosas al mismo tiempo? Bueno, acá veo que no se cumple ninguna, acá se cumple la ‘roja’ nada más, y acá se cumplen las dos. Entonces, la solución va a ser de 8 a más infinito. De 8, ya tengo la solución que me da el caso 1, pero esta solución la voy a unir, la voy a ligar con la solución que me da el caso 2, y el caso 2 nos lo plantea como + / -, ya que - / + ya lo hice, y me da negativo; + / - también me va a dar un resultado negativo, o sea menor a 0 o igual. Y para eso voy a plantear que el numerador puede ser mayor o igual a 0. Dije + / -, entonces el numerador ahora positivo o 0. Recuerden que el denominador no puede ser cero. 2 - x ≤ 8. Paso la x sumando, me queda que x es menor o igual a 8. ¿Valor? Y por otra parte, acá planteo que el denominador, x - 1, tiene que ser negativo. Entonces, es menor a 0, y Herschel de nuevo, no le puse igual. Si están pensando: si, ya se entendió eso de que no puedo dividir por cero, lo repito porque es uno de los errores más repetidos en los exámenes. Está en muy normal que se olviden de eso. Entonces, mi idea es que no se le olviden más: no se puede dividir por 0. x - 1 se paso de una suma, no me queda que x es menor a 1. Bueno, represento estas dos posiciones en la misma recta real: x menor o igual a 8, o sea que marco el 8 y paso los menores o iguales con corchete, porque dice igual, y al mismo tiempo de mí tiene que ser menor a 1, así que voy a marcar el 1 y voy a decir menor o menor o igual. ¿Dónde están pintados con dos colores? Y entre menos infinito y 1. El 1 con paréntesis, porque el 1 está incluido para el negro, pero entonces, menos infinito hasta 1. Ahora simplemente voy a unir estas dos, pero voy a cambiar el orden porque siempre voy de izquierda a derecha. Entonces está primero porque tiene al menos infinito. Entonces, me queda menos infinito a 1 unión, corchete, perdón, porque hay un corchete ahí, corchete 8 a más infinito. Y esta es la solución. Fíjense que uno con método componentes y el otro con corchetes, claro porque el numerador sí puede ser igual a 0, pero el denominador no puede ser igual. Con esto, largo el vídeo, intenso, pero con esto ya tenemos entonces, inecuaciones lineales, cuadráticas, y ahora racionales, que son parecidas, no tienen una onda muy similar a las cuadráticas. Por último, ahora vamos a ir con las modulares y terminamos. Después aparecen las de doble condición, que la vamos a ver en la clase directamente. Bien, vamos por último con las ecuaciones modulares. Ya vimos lineales, cuadráticas, racionales, y ahora vamos a modulares. Así, bastante intenso el contenido en ecuaciones. No todos los contenidos van a ser así, pero en ecuaciones es particularmente pesado porque los ejercicios tienen como un paso a paso bastante largo y hay que tener varias cosas en cuenta. Bien, ¿cómo diferencia una ecuación modular de las otras? Bueno, muy simples: voy a tener un módulo, módulo también llamado valor absoluto. Sí, puede tener un módulo, y dentro del módulo va a estar x. Estamos, esas gracias. Tengo x dentro del módulo. Repasando: en las lineales solamente aparece x multiplicada por algún número, dividida por algún número, y le sumamos o restamos. En la cuadrática x aparece al cuadrado. En la racional x aparece dividiendo. Y en la modular x aparece dentro de un módulo. Está. Entonces acá tenemos |x| < 3. Que lo que voy a hacer primero y principal, copia de expresión, es tratar de que el módulo quede solo. Ahora no voy a tratar de que me quede un cero de un lado; eso lo hacíamos en la cuadrática y en la racional. Ahora vamos a tratar de que el módulo nos quede solo. Entonces, de solo, solamente deberíamos hablar en este 2 que están multiplicando, y pasar dividiendo. Cuando yo paso a dividir un 2, pues es un número positivo, así que no tengo que cambiar el sentido de la inecuación. Si fueran -2, esto pasa de ser mayor a menor, recuerden bien, pero como es positivo no tengo que hacer. 2/4 dividido 2: medio, y una vez me llevo de esto a una expresión que tenga al módulo, mayor, menor, mayor o igual, menor o igual a otra cosa, módulo, condición, otra cosa. Una vez que llego a eso, ahora voy a tomar dos caminos. Presten mucha atención, porque no se los escribiré, pero se los voy a decir. Primer camino: voy a sacar las barras del módulo, elimino las barras de módulo, y dejo todo como está. Todo como está, hablando en cuenta que agarran esta expresión y simplemente hacen esto: saco la barra del módulo y dejo todo como está. Estamos. Esto es lo que tenemos que hacer en el primer caso, de ganar nuestro primer camino. Al mismo tiempo, tenemos que hacer por otros caminos. Camino número 2: estos van a ser caminos después separados, y después lo vamos a analizar, pero nosotros, lo, camino me dicen que lo que tengo que hacer es sacar las barras de módulos, ver, ya que las barras del módulo, pero en el otro lado multiplique por -1, y como aparece un número negativo multiplicando, ¿qué tengo que hacer con el símbolo de la inecuación? Cambia de sentido. Acá decía mayor, como aparece un -1 multiplicando, ahora esto es menor, ven. Y simplemente hago: 12 x - 1 me quedan 2, quedaron los dos caminos. A la baja del muro y dejo todo como está. Segundo camino: saco la barra de módulos, pero al otro lado los multiplico por -1, y eso genera un cambio en el símbolo de la ecuación: de mayor paso a hacer. Está bien. Y ahora lo que voy a hacer es despejar a x en los dos casos por separado. Tomando este camino: -x < 3. Paso el -3 sumando, y me tengo que x es mayor a 15. Mayor a secas, no mayor o igual. Entonces, hace que usar paréntesis. En el segundo camino me había quedado que x < 3, entonces: paso el 3 sumando - 12/3 = -9. O sea que, finalmente, x es menor a -9. Una vez que tengamos las dos soluciones, o mejor dicho las dos condiciones en cada uno de nuestros caminos, lo que vamos a hacer es graficarlas en una misma recta real, en una misma recta de esta. Entonces, son caminos diferentes, es verdad, pero ahora los vamos a graficar, los vamos a plasmar en la misma recta, y dice: gráfico en la recta real. Entonces, acá tengo el camino rojo. Si yo le círculo rojo para este 15: x > 15. Entonces, marcamos el 15 y, como x es mayor, lo marcamos a los que son más grandes, y en 15 ponemos un paréntesis, porque dice mayor, o sea que 15 no puede ser. Lo estamos excluyendo. El paréntesis excluye y el corchete incluye. Está bien. Entonces, ya medio de estos pintado, después gráfico de este: y x es menor a -9. Cuando al menos -9, ahora lo estoy haciendo con dedos, más alto al -9, y x el menor, ya los más chicos de -9, y al -9 no lo tengo en cuenta, por esos paréntesis. ¿Qué hago al final? Una vez que lo tengo graficado, lo bueno ahora tengo que analizar esta solución sí. Y hay dos posibilidades, dos cosas que nos pueden pasar: primera cosa que nos puede pasar, si llega a haber una intersección. La intersección se representa con una ∩, hacia abajo. Bien, si llega a haber una intersección, un ∩ hacia abajo, entonces la respuesta es esa misma intersección. Yo me pregunto: ¿hay intersección entre las soluciones? ¿Algún punto en común? ¿Hay contacto entre las dos soluciones? ¿Hay un momento, algún lugar de la recta real donde pasen las dos cosas a la vez? Que esté pintado con nieve, con rojo a la vez. No, ahora tengo una condición acá, no tengo ninguna, y acá tengo una. O sea que claramente no hay intersección, o sea que en este caso no hay solución. No, ¿por qué? Porque en las modulares es raro esto sí. Si hay una intersección, la respuesta es la intersección, pero acá no hay intersección. A, bueno, entonces estamos en el caso de abajo: si no hay, si no hay una intersección, entonces la respuesta ¿quién va a ser? La respuesta va a ser la unión. Si no tengo una intersección, no hay problema, la respuesta entonces va a ser este ∪ este. Así de simple. Entonces lo voy a escribir como me va a quedar: el conjunto que se llama B, bueno, se va a ser igual a este ∪ este. Este ∪ este. ¿Comodo? Bueno, esto es menos infinito hasta -9, menos infinito hasta -9 componentes, y ∪ 15 a más infinito. Listo, listo, clave modular es tener muy presente esta pregunta que nos hacemos en el final: ¿hay intersección? Y en este caso, no. A bueno, entonces la respuesta es la unión de los dos conjuntos. Si hay intersección, si hubiera, tenemos bien intersección, la respuesta sería esa intersección. Le voy a poner un ejemplo de una respuesta con intersección. Si, vamos a olvidarnos de todo esto. Imaginemos que resolvemos otra modular, hacemos toda esta misma historia, y llegamos a una recta real que no tiene esto, sino que tiene esto. Bien, tiene esto, así está más infinito, y de 15 hasta menos infinito. Pregunta: ¿acá hay una intersección? ¿Hay algún momento donde yo haya pintado con dos colores? -9, 15. O sea que la intersección, ¿dónde se intercepta? Sí, tengo las dos a la vez. Bueno, entonces si la intersección, la respuesta es esa intersección. En este caso imaginario que no tiene nada que ver con este ejercicio, la respuesta debería hacerse igual a: de -9 hasta 15. Ver, porque esto sería la intersección, es decir lo que ocurre en las dos cosas al mismo tiempo. Bueno, con esto entonces terminamos con inecuaciones. Faltan las ecuaciones que son de doble condición, es decir, algo así, por ejemplo: 3x - 1 > 2, x ≥ 4, por ejemplo, sí. ¿Cómo se va a resolver esto? De muy fácilmente: primero, acá tengo lineales, entonces resuelvo esto por una parte, y después resuelvo esto por otra. Y ahora lo que me está diciendo es que tienen que pasar las dos cosas a la vez, o sea que acá yo voy a obtener una solución, y acá voy a tener otra solución. ¿Qué yo que tengo que hacer con esas resoluciones? Las tengo que unir, no, no las tengo que interceptar, o sea que sé que tengo todos los negativos, y acá tengo 11 de -1 a más infinito. La intersección solamente es de -10. No importa, esto lo vamos a resolver en la clase, pero lo que quiero que quede claro es que no es muy diferente a lo que estuvimos viviendo en este vídeo. No es muy diferente, es hacer lo mismo que vimos, por ejemplo para lineales, pero por separado. Ya la respuesta a la cinta aceptamos, y nada más, o sea la pronta mos donde pasan ambas respuestas a la vez. Para hacerlo fácilmente: las gráficas, y vemos donde pintamos con los dos colores en el mismo lugar. Está, pero no se preocupen tanto por eso, porque en las clases vamos a ver, y tampoco es lo más tomado. Pueden tomar, obviamente, sí, por eso lo voy a explicar, y voy a resolver ejercicios en las clases. En las próximas dos clases, y ahora son los ejercicios de distancia, y muchos, principalmente muchos de inecuaciones. Está. Con esto podemos decir que pueden hacer toda la práctica, una próxima práctica. Práctica 2, ya vamos a empezar con el mundo de las funciones. Prácticas 2, 3, 4, 5, 6, todo va a girar en torno a las funciones. La, unas como que están medio coladas, es una introducción igual, porque esto que vimos en plano cartesiano, esto, vivimos en los conjuntos nos va a recontra servir. Es muy muy importante, fundamental para lo que viene después, que es el mundo de funciones. Prácticas hasta el final de la materia, estamos con. Listo, entonces cuando la práctica 1, nos vemos entonces ahí en las clases.