Transcription
Oh man, das ist ein geiles Auto! Oh, noch ein spezielles Auto. Ja, und eine ganze Menge Autos. Besser bekannt als Star, passt ganz gut, denn heute geht es um Mengen und was das überhaupt ist. Da wäre auch mal wieder zu schön gewesen, war ja noch nie so das, was in der Mathematik das Gleiche war, wie man aus dem Alter kennt. Wäre auch zu einfach, sonst aber trotzdem schwer sind Mengen. Gott sei Dank nicht zu verstehen. Im Prinzip gilt: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten. Wichtig für uns sind jetzt nur zwei Sachen: Ein Teil ist in der Menge oder eben nicht. Die Mathematiker schreiben das dann so: X ist Element der Menge M, X ist nicht Element der Menge M. Eine Menge wird mit geschweiften Klammern geschrieben. M besteht aus den Elementen 1, 6, 4 und 9. Ach ja, die natürlichen Zahlen sind auch eine Menge, und die ganzen Zahlen, und die rational. Natürlich, klar, die rennen auch. Ja, die komplexe natürlich auch noch, lernt ihr später kennen. Gut, das langt jetzt erstmal. Genug von den ganzen Buchstaben. Man muss jetzt natürlich nicht von der Menge alle Elemente aufzählen. Wenn die alle ähnliche Eigenschaften haben, stellt euch mal vor, ihr wollt eine Menge aus den ersten 1000 natürlichen Zahlen. Dauert eine Weile, das alles ins Schreiben. Deshalb könnt ihr eine Menge auch so definieren: M besteht aus den Elementen M, die die Bedingung nach dem Stricher füllen. Wird manchmal auch mit Doppelpunkt geschrieben. Das heißt, unsere Menge mit den ersten 1000 Zahlen würde so aussehen. Hinten steht jetzt einfach die Bedingung, dass M größer gleich 1 sein soll, aber auch kleiner gleich 1000. Die Bedingung da hinten kann natürlich auch eine Funktion sein, wo dann Ende Nullstelle sein soll oder sowas. Könnte hier eine, können sich da ziemlich viele Mengen ausdenken. Leider. Im Prinzip kann eine Menge aus alle möglichen bestehen, aus Variablen, aus bestimmten Zahlen, aus Funktionen und jedem anderen kranken Scheiß, der euch einfällt. Viel mehr als dass sie Elemente enthält, lässt sich über eine Menge an sich auch gar nicht sagen. Seht ihr, EAS. Ganz wichtig: Mengen können Teilmengen haben. Also, ihr pickt euch einen Teil der Elemente aus einer Menge raus und macht daraus neue Menge. Also, wie wenn ihr alle Pokémon habt, aber halt nur sechs davon ins Team mitnehmen dürft. Euer Team ist dann in Teilmenge von allen Pokémon. Das wird dann so geschrieben: Die Menge A ist Teilmenge von der Menge B. Das heißt, A enthält ein Teil der Elemente von B oder sogar maximal alle. Mehr Elemente, aber nicht. Formal bedeutet die Teilmenge: Wenn A Teilmenge von B ist, dann gilt für alle Elemente, die wir hier mal X nennen, wenn das Element in A ist, dann ist es auch in B. Also X Element A, daraus folgt X Element B. Sieht dann so aus: Wie groß der Kringel für A ist, egal. Er darf nur nicht größer als der B-Kringel sein. Sind beide Mengen gleich, schreibt man einfach ein Gleichheitszeichen dazwischen. Das heißt, beide Mengen enthalten die gleichen Elemente. Formal bedeutet das: A ist gleich B. Daraus folgt, dass für alle Elemente gilt: Wenn das Element A ist, dann auch in B, und wenn es ein B ist, dann auch in A. Der Doppelpfeil bedeutet hier, dass aus der linken Behauptung das Rechte folgt und umgekehrt. Die Reihenfolge ist dabei egal. Die Menge 1, 3, 6 ist also gleich der Menge 3, 6, 1. Jetzt gibt's noch einen Fall: Eine Menge ist echte Teilmenge von anderen. Schreibt man dann so: A ist echte Teilmenge von B. Das ist also dann kein Strich drunter. Das bedeutet, A ist Teilmenge von B, aber enthält nicht alle Elemente von B. Also A ist nicht gleich B. Dazu wieder das Bild hier. Diesmal muss aber der A-Kringel kleiner sein als der B-Kringel. Das heißt, wenn A echte Teilmenge von B ist, folgt daraus, A ist normale Teilmenge von B und gleichzeitig ungleich B, weil der rote Kreis halt kleiner bleiben muss. Im Prinzip könnt ihr euch das vorstellen, wie das kleiner und das kleiner-gleich-Zeichen. Bei kleiner-gleich können X und Y beide gleich sein. Wenn X echt kleiner Y ist, sind beide definitiv nicht gleich. Es kann sein, dass euer Prof die Teilmengen-Zeichen anders definiert hat, aber das merkt ihr dann. Ach ja, mal wieder was, was erstmal komisch wirkt: Es gibt leere Mengen. Spätestens jetzt hat mit unserem Verständnis von einer Menge irgendwas nichts mehr zu tun. Eine leere Menge hat nämlich einfach gar kein Element. Schreibt man dann so: So ein komisches Ohr mit bisschen Schrägstrich durch. Definiert ist die leere Menge so: Es gibt kein Element in der leeren Menge. Also existiert kein X, das Element der leeren Menge ist. Es gilt per Definition für alle Mengen, dass die leere Menge eine Teilmenge ist. Ist ja auch logisch, die ist ja immer kleiner als jede Menge. Kann man sich vielleicht so verständlich machen: Wenn alle zu einer Party alt mitbringen, also jede Menge Alk, nur so ein blöder Assi wieder nicht, dann hat der auch was mitgebracht, nämlich nichts. Also, weil die leere Menge ja kein Element hat, ist sie in jeder Menge drin. So irgendwie Augen zu und merken. Halt, Mengen können sich jetzt auch vereinigen und schneiden. Dazu hat man zwei Zeichen erfunden, die beiden Hufeisen hier. Das erste bedeutet schnells. Ihr schaut euch also nur die Elemente an, die gleichzeitig in zwei Mengen enthalten sind. Also, wenn ihr sagt, die Menge S ist die Menge A geschnitten mit der Menge B, dann bedeutet das für alle Elemente in S: Geht das Element ist sowohl in A als auch in B. Und wisst ihr noch, wie man Mengen schreibt, wo alle Elemente ähnliche Eigenschaften haben? Genau, die Schnittmenge kann man natürlich auch so definieren. Die Bedingung ist daneben, dass die Elemente der Schnittpunkte sowohl in A als auch in B sind. Also, wenn das rote hier die Menge A und das grüne die Menge B ist, dann ist der schwarz-gelbe Teil die Schnittmenge S davon. Der Rest liegt entweder nicht im B oder nicht A und gehört deshalb nicht dazu. Das andere Zeichen bedeutet Vereinigung. Jetzt schaut er die Elemente an, die entweder in der ein, der anderen oder in beiden Mengen drin liegen. Also, wenn ihr sagt, V ist die Menge A vereinigt mit der Menge B, dann bedeutet das für alle Elemente in V: Gilt das Element ist entweder in A oder in B enthalten. Oder heißt hier, dass das eine oder das andere oder beides zutreffen kann. Also, wenn das Element in beiden liegt, dann trifft das oder auch zu. Kann natürlich wieder so definiert werden. Das rote ist wieder A, das grüne wieder B, dann ist bei der Vereinigung das ganze gelb-schwarze unsere Menge V. Menge kann man natürlich auch voneinander abziehen. So grob gesagt, wenn man zum Beispiel B von A abzieht, heißt es Ergebnis A ohne B. Schreibt man mit einem Backslash. Definiert ist das Ergebnis so: Also X ist in A und nicht in B. Wird manchmal auch Komplement von B in A genannt. Das schreibt man dann halt so C für Kompliment im Englischen. Wenn wieder A rot und B grün ist, dann ist A ohne B der schwarz-gelbe Bereich. Das ist dann halt der Teil in A, nur ohne den Teil, wo sich B überschneidet. Also, was war jetzt wichtig? Erstens: Mengen enthalten unterscheidbare Elemente. Eine Menge ist leer, wenn sie kein Element enthält. Zweitens: Mengen können Teilmengen besitzen oder selbst Teilmenge eine andere Menge sein. Vorsicht bei der Unterscheidung von Teilmengen und echten Teilmengen. Drittens: Mengen kann man schneiden oder vereinigen. Man kann sich sogar voneinander abziehen. Wenn es euch bis hierhin zu leicht war, dann guck doch direkt das nächste Video an. Wir spielen ein bisschen mit der Mengen rum und machen uns damit sogenannte Abbildung. Einfach klicken. Ach ja, wer von euch ist oder war auch ein begeisterter Pokémon-Spieler? Schreibt doch mal in die Kommen, welche sechs Elemente in eurer Lieblingstemenge von allen Pokémon sind, also euer Top-Team. In dem Sinne, noch einen schönen Tag und bis dann. Ciao.