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Este vídeo es una recopilación de varios vídeos en los que hablé sobre ecuaciones cuadráticas: cómo resolver una ecuación cuadrática completa, cómo resolver una ecuación cuadrática incompleta cuando b es igual a cero o cuando c es igual a cero, cómo resolver una ecuación cuadrática con la fórmula general y también cómo resolver una ecuación cuadrática por completación de cuadrados.
Una ecuación cuadrática está expresada como ax² ± bx ± c = 0. Va más o menos porque estos términos pueden ser positivos o pueden ser negativos. A veces van a ser los coeficientes, y estos coeficientes pueden ser números, pueden ser letras. Y 'a' tiene que ser diferente de cero, ya que si a = 0, 0 por cualquier término que esté elevada al cuadrado va a ser cero y entonces solo me quedaría una ecuación lineal. 'x' va a ser la variable, como la incógnita de la ecuación, aunque también se pueden utilizar otras letras.
Cuando yo tengo una ecuación cuadrática, se pueden dar varias situaciones. Una de estas es que b y c sean diferentes de cero, entonces la ecuación va a ser completa, lo que quiere decir esto es que el trinomio va a estar completo. Aquí tenemos dos ejemplos de ecuaciones completas.
Cuando b y c son igual a cero, entonces la ecuación va a ser incompleta. Si b es igual a cero, no va a existir el término que contenga solo la 'x', solo va a estar el término que tenga la 'x' al cuadrado. No importa si es uno o es otro valor, y va a estar el valor de 'c' o el término que no va a contener 'x'. Y si c es igual a 0, entonces en la ecuación no van a estar los términos que no contienen la variable.
De esta manera, damos el primer ejemplo. Lo primero que tengo que hacer es factorizar y para esto tengo que identificar qué trinomio es. En este caso, es un trinomio en la forma x² + bx + c. Y lo que voy a escribir son dos pares de paréntesis. Eso va a seguir igualado a cero. Saco la raíz cuadrada de la x² que es 'x' y la escribo en los dos pares de paréntesis. En este primer par de paréntesis voy a escribir el signo del segundo término que es menos. Y para el segundo par de paréntesis, lo que hago es multiplicar este signo con el signo de acá: menos por más es menos. Y ahora tengo que buscar que los números multiplicados me den 8 y que la suma (porque son signos iguales) me dé 6. Y esos números son 4 por 2, ya que -4 por -2 es +8 y -4 - 2 es -6.
Y lo siguiente que tengo que hacer es igualar a cero esto y lo de acá. De esta manera, recordemos que esto se lee como... Lo que me indica es que al final tengo que unir esas dos soluciones con la solución de esta ecuación para hacer los dos resultados que yo obtenga. Entonces, despejo 'x'. El 4 que está con menos pasa con más. Y en la segunda ecuación, despejo 'x'. Y el 2 que está con menos pasa con más. Y esta es la solución de esa ecuación, que la puedo dejar expresada de esa forma o también la puede expresar de esta manera.
Y al igual que con cualquier otra expresión, lo que me indica esta solución es que si yo la sustituyo en esta ecuación, esos valores van a hacer que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, en vez de 'x' voy a escribir el 2 de la solución. Escribo 2² - 6(2) + 8 = 0. 2² es 4, menos 6 por 2 es -12. Y lo otro lo escribo igual. Ahora, o esa operación: 4 + 8 es 12, y -12 es 0. Y vemos que sí se cumple la igualdad.
Y ahora lo voy a comprobar con el otro valor. En vez de 'x' escribo el 4. 4² es 16, menos 6 por 4 es -24. Y lo otro lo escribe igual. 16 + 8 es 24, menos 24 es igual a 0. Y vemos que también se cumple la igualdad. Esto de aquí es necesario que lo hagan siempre, solo cuando se pida demostrar que esta es la solución.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Lo primero que tengo que hacer es que como tengo tres términos, tengo un término que está elevado al cuadrado, otro término que tiene la variable elevada a la unidad, y otro término que no tiene variables. Entonces, es un trinomio. Por lo tanto, lo primero que voy a hacer es igualarlo a cero. Para eso, ese 5 que está en el segundo miembro, que está positivo, lo paso al primer miembro con negativo y lo igualo a cero. Y esta es la ecuación que tenemos que resolver.
Y ahora tengo que identificar qué tipo de trinomio es. En este caso, tengo un trinomio en la forma ax² + bx + c. Como yo le indiqué en el vídeo que habló de este trinomio, existen varias maneras de resolver. Yo lo voy a hacer de la siguiente manera: voy a multiplicar por el valor de 'a', en este caso es 3, a todo el trinomio. Como lo multiplico por ese valor, también tengo que dividirlo para ese mismo valor. Luego, multiplico 3 por 3x² es 9x², pero también lo puede expresar como 3² por x² y eso a su vez me queda expresado como (3x)². Ya vamos a ver más adelante por qué hago esto. Entonces, lo voy a dejar expresado de esa manera. A los dos pares de paréntesis tengo que seguir escribiendo el denominador. Eso va a seguir siendo igual a cero. Y escribo (3x)². Ahora tengo que multiplicar 3 por el 2x, pero lo que hago es escribir el +2 y solo multiplico el 3 por la 'x' de esta manera. Y el 3 por el -5, si lo multiplico. 3 por -5 es -15. Y la finalidad de dejar ese 3x de esa manera es para poder tener un trinomio de la forma x² + bx + c. Y para resolver ese trinomio, abro dos pares de paréntesis. Escribo la respuesta de (3x)² que es 3x, y le escribo aquí y le escribo acá. Como el signo del segundo término es positivo, entonces el trinomio va con más. Y más por menos es menos. Ahora tenemos que buscar que los números multiplicados me den 15 y que su diferencia me dé 2. Y esos números son 5 y 3. Recordemos que de esos números siempre tengo que dejar el que tiene mayor valor absoluto en el primer par de paréntesis. Así obtengo que +5 por -3 es -15 y +5 - 3 es +2.
Lo siguiente que tengo que hacer es eliminar este 3, ya que no me puede quedar ese denominador. No lo puede simplificar con estos valores, ya que el 5 no es divisible para 3. Entonces, eso lo voy a escribir igual. Ahora abro los otros dos pares de paréntesis y voy a dividir 3x para 3, me queda 'x'. Y 3 dividido para 3 es igual a 1. Y así factoricé el trinomio. Pero ahora tengo ya la solución de la ecuación. Para esto, tengo que crear dos ecuaciones con esto que obtuve. Entonces, escribo que 3x + 5 = 0 y la otra ecuación que x - 1 = 0. Ahora voy a resolver esas ecuaciones. Escribo el 3x. Ese 5 que está positivo, aplico la transposición de términos y lo paso con negativo. Ahora despejo 'x'. El 3 que está multiplicando, lo paso a dividir. Y así obtengo una de las soluciones de la ecuación. Ahora voy a resolver la otra ecuación. Despejo 'x'. Y el 1 que está negativo, lo paso al segundo miembro con positivo. Y así obtengo la otra solución de la ecuación. Estas serían las dos soluciones, que la puede expresar de esa manera o también de esta manera de acá.
Vamos a ver ecuaciones cuadráticas incompletas. Una ecuación cuadrática completa se puede expresar de esta manera. Cuando hablamos de ecuaciones cuadráticas incompletas, existen varias situaciones. Una de ellas es que c sea igual a cero. Al ser cero, entonces quiere decir que en nuestra ecuación no va a haber ese término que no va a tener variables. Para resolver estas ecuaciones, debes saber sacar factor común. En este caso, el factor común entre 4x² y 7x es la 'x'. Escribo la 'x' y ahora un par de paréntesis. Y ahora voy a dividir cada uno de esos términos para ese factor común. 4x² dividido para 'x' me queda 4x. Y 7x dividido para 'x', eso es igual a 7. Y tengo que igualar eso a cero. Y ahora de esto voy a sacar dos ecuaciones: una que va a ser x = 0, y la otra que va a ser 4x + 7 = 0. Ahora tengo que despejar esas ecuaciones. Esta de aquí ya está despejada, por lo tanto, la voy a dejar así. Y ahora voy a despejar la de acá. Escribo el 4x. Ese 7 que está positivo, voy a aplicar la transposición de términos, entonces, como está positivo, lo paso al segundo miembro con negativo. Ahora despejo 'x'. Y ese 4 que está multiplicando, lo paso a dividir. Y así obtengo la solución de esta ecuación, que la puedo dejar expresada de esta manera, pues también la puede expresar de esta forma. No es necesario que le escriban de las dos maneras, con una de ellas es suficiente. Explico las dos formas porque en ocasiones, cuando da un examen y ese examen tienen las alternativas, estas alternativas pueden estar dadas de esta manera o de esta forma de acá. Pero cuando esté resolviendo un ejercicio, con una de ellas es suficiente.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Cuando tengo una ecuación cuadrática incompleta, como la que estamos resolviendo, siempre tengo que dejar la igualdad a cero. Entonces, voy a escribir el 3x². Este 18x que está en el segundo miembro, lo voy a pasar al primer miembro con negativo. Y como no me puede quedar nada en ese segundo miembro, entonces igualo a cero. Ahora saco factor común. En este ejercicio, factor común es 3x, ya que 3 es divisible para 3 y 18 también es divisible para 3. Entonces, abro dos pares de paréntesis. 3x² dividido para 3x me queda 'x'. Y 18x dividido para 3x me da 6. Y eso es igual a cero. Ahora hago como el ejercicio anterior: 3x lo igualo a cero y el x - 6 también igual a cero. Por haber resuelto esas ecuaciones, primero resuelvo esta. Despejo 'x'. El 3 que se está multiplicando, lo paso a dividir. Y 0 dividido para cualquier cantidad va a ser igual a cero. Y esta es una de las soluciones de la ecuación. Ahora despejo 'x' en la otra ecuación. Ese -6 lo pongo al segundo miembro con positivo. Y esta es la otra solución de la ecuación.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Saco factor común, que en este caso es 'x'. Abro un par de paréntesis. x² dividido para 'x' es igual a 'x'. Y 'x' dividido para 'x' es igual a 1. Aquí hay que tener mucho cuidado porque en ocasiones suelen equivocarse en vez de escribir el 1, colocan el 0 o no colocan nada. Y eso es igual a cero. Y ahora escribo las ecuaciones: x = 0 o x - 1 = 0. Esta ecuación no tengo que despejarla. Despejo en la segunda ecuación. Escribo 'x' y ese 1 que está negativo, pasa al segundo miembro con positivo. Y así tengo la solución en la ecuación, que es x = 0 y x = 1.
Ahora vamos a ver ecuaciones cuadráticas incompletas, pero en esta ocasión vamos a ver esas ecuaciones incompletas cuando b es igual a cero. Sabemos que una ecuación cuadrática completa se puede expresar como ax² ± bx ± c = 0. Si b es igual a cero, entonces si yo multiplico 0 por 'x', se va a ser cero. Y lo que me quedaría es ax² ± c = 0. Cuando tengo una ecuación cuadrática incompleta en la que b es igual a cero, y esa ecuación yo la puedo factorizar, entonces la puede resolver de esa manera. Hasta actualizando existe otro método que es el que vamos a aplicar para los otros ejemplos, pero en este de aquí yo voy a factorizar. Esto es una diferencia de cuadrados, entonces abro los dos pares de paréntesis. Saco la raíz cuadrada del primer término, que es 'x', y la escribo aquí y la escribo también en el otro par de paréntesis. Luego tengo que escribir un más o menos, el orden no importa. Y aquí voy a escribir el más y acá escribo el menos. Y ahora tengo que sacar la raíz cuadrada del segundo término. La raíz cuadrada de 25 es 5. Y eso lo escriben los dos pares de paréntesis. Y eso es igual a cero. Y ahora lo que tengo que hacer es igualar a cero esto que obtuve de esta manera. Ahora voy a resolver estas dos ecuaciones. Despejo 'x'. Ese 5 que está positivo, lo paso al segundo miembro con negativo. Y ahora con la otra ecuación, despejo 'x'. Ese 5 que está negativo, lo paso con positivo. Y esta es la solución de esa ecuación. La solución de esta ecuación también la puede expresar de esta manera, que como aquí tengo el -5, también lo puede expresar de esta otra forma. No necesita escribir todas estas tres maneras de expresarla, con una de ellas es suficiente.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Como podemos observar, ya esto no es una diferencia de cuadrados. Cuando tengo una ecuación cuadrática en la que b es igual a cero, esas ecuaciones se pueden resolver mediante el método de despeje. La ecuación anterior también la pude haber resuelto como voy a resolver esta de aquí. Escribo el 2x². Ese -8 lo paso al segundo miembro con positivo. Sobre esto, x² y eso es lo que está multiplicando, lo paso a dividir. Y 8 dividido para 2 es igual a 4. Y para hacer esto, lo que voy a hacer es sacar la raíz cuadrada a los dos miembros. La raíz cuadrada de x² es el valor absoluto de 'x'. Y la raíz cuadrada de 4 es 2. Y recordemos que el valor absoluto de un número puede ser positivo o puede ser negativo. Entonces, ¿qué va a extraer el valor absoluto de esa 'x' que va a quedar ±2? Ya que si está -2, el valor absoluto de -2 es 2. Y si está +2, el valor absoluto de +2 sigue siendo 2. Esto es lo que sucede siempre que yo tenga una expresión como esta. Pero no es necesario hacer todo el proceso. Lo que voy a hacer es lo siguiente: escribo 'x', escribo ± y el exponente lo paso al segundo miembro en forma de radical. Y luego, si yo puedo sacar la raíz cuadrada, entonces la saco. En este caso, sí, y me quedaría que x = ±2. Y esta sería la solución de esta ecuación, que la puedo dejar expresada de esa manera o también la puede expresar de esta forma.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Escribo el 3x². Ese 6 que está negativo, lo paso con positivo. Escribo x². Y el 3 que está multiplicando, lo paso a dividir. Y 6 dividido para 3 es igual a 2. Escribo 'x'. Y ese exponente pasa al otro lado en forma de raíz. Pero antes tengo que escribir el ± y escribo la raíz cuadrada de 2. Y la raíz cuadrada de 2 no tiene una solución entera, entonces la puedo dejar expresada de esa forma. Y esta sería la solución, que la puede escribir de esa manera o también la puede escribir de esta otra manera.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Como podemos ver, esto ya es una diferencia de cuadrados, ya que a pesar de que son cuadrados perfectos los dos términos, aquí no está el menos. Por lo tanto, no es una diferencia. Entonces, voy a despejar. Escribo x². Ese 25 lo paso al segundo miembro con negativo. Escribo 'x'. Y ese exponente lo paso al segundo miembro en forma de radical, pero primero escribo ± la raíz cuadrada de -25. Y recordemos que no puedes extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Entonces, con este resolviendo una ecuación y el resultado me queda negativo, lo que yo tengo que hacer es escribir que no tiene solución en los números reales. No puede escribir tan solo que no tiene solución, deba hacerlo de esta forma, ya que la solución de este ejercicio va a depender del conjunto con el que estén trabajando. Si están trabajando solo con el conjunto de los números reales, hasta aquí quedaría el ejercicio. Pero si están trabajando con el conjunto de los números complejos, entonces yo tendría que escribir x va a ser igual a ± y la raíz cuadrada de -25 es 5i. Y esto significa que este 5i es un número imaginario. Y al igual que como hicimos en los ejercicios anteriores, los puedes expresar de esta forma, pero también los puede expresar de esta manera. La manera en que dejen esta solución, como ya lo indiqué, va a depender del conjunto con el que estén trabajando. Hasta aquí, si solo están trabajando con los números reales, hasta acá. Si están trabajando con los números complejos, por los números imaginarios.
Ahora vamos a ver cómo se resuelve una ecuación cuadrática aplicando la fórmula general. Esta es la ecuación que vamos a resolver y esta es la fórmula general. Esta fórmula general se puede aplicar para cualquier ecuación cuadrática, no importa si es una ecuación cuadrática completa o si es una ecuación cuadrática incompleta, como la que ya vimos. Lo que pasaría es que si, por ejemplo, yo lo aplico esta fórmula a las ecuaciones cuadráticas cuando b es igual a cero, entonces en vez de 'b' escribo cero. Y si le aplico a las ecuaciones cuadráticas incompletas cuando c es igual a cero, en vez de 'c' voy a escribir cero. Pero en este caso, lo voy a aplicar en esta ecuación que es completa. Lo primero que tengo que hacer es determinar cuál es el valor de 'a', cuál es el valor de 'b' y cuál es el valor de 'c'. Para esto, recordemos que una ecuación cuadrática se puede escribir como ax² ± bx ± c = 0. Por lo tanto, si esta ecuación no está ordenada, lo primero que tienen que hacer es ordenar la dejándola igualada a cero. De esta manera. Luego de eso, vamos a determinar los valores de 'a', 'b', 'c'. El valor de 'a' es el que acompaña a la x², en este caso, a = 2. El valor de 'b' es el que acompaña a la variable que está elevada al exponente 1, en este caso, b = -5. 'c' es el valor o el término que no contiene variable en nuestra ecuación, c = 3. Ahora, lo que voy a hacer con estos valores es sustituirlos en la fórmula. Lo que ya conocemos para que se haga más fácil y evitar confundirse es que escriban en vez de las letras, paréntesis. Y de esta manera, en vez de 'b' escribo estos paréntesis acá también. Y lo mismo hago con cada una de las otras letras para de esta forma ir sustituyendo el valor que tiene cada una de esas letras. Para este ejercicio, b = -5. Entonces, aquí donde está la 'b', escribo el -5. Este menos de acá es el menos de la fórmula, entonces no hay que confundirse, ya que en ocasiones, como en esta, el valor de 'b' va a ser negativo, entonces hay que escribirlo con su signo. Pero en otras ocasiones, el valor de 'b' va a ser positivo, entonces aquí ya positivo, pero ese menos se debe escribir siempre, el que está acá fuera. Ahora 'b' también va a elevado al cuadrado. Escribo -5, que es el valor de 'b'. Menos 4 multiplica el valor de 'a', que es 2, y también multiplica el valor de 'c', que es 3. Y el denominador es 2 está multiplicando el valor de 'a', que es 2. Y ahora voy a resolver esas operaciones. Entonces, hay que hacer... Menos por menos se hace más. Entonces, escribo 5. No necesito escribir el signo, ya que se sobreentiende. Más menos la raíz cuadrada de -5 al cuadrado. Toda cantidad negativa elevada a un exponente par siempre va a ser positivo. Entonces, -5 elevado al cuadrado es 25. Ahora multiplico menos por más por más es menos. Y 4 por 2 por 3: 4 por 2 es 8, y 8 por 3 es 24. Y en el denominador, 2 por 2 es 4. Ahora voy a hacer lo que está dentro de esa raíz cuadrada: 25 menos 24 es igual a 1. Y escribo el mismo denominador. Ahora sé que la raíz cuadrada de 1, que es 1. Y todo lo demás lo voy a escribir igual. Cuando aparece el más menos, eso significa que aquí voy a tener dos operaciones. Entonces, escribo que x va a ser igual a 5 y escribo uno de estos signos. No importa cuál, primero voy a escribir el menos. Entonces, escribo 1 y eso sobre 4. Y como indica de aquí está el más y el menos, como aquí escribí menos, entonces ahora tengo que escribir 5 + 1 sobre 4. Y ahora tengo que realizar las operaciones de los numeradores. x va a ser igual a 5 - 1, que es 4, sobre el mismo denominador, que es 4. 4 dividido para 4 y eso es igual a 1. Y así obtengo una de las dos soluciones de esta ecuación. Ahora voy a sumar 5 + 1, 6, sobre el mismo denominador, que es 4. Y esto no lo puedo dividir, pero sí lo puedo simplificar. Mitad de 6 es 3 y mitad de 4 es 2. Entonces, x va a ser igual a 3/2. Y esta es la otra solución de la ecuación.
Ahora vamos a resolver otro ejemplo. Ecuación cuadrática aplicando la fórmula general. Este es el ejercicio que vamos a resolver. Para poder aplicar la fórmula, lo primero que tengo que hacer es ordenar esa ecuación dejándola igualada a cero. Entonces, escribo el 3x². El -7x que está en el segundo miembro, lo paso al primer miembro con positivo. Y el 4 que está positivo, lo paso al primer miembro con negativo. Y como no me puede quedar nada en ese segundo miembro, entonces escribo el 0. Y ahora sí está ordenada esta ecuación. Lo siguiente que tengo que hacer es determinar el valor de 'a', 'b' y de 'c'. Recordemos que el valor de 'a' es el que siempre está acompañando a la x², en este caso, a = 3. El valor de 'b' es el valor que está acompañando a la variable que está elevada al exponente 1, entonces b = 7. Y 'c' es el término independiente o el valor que no tiene variable, en este caso es -4. Siempre tengo que escribirlo con su signo. Si son positivos, se sobreentiende y no necesito escribirlo, pero cuando es negativo, tengo que escribirlo. Y ahora voy a sustituir estos valores en la fórmula. En vez de 'b', escribo el 7. Acá también escribo el 7. Menos 4 multiplica el valor de 'a', que es 3, y 'c', que es -4, sobre 2 por 'a', que es 3. Y ahora voy a resolver esas operaciones. -x + 7 es -7. Más menos, -7 al cuadrado es 49. Ahora multiplico menos por más por menos es más. Y 4 por 3 es 12, y 12 por 4 es 48. Y en el denominador, 2 por 3 es 6. Ahora voy a hacer la operación que está dentro de esa raíz cuadrada: 49 + 48 es 97. Y escribo el denominador. Y ahora, como nos podemos dar cuenta, de este número no tiene una raíz cuadrada exacta. Este más menos lo que me indica es que yo tengo dos soluciones: una de las soluciones que voy a escribir con el signo menos, y a la otra solución en la cual voy a escribir con el signo más. De esta manera. Y hasta aquí yo podría dejar esta solución, pero en ocasiones van a necesitar un valor más exacto o más aproximado de cada una de esas operaciones. Entonces, ahora voy a utilizar la calculadora para hacer esas operaciones. Para hacer estas operaciones, van a depender cómo esté configurada su calculadora y también qué calculadora sea. La mayoría de estas calculadoras traen la opción para escribir la fracción. Y si no la traen, cuando no saben utilizar, pueden utilizar los paréntesis. En este caso, yo voy a utilizar los paréntesis para hallar uno de los valores y para el otro valor voy a utilizar la fracción. Entonces, para el primer valor, abro paréntesis, escribo -7 menos la raíz cuadrada de 97. Ahora muevo la flechita o el cursor de la calculadora hacia la derecha, cierro paréntesis, escribo el signo de división y escribo el 6. Ahora presiono igual. Y como ya lo indiqué, dependen de la calculadora, les va a aparecer esta operación o les sale ya esto en forma de decimal. Si les sale en forma de fracción, lo que tienen que hacer es presionar esta tecla o la tecla de acá. Yo voy a presionar esta tecla y así obtengo el primer resultado de 'x', que redondeando lo, lo puedo dejar como -2.81. Ahora voy a hacer la operación para hallar el otro valor de 'x'. Como lo indiqué, voy a trabajar con la fracción. Entonces, presiono esta tecla. Voy a escribir lo que esté en el numerador, que es -7, la raíz cuadrada de 97. Presiono el cursor o la flecha hacia la derecha hasta que quede seleccionado al denominador. Como podemos ver aquí, y presiono el 6. Escribo en igual. Puedo presionar esta tecla y así obtengo el otro resultado de 'x', que aproximándolo, redondeando lo, lo puede expresar como 0.47. Y esta sería la solución de esta ecuación.
Ahora vamos a ver cómo se resuelven las expresiones cuadráticas por completación de cuadrados. Por completando el cuadrado, lo primero que tengo que tener en cuenta es que para poder resolver una ecuación por este método, el valor de 'a' siempre tiene que ser 1. Esto quiere decir que vamos a tener una ecuación parecida a esta, que no haya ningún número multiplicando a la x², como en este caso sí hay, pero es 1. Que no haya ningún número diferente de 1 multiplicando la x². Para aplicar el método, existen varios procesos. Lo que yo voy a hacer es dejar a las variables en el primer miembro. Escribo x² + 12x. Y este 27 que está positivo, lo paso al segundo miembro con negativo. Y como la palabra mismo lo indica, este método consiste en que yo debo completar el cuadrado y de esta forma poder tener un trinomio cuadrado perfecto. Lo que voy a hacer siempre es dividir el valor de 'b' para dos y eso lo voy a elevar al cuadrado. Recordemos que estas ecuaciones se escriben como ax² + bx + c. En este caso, b es 12. Entonces, escribo 12 / 2 y eso tengo que elevarlo al cuadrado. 12 dividido para 2 es 6, y lo elevo al cuadrado, me da 36. Quiere decir que el término que falta para que aquí en el primer miembro haya un trinomio cuadrado perfecto es el +36. Y como yo estoy escribiendo aquí el +36, entonces también lo voy a escribir en el segundo miembro para que de esta forma no altere la ecuación que tengo originalmente. Si yo este 36 no puedo ser primer miembro, pasarlo negativo, y 36 - 36 hace 0, seguiría teniendo la misma expresión que tengo originalmente. Como ya lo indiqué, esto lo hice para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Entonces, voy a resolver esto. La solución de un trinomio cuadrado perfecto siempre va a ser un binomio elevada al cuadrado. Y aquí adentro va a ir la raíz cuadrada del primer término, la raíz cuadrada de x² es 'x'. La raíz cuadrada de 36 es 6. Y aquí en medio el signo del segundo término, en este caso, más. En el segundo miembro, -27 + 36 es 9. Y ahora lo que tengo que hacer es deshacerme de ese exponente. Pero no puedo resolver esto, ya que si lo resuelvo, volvería a obtener un trinomio cuadrado perfecto. Para deshacerme de ese exponente, lo que hago es sacar la raíz cuadrada en el primer miembro y en el segundo miembro. Y ahora tengo que resolver una de las propiedades de los radicales me indica que si lo que está aquí adentro tiene un exponente igual al índice, en este caso el índice es 2, entonces es igual al exponente. Y además esos exponentes son pares, entonces el resultado de esto va a ser el valor absoluto y lo que está ahí adentro. De esta manera, que la raíz cuadrada de 9 es 3. Quizás ustedes encuentren algún vídeo por su profesor explique de esta manera, escriben una raíz cuadrada para cada uno de los miembros y les dicen que este índice con este exponente se elimina y queda solo lo que está aquí adentro. Y al extraer la raíz cuadrada del segundo miembro, escriben ± el valor que les dé. Esto indica que van a tener dos soluciones, al igual que lo que indica esta operación. Recordemos que esta es una ecuación con valor absoluto y para poder resolver una ecuación con valor absoluto, yo siempre tengo que plantear dos soluciones: una que sea negativa o la otra que sea positiva. Entonces, voy a plantear las dos soluciones con esto que tengo aquí. Voy a escribir x + 6 = -3 o x + 6 = 3. Aquí tengo planteadas las dos soluciones y ahora las voy a resolver. Escribo 'x', escribo el -3 y ese 6 que está positivo en el primer miembro pasa con negativo el segundo miembro. Y -3 - 6 es -9. Así obtengo una de las soluciones de esta ecuación. Ahora voy a buscar la otra solución. Escribo 'x', escribo el 3, ese 6 que está positivo en el primer miembro pasa con negativo el segundo miembro. Y 3 - 6 es -3. Y así obtengo la otra solución de esta ecuación.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. Escribo x² - 10x. Este 24 que está negativo en el primer miembro, lo paso al segundo miembro con positivo. Ahora tengo que dividir el valor de 'b' para dos. El valor de 'b' es -10. Entonces, escribo -10 / 2 y eso lo elevo al cuadrado. -10 dividido para 2 es -5, elevado al cuadrado es 25, ya que menos por menos es más. Esta operación que acabo de hacer no necesito que la escriba, lo pueden hacer de manera mental. Tampoco es necesario que coloque el signo menos, ya que toda cantidad negativa elevada a un exponente par igual siempre va a ser positivo. Ahora voy a escribir el 25 como tercer término. Recuerden que siempre que tengo un trinomio cuadrado perfecto, los signos de los términos tienen que ser positivos. Y si hay algún negativo, ese tiene que ser el segundo término. Por lo tanto, el valor que yo encuentre acá siempre va a tener que ser positivo. Como escribí aquí el +25, también escribo acá 25. Ahora voy a resolver ese trinomio cuadrado perfecto que obtengo como solución a un binomio elevada al cuadrado. La raíz cuadrada de x² es 'x'. La raíz cuadrada de 25 es 5. Y aquí escribo el signo del segundo término, que en este caso es menos. En el segundo miembro, 24 + 25 es 49. Escribo la raíz cuadrada para el primer miembro y la raíz cuadrada para el segundo miembro. Al extraer esta raíz cuadrada, obtengo como solución el valor absoluto de x - 5. Y la raíz cuadrada de 49 es 7. Como ahora se formó una ecuación con valor absoluto, entonces planteo las dos soluciones. Escribo x - 5 = -7, x - 5 = 7. Resuelvo esas ecuaciones. Escribo 'x', escribo el -7 y ese 5 que está negativo, pasa al segundo miembro con positivo. Y -7 + 5 es -2. Así obtengo una de las soluciones de esta ecuación. Ahora con la otra ecuación, escribo 'x', escribo el 7, ese 5 que está negativo pasa con positivo. Y 7 + 5 es 12. Y así obtengo la otra solución.
Algo que tienen que tener en cuenta es que no siempre el valor de 'b' va a ser divisible para dos. Si no es divisible, va a obtener como tercer término una fracción. Y el proceso para resolverla sigue siendo el mismo. Y otra cosa que tiene que tener en cuenta es que no siempre se puede sacar la raíz cuadrada al segundo miembro. Si no tiene una raíz cuadrada exacta, lo que tienen que hacer es lo que hice cuando resolví un ejercicio con la fórmula general que no tenía una raíz cuadrada igual. Se plantean las dos soluciones y si la operación que les queda aquí es negativa, entonces esa ecuación no va a tener solución en los números reales.
Y en el ejemplo anterior, expliqué cómo se resuelven estas ecuaciones cuando el valor de 'a' es 1. Recordemos que estas ecuaciones se pueden escribir como ax² + bx + c. Y para poder aplicar este método, el valor de 'a' siempre tiene que ser 1. Lo primero que voy a hacer es dejar que en el primer miembro a las variables, a los valores que contienen 'x'. Entonces, escribo 3x² - 8x. Y este 11 que está negativo en el primer miembro, lo paso con positivo al segundo miembro. Este espacio lo dejo porque aquí voy a colocar ese tercer término que haga que en lo que esté en el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto. Ahora tengo que hacer que ese 3 se convierta en 1. Para esto, voy a dividir a cada uno de los términos de la ecuación para 3. De esta manera. Si estuviese, si un 5, por ejemplo, lo que tendría que haber hecho es dividir a cada uno de los términos para 5. Ahora vamos a dividir: 3x² dividido para 3 me queda x². 8 no se puede dividir para 3, entonces ese término lo escribo igual. Y escribo el 11/3 también igual, ya que no se pueden dividir. Ahora, para saber cuál es ese tercer término que va a hacer que esto se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, lo que voy a hacer es dividir el valor de 'b' para dos y eso lo voy a elevar al cuadrado. El valor de 'b' es el que acompaña a la 'x', en este caso es 8/3. Entonces, voy a escribir 8/3 dividido para 2. Recordemos que no es necesario colocar el signo menos, ya que toda cantidad negativa elevada a un exponente par siempre va a ser positivo. Y que esto lo puede hacer de manera mental. Para poder hacer esta división, como en el numerador tengo una fracción, entonces voy a colocar en el denominador también una fracción. Y recordemos que esto se resuelve multiplicando extremos con extremos y medios con medios. Entonces, multiplico 8 por 1, que es 8. 3 por 2, y 6. Ahora voy a simplificar esa fracción que obtuve como resultado. Mitad de 8 es 4 y mitad de 6 es 3. Esto sería igual a 4/3. Ahora tengo que elevarlo al cuadrado, ya que b dividido para 2 siempre tiene que estar elevado al cuadrado. 4 elevado al cuadrado es 16 y 3 elevado al cuadrado es 9. Y ese es el tercer término que me hace falta para que esto sea un trinomio cuadrado perfecto. Como ya lo indiqué también en el ejercicio anterior, este término siempre tiene que ser positivo. Y que es el mismo valor que escriba aquí, también tengo que escribirlo en el segundo miembro para que de esta forma no altere la operación que yo tengo originalmente. Esta operación es equivalente a esta operación de acá. Como le indiqué, esto lo dice para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Y sabemos que como solución a un trinomio cuadrado perfecto, voy a obtener un binomio elevada al cuadrado. Y aquí adentro escribo la raíz cuadrada de x² y la raíz cuadrada de 16/9. La raíz cuadrada de 16 es 4 y la de 9 es 3. Y aquí en medio va el signo del segundo término, que en este caso es menos. En el segundo miembro, tengo que hacer esa operación. Este es una suma de fracciones heterogéneas. Saco el mínimo común múltiplo entre 3 y 9, que es 9. Ahora, 9 dividido para 3, 3 por 11 es 33. Escribo el más. 9 dividido para 9, 1 por 16 es 16. Ahora hago la suma del numerador. 33 + 16 es 49, sobre el mismo denominador, que es 9. Eso me quedaría en el segundo miembro. Ahora tengo que eliminar ese exponente. Para hacer esto, voy a sacar la raíz cuadrada al primer y al segundo miembro. Y como ya lo indiqué también en el ejemplo anterior, una de las propiedades de los radicales me indica que si el exponente es lo que está aquí adentro es igual al índice, en este caso es sobreentiende que el índice es 2, y además esos números son pares, el índice y el exponente, el resultado de esto va a ser el valor absoluto y lo que está aquí adentro. Entonces, yo tengo que el resultado de esto es el valor absoluto de x - 4/3. Y la raíz cuadrada de 49/9, la raíz cuadrada de 49 es 7 y la de 9 es 3. Entonces, eso es igual a 7/3. Así obtengo una ecuación con valor absoluto. Para poder resolver esta ecuación con valor absoluto, yo voy a plantear las dos soluciones: x - 4/3 = -7/3 o x - 4/3 = 7/3. Siempre voy a escribir las dos ecuaciones. A una la voy a escribir con signo menos en el segundo miembro y a la otra la voy a dejar con signo positivo. Y ahora tengo que resolver esas ecuaciones. Escribo 'x', escribo el -7/3. Ese -4/3 que está negativo en el primer miembro, pasa con positivo al segundo miembro. Ahora tengo que resolver esta operación. Este es una suma de fracciones homogéneas. Escribo el mismo denominador. Hago la operación de los numeradores: -7 + 4 es -3. Ahora hago esa división: -3 dividido para 3 es -1. Y esta es una de las soluciones de esta ecuación. Ahora voy a resolver esta otra ecuación para hallar la otra solución. Escribo 'x', escribo el 7/3. Ese -4/3 pasa con positivo al segundo miembro. Hago esta operación. Escribo el mismo denominador y 7 + 4 es 11. Y así obtengo la otra solución de la ecuación.
Eso ha sido todo. Y recuerda que si tienes alguna duda, consulta a tu profesor.