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Buen día. Iniciamos con el bloque número 3, llamado "La Red".
Como introducción, veremos el concepto de ecuación. Es una igualdad en la que hay términos conocidos y o no, más términos desconocidos llamados incógnitas. Teniendo esto en cuenta, pasaremos a ver las partes que conforman la ecuación. Los términos que están a la izquierda de la igualdad se conocerán como primer miembro, y los términos que se encuentran a la derecha de la igualdad serán el segundo miembro. En este caso, la "x", que es la literal, será la incógnita. Los números 3 y -3 serán conocidos como términos independientes.
Entendido esto, pasamos a dar un repaso a las leyes de los signos dentro de la multiplicación. Términos que sean negativos y se multipliquen por otro término negativo darán un resultado positivo. Positivo por positivo dará positivo. Negativo por positivo dará negativo, y positivo por negativo dará negativo.
La división: un término negativo que se divide entre un término negativo dará un resultado positivo. Positivo sobre positivo será igual a positivo. Negativo / positivo será negativo, y positivo sobre el negativo será negativo.
Y por último, dentro de las leyes de los signos, veremos la transposición. En el caso de un término positivo que se pase hacia la derecha de la igualdad, pasará como negativo. Y un término negativo que está a la derecha de la igualdad pasará hacia la izquierda como positivo. En otra ecuación, un término que sea negativo y se pase a la derecha de la igualdad pasará como positivo. Y un término positivo que pasa a la izquierda de la igualdad pasará como negativo. En el caso de un término que esté dividiendo, pasará hacia la derecha multiplicando. Y un término que esté multiplicando pasará hacia la izquierda dividiendo. Un término que estamos duplicando pasará a la derecha dividiendo, y un término que esté dividiendo pasará hacia la izquierda multiplicando. En el caso de la multiplicación y la división, los términos conservarán su signo, ya sea positivo o negativo.
Teniendo esto en cuenta, veremos los siguientes ejemplos. En la ecuación x + 3 = -3, al igualar la a 0, lo que tenemos que hacer es el -3 pasarlo hacia la izquierda de la igualdad. Al ser negativo, pasará como positivo, lo que nos dará una ecuación de x + 3 + 3 = 0.
En otra ecuación, -3x = 3, al despejar x, el -3 que está multiplicando a la x pasará hacia la derecha dividiendo y manteniendo su signo. Por lo tanto, la ecuación nos quedará x = 3 / -3.
Y por último, en otra ecuación de x / 3 = -3, al despejar la x, el 3 que está dividiendo a la x pasará hacia la derecha de la igualdad multiplicando. Y por lo tanto, la ecuación nos quedará x = -3 * 3.
Terminando con esta introducción, damos inicio pues al contenido del bloque número 3.
Iniciando con el tema 3.1, "Ecuación de la Recta: Forma Punto Pendiente". En este tema veremos cómo determinar la ecuación de la recta teniendo como datos un punto y una pendiente, basándonos en la siguiente fórmula: y - y1 = m * (x - x1). Para implementar esta fórmula, pasaremos a realizar un ejemplo en donde se pide graficar y determinar la ecuación de la recta en el caso de un punto con coordenadas (-6, 2) y una pendiente de 0.5.
Iniciaremos con la ecuación de la recta en donde identificaremos en nuestro punto a x1 y y1. Ponemos nuestra fórmula antes mencionada: y - y1 = m * (x - x1). Al sustituir los valores de y1 y de x1, la fórmula nos quedará y - 2 = 0.5 * (x - (-6)). Al realizar x - (-6), la fórmula nos queda y - 2 = 0.5 * (x + 6). Realizamos esta multiplicación de 0.5 * (x + 6) y la fórmula será y - 2 = 0.5x + 3.
En este momento, tocará igualar toda la ecuación a 0. Por lo tanto, 0.5x + 3 nos pasaremos al lado izquierdo de la ecuación, y la ecuación nos quedará y - 2 - 0.5x - 3 = 0. Seguido de esto, lo que queda es producción de términos semejantes y orden de términos de acuerdo al alfabeto, ya que x está antes que y en el alfabeto. Iniciaremos colocando este término que es -0.5x, continuamos con +y, y hacemos reducción de términos semejantes de -2 - 3, nos da -5. Por lo tanto, la ecuación de la recta será -0.5x + y - 5 = 0.
Ahora pasaremos a comprobar que la ecuación de la recta esté correcta. Por lo tanto, colocaremos nuevamente la ecuación que obtuvimos y dentro de ella sustituiremos los valores de x y de y previamente dados. Por lo tanto, la ecuación quedará -0.5 * (-6) + 2 - 5 = 0. Realizamos la multiplicación de -0.5 * (-6), nos queda 3 + 2 - 5 = 0. Realizamos la suma de 3 + 2, 5 - 5 = 0. Realizamos esta resta y nos queda 0 = 0. Por lo tanto, la ecuación -0.5x + y - 5 = 0 es la ecuación de la recta en base al punto y la pendiente dados.
Ahora, para graficar, necesitaremos determinar dos puntos de apoyo: uno que será sobre el eje de las x y otro que será sobre el eje de las y, en base a la ecuación de la recta. Para nuestro punto en el eje x, nuestra y será igual a 0. Por lo tanto, dentro de la ecuación de la recta, sustituiremos el valor de y, y tendremos que la ecuación será -0.5x + 0 - 5 = 0. Y reducimos los términos semejantes y nos queda -0.5x - 5 = 0. Pasamos el -5 hacia la derecha para despejar poco a poco el término de x, y tendremos -0.5x = 5. Terminando de despejar por completo la x, pasaremos el -0.5 hacia la derecha, que si está multiplicando a la x, pasará dividiendo. Por lo tanto, x = 5 / -0.5. Y realizando esta división, x = -10. Por lo tanto, el punto de apoyo sobre el eje de las x es igual a (-10, 0).
Pasamos ahora a realizar el punto de apoyo sobre el eje de las y, en donde nuestra x será igual a 0. Ya sustituir este valor dentro de la ecuación de la recta, tendremos -0.5 * 0 + y - 5 = 0. Realizamos la multiplicación de -0.5 * 0, y nos quedará 0 + y - 5 = 0. Por último, despejaremos y, pasando el -5 hacia la derecha como positivo, y nos quedará y = 5. Por lo tanto, el punto de apoyo sobre el eje y es igual a (0, 5).
Dentro del plano cartesiano, colocaremos el punto sobre el eje de las x en (-10, 0) y colocaremos el segundo punto de apoyo en (0, 5). Trazamos la recta entre estos dos puntos y colocaremos el punto a previamente dado en (-6, 2). Colocando este punto y viendo que queda sobre la recta previamente realizada, comprobaremos nuevamente que la ecuación de la recta está correcta.
Ahora pasamos a nuestro tema 3.2, "Ecuación de la Recta en la Forma de Dos Puntos". En este tema veremos cómo determinar la ecuación de la recta teniendo como datos dos puntos, donde utilizaremos la siguiente fórmula: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1).
Pasamos a realizar el ejemplo del tema en donde se puede graficar y determinar la ecuación de la recta con los puntos con coordenadas A (6, 4) y B (8, -10). Iniciaremos identificando dentro del punto A, x1 y y1, y en el punto B, x2 y y2. Para la ecuación de la recta, utilizaremos la fórmula antes mencionada: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1). Donde sustituiremos los valores de y2, y1, x2 y x1, lo que nos da y - 4 = (-10 - 4) / (8 - 6) * (x - 6). Al realizar operaciones, nos queda y - 4 = -6 / 2 * (x - 6). Nuevamente realizamos operaciones y tendremos que y - 4 = -3 * (x - 6). Realizamos la multiplicación de -3 * (x - 6) y tendremos y - 4 = -3x + 18.
En este paso, pasaremos a igualar nuestra ecuación a 0, dado que ya no tenemos más operaciones de realizar, y nos quedará y - 4 + 3x - 18 = 0. Realizamos reducción de términos semejantes y orden de términos, lo que nos da finalmente la ecuación de la recta de 3x + y - 22 = 0.
Con esta ecuación, pasaremos a realizar la comprobación. Iniciaremos con el punto A con las coordenadas de (6, 4). Nuevamente colocaremos nuestra ecuación de la recta de 3x + y - 22 = 0. Dentro de esta ecuación sustituiremos x y y, lo que nos da 3 * (6) + 4 - 22 = 0. Realizamos esta multiplicación de 3 * 6 y tendremos 18 + 4 - 22 = 0. Realizamos la suma de 4 + 18, 22 - 22 = 0. Al realizar esta última operación, nuestra ecuación será 0 = 0. Por lo tanto, la ecuación de la recta en base a nuestro punto A está correcta.
Ahora pasaremos a realizar la comprobación guiándonos con nuestro punto B con coordenadas (8, -10). Nuevamente tenemos nuestra ecuación de la recta de 3x + y - 22 = 0. Sustituiremos los valores de x y de y, y tendremos 3 * (8) + (-10) - 22 = 0. Realizamos la multiplicación de 3 * 8 y tendremos 24 - 10 - 22 = 0. Realizamos la suma de -10 - 22, 24 - 32 = 0. Realizamos nuevamente esta última operación y nos queda -8 = 0. Por lo tanto, la comprobación en base a nuestro punto B no está correcta.
Revisando el cálculo: y - 4 = -10 - 4 / 8 - 6 * (x - 6)
y - 4 = -14 / 2 * (x - 6)
y - 4 = -7 * (x - 6)
y - 4 = -7x + 42
y + 7x - 4 - 42 = 0
7x + y - 46 = 0
Comprobación con punto A (6, 4):
7*(6) + 4 - 46 = 42 + 4 - 46 = 46 - 46 = 0. Correcto.
Comprobación con punto B (8, -10):
7*(8) + (-10) - 46 = 56 - 10 - 46 = 46 - 46 = 0. Correcto.
Ahora pasaremos a graficar nuestra recta dentro del plano cartesiano, iniciando con el punto en (6, 4) y nuestro punto B en (8, -10). Trazamos nuestra recta y colocamos la ecuación de la recta de 7x + y - 46 = 0.
Continuamos con el tema 3.3, "Ecuación de la Recta en la Forma Simétrica". En este tema veremos cómo determinar la ecuación de la recta teniendo como dato un punto en el eje de las x y un punto en el eje de la y, para lo cual utilizaremos la siguiente fórmula: x/a + y/b = 1.
Para poner en práctica de esta fórmula, realizaremos el siguiente ejemplo donde se pide graficar y determinar la ecuación de la recta si ya tiene un punto en coordenadas (5, 0) y un punto B con coordenadas (0, 15). En este caso, el punto A está localizado sobre el eje de las x y el punto B está localizado sobre el eje de la y.
Iniciamos identificando dentro de las coordenadas del punto A, 5 como a minúscula, y dentro de las coordenadas del punto B, 15 como b minúscula. Para determinar la ecuación de la recta, utilizaremos la fórmula de x/a + y/b = 1. Al sustituir los valores de a y de b dentro de la fórmula, la ecuación nos quedará x/5 + y/15 = 1.
En este caso, tomaremos al 15, que es el número mayor que está dividiendo a la x y a la y, como común denominador, ya que este divide al 5 en un número entero. Al tomarlo como común denominador, el 15 lo dividimos entre 5 y nos da 3, que multiplicamos por la x y tendremos 3x. En el caso de la y, 15 entre 15 y nos da 1, que multiplicamos por y y nos da y. Por lo tanto, en nuestra ecuación quedará 3x + y / 15 = 1.
Despejando los valores de x y de y, pasaremos el 15 que está dividiendo a x y a y hacia la derecha, que si está dividiendo, pasará multiplicando, por lo que la ecuación nos quedará 3x + y = 1 * 15. Realizamos esta multiplicación de 1 * 15, y la ecuación nos queda 3x + y = 15. En este momento, ya igualaremos toda la ecuación a 0, pasando el 15 hacia la izquierda como un valor negativo. En la ecuación nos quedará 3x + y - 15 = 0.
Ahora que ya contamos con la ecuación de la recta, pasaremos a comprobar que sea correcta, iniciando con el punto A con coordenadas (5, 0). En la ecuación de la recta 3x + y - 15 = 0, sustituimos los valores de x y de y, lo que nos da 3 * (5) + 0 - 15 = 0. Realizamos la multiplicación de 3 * 5 y tendremos 15 + 0 - 15 = 0. Sumamos 15 + 0 y nos quedará 15 - 15 = 0. Realizamos esta resta y nos queda 0 = 0. Por lo que la ecuación de la recta con respecto al punto A está correcta.
Pasando al punto B con coordenadas (0, 15), nuevamente ponemos la ecuación de la recta obtenida: 3x + y - 15 = 0. Sustituimos los valores de x y de y, y nos quedan 3 * (0) + 15 - 15 = 0. Realizamos la multiplicación 3 * 0 y tendremos 0 + 15 - 15 = 0. Eliminamos el 0 y nos queda la ecuación 15 - 15 = 0. Realizamos esta resta y nos quedará 0 = 0. Por lo tanto, la comprobación con el punto B también está correcta.
Ya contamos con los puntos para graficar nuestra recta. Podemos ir directamente al plano cartesiano, ubicando en (5, 0) el punto A y en (0, 15) el punto B. Trazamos la recta entre estos dos puntos, que tendrá una ecuación de 3x + y - 15 = 0.
Ahora iniciamos el tema 3.4, "Ecuación de la Recta en la Forma Pendiente Ordenada al Origen". En este tema veremos cómo determinar la ecuación de la recta teniendo como datos la pendiente y un punto de ordenada sobre el eje y. Utilizaremos la siguiente fórmula: y = mx + b. Y la pondremos en práctica en el siguiente ejemplo, donde se piden graficar y determinar la ecuación de la recta en el caso de un punto con coordenadas (0, 8) y una pendiente de 0.75.
Iniciamos identificando dentro de las coordenadas del punto A, al 8 como b minúscula. Para la ecuación de la recta, utilizaremos la fórmula antes mencionada: y = mx + b. En esta fórmula sustituimos el valor de m, que es la pendiente de 0.75, y el valor de b, que es 8, dejando una ecuación de y = 0.75x + 8.
Esta ecuación se igualará a 0, lo que nos dará 0.75x - y + 8 = 0. Para tener completa la ecuación de la recta, falta reducción de términos semejantes y orden de los términos. En este caso, pondremos el valor de x primero, que es -0.75x, seguido del valor de y, +y, y continuamos con los términos independientes, que en este caso es +8. Por lo que la ecuación de la recta nos quedará -0.75x + y + 8 = 0.
Ya tener la ecuación de la recta, pasamos a realizar la comprobación con el punto A con coordenadas (0, 8). Con la ecuación de la recta -0.75x + y + 8 = 0, sustituiremos el valor de x y de y, lo que nos da -0.75 * (0) + 8 + 8 = 0. Realizamos la multiplicación de -0.75 * 0, y nos quedará 0 + 8 + 8 = 0. Realizamos la operación de 0 + 8 + 8, y tendremos que 16 = 0. Por lo tanto, la comprobación no es correcta.
Revisando el cálculo: y = mx + b.
y = 0.75x + 8.
Igualando a cero: 0.75x - y + 8 = 0.
Comprobación con punto (0, 8):
0.75*(0) - 8 + 8 = 0 - 8 + 8 = 0. Correcto.
Ahora pasaremos a graficar y para esto requeriremos un punto de apoyo en el eje de las x, en donde el valor de y es igual a 0. Comenzamos con la ecuación de la recta de 0.75x - y + 8 = 0. En esta ecuación sustituimos el valor de y, y tendremos 0.75x - 0 + 8 = 0. Despejaremos x, pasando el +8 hacia la derecha como un valor negativo, y el 0.75 que multiplica a la x lo pasaremos dividiendo. Por lo tanto, x = -8 / 0.75. Y al realizar esta división, nos quedará x = -10.66. Por lo tanto, las coordenadas del punto de apoyo será (-10.66, 0).
Ya que contamos con los puntos para graficar nuestra recta, pasaremos al plano cartesiano, en donde en (0, 8) ubicaremos el punto A y en (-10.66, 0) ubicaremos el punto de apoyo. Trazamos la recta entre estos dos puntos, que tiene una ecuación de 0.75x - y + 8 = 0.
Ahora iniciamos el tema 3.5, "Ecuación de la Recta en la Forma General". En este tema veremos cómo determinar puntos de apoyo para poder graficar la recta partiendo de la ecuación general, además de determinar el valor de la pendiente. La ecuación general de la recta está conformada por Ax + By + C = 0. Y además de esta ecuación general, utilizaremos las siguientes fórmulas: para el punto de apoyo en el eje de las x, las coordenadas estarán conformadas por (a, 0), donde la fórmula para obtener a será a = -C / A. Para el punto de apoyo sobre el eje de las y, las coordenadas estarán conformadas por (0, b), para obtener el valor de b utilizaremos la fórmula de b = -C / B. Y para determinar la pendiente de la recta, utilizaremos la fórmula de m = -A / B.
Dicho esto, pasaremos a realizar el ejemplo en donde se pide graficar y determinar punto A, punto B y pendiente de la recta en base a la ecuación 3x + y - 15 = 0. Iniciaremos por identificar dentro de la ecuación los valores de A, B y C, obteniendo los datos de A = 3, B = 1 y C = -15.
Con estos datos, iniciamos obteniendo a, que es igual a -C / A. Al sustituir esto, tendremos que a = -(-15) / 3, que al realizar la división nos queda que a = 5. Por lo tanto, el punto de apoyo que estará conformado por (a, 0) será nuestro punto A con coordenadas (5, 0).
Pasamos a obtener b, que será igual a -C / B. Al sustituir los datos, nos queda -(-15) / 1, y al realizar esta división nos queda que b = 15. Por lo tanto, el punto de apoyo sobre el eje de las y con coordenadas (0, b) será (0, 15).
Por último, pasamos a obtener la pendiente de la recta con la fórmula de m = -A / B. Al sustituir los datos, nos queda que m = -3 / 1, y al realizar la división nos queda que la pendiente es igual a -3.
Ya que tenemos los puntos de apoyo para graficar nuestra recta, pasamos al plano de coordenadas, iniciando con el punto A, que estará ubicado en el eje de las x con coordenadas (5, 0), y en el eje de las y ubicaremos en (0, 15) el punto B. Ya que tenemos los dos puntos, trazaremos la recta que hay entre ellos, que tiene ecuación de 3x + y - 15 = 0.
Terminamos los temas de nuestro bloque número 3 con el tema 3.6, "Distancia de un Punto a una Recta". En este tema veremos cómo determinar la distancia que existe entre un punto y una recta, teniendo como dato la ecuación general de la recta. Para esto, tenemos que ver que las distancias son positivas y negativas. El valor de la distancia será positivo si el punto se encuentra sobre la recta, como en los primeros dos ejemplos, y será negativo si el punto está por debajo de la recta, como en los últimos dos ejemplos. Para determinar la distancia, utilizaremos la siguiente fórmula: d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Ahora pasaremos a realizar el ejemplo del tema, en donde se pide graficar y determinar la distancia a la recta 3x + y - 15 = 0 al punto A con coordenadas (10, 10).
Iniciamos graficando, en donde necesitaremos determinar un punto de apoyo sobre el eje de las x y un punto de apoyo sobre el eje de la y. Iniciando con el punto de apoyo sobre el eje de las x, tendremos que y será igual a 0. Colocamos la ecuación de la recta de 3x + y - 15 = 0, en donde vamos a sustituir el valor de y, y la ecuación nos quedará 3x + 0 - 15 = 0. Para despejar x, tendremos que pasar el -15 desde la derecha con un valor positivo, y el 3 que está multiplicando la x lo pasaremos también a la derecha pero dividiendo, por lo que nos queda x = 15 / 3. Al realizar esta división, x será igual a 5. Por lo tanto, las coordenadas de nuestro primer punto de apoyo serán (5, 0).
Para determinar el punto de apoyo en el eje de la y, nuestra x tendrá un valor de 0. Utilizando la ecuación de la recta de 3x + y - 15 = 0, sustituiremos el valor de x, por lo que tendremos 3 * (0) + y - 15 = 0. Que al realizar la multiplicación de 3 * 0, la ecuación nos queda 0 + y - 15 = 0. Despejando el valor de y, pasaremos el -15 hacia la derecha de la igualdad, y nos quedará que y = 15. Por lo que nuestro segundo punto de apoyo sobre el eje de las y tendrá coordenadas de (0, 15).
Dentro del plano cartesiano, ubicaremos nuestro primer punto de apoyo en (5, 0) y el segundo punto de apoyo en (0, 15). Trazamos la recta entre estos dos puntos, que tiene una ecuación de 3x + y - 15 = 0. Y colocamos el punto A en (10, 10). Partiendo del punto A, trazaremos una línea perpendicular hacia nuestra recta, y con perpendicular nos referimos a que tiene un ángulo de 90 grados. Esta línea punteada será la distancia a determinar.
Para determinar la distancia, iniciaremos identificando dentro de la ecuación de la recta el valor de A, el valor de B y el valor de C. En las coordenadas del punto A, identificaremos x y y. Tendremos como datos que A = 3, B = 1, C = -15, x = 10 y y = 10.
Ahora pasaremos a utilizar la fórmula de la distancia: d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2). Sustituimos los datos dentro de la ecuación, y nuestra distancia será d = |3 * (10) + 1 * (10) - 15| / sqrt(3^2 + 1^2). Realizamos operaciones superiores e inferiores, y la distancia nos quedará d = |30 + 10 - 15| / sqrt(9 + 1). Nuevamente realizamos las operaciones y nos queda d = |25| / sqrt(10). Determinamos la raíz cuadrada de 10 y tendremos d = 25 / 3.16. Realizamos esta división y obtenemos que d = 7.91. Por lo que la distancia de la recta al punto A con coordenadas (10, 10) será de 7.91.