Grand Oral - pourquoi on ne peut pas diviser par 0 ?

Alors, dans cette vidéo, je vais vous proposer un sujet possible pour le Grand Oral du bac, qui est la division par zéro. Parce que, depuis tout petit, vous savez que l'on ne peut pas diviser par zéro. C'est strictement interdit. D'ailleurs, on peut même enlever des points après, dans le supérieur, si on fait des divisions par zéro. Mais justement, on va se poser la question dans cette vidéo: mais pourquoi finalement on ne peut pas diviser par zéro et qu'est-ce qui est en rapport avec tout cela en termes de fonction, en termes d'égalité, etc. ?

Alors, en introduction, on peut dire déjà que, en réalité, il n'y a pas quatre opérations élémentaires. Parce que d'habitude, on dit toujours: il y a quatre opérations élémentaires, plus, fois et divisé. Ça, c'est ce que vous avez appris au CP. En réalité, on peut dire qu'il n'y en a que deux: l'addition et la multiplication.

Alors du coup, mais comment on fait une soustraction et une division ? Eh bien, il faut bien voir que quand on fait une soustraction, par exemple, quand on fait 5 - 3, on peut très bien dire que c'est 5 + (-3). Donc, je vois que là j'ai transformé ma soustraction en addition. Pareil pour les divisions: si je fais 7 divisé par 6, je peux très bien dire que ça c'est égal à 7 fois 1/6. Mais là, 1/6, j'ai toujours une fraction, donc j'ai toujours une division. Oui, sauf que l'on sait que 1/6, c'est comme 6 puissance -1. Donc, c'est fois 6 puissance -1, parce que je rappelle que 1 sur A, pour A différent de 0, et bien 1 sur A est égal à A puissance -1. Ce 1 n'a rien à voir avec le 1 ici. Si je mets, par exemple, 3 sur A, ce sera trois fois A puissance -1. Si je mets 4 sur B, ce sera 4 fois B puissance -1. Le puissance -1 veut juste dire que oui, c'était inversé. Donc là, je vois que finalement je mets une multiplication à la place d'une division.

Et justement, ce puissance -1, c'est quoi ? 6 puissance -1, c'est 1/6, c'est-à-dire c'est l'inverse de 6. Et quand on dit l'inverse de 6, bah, ce n'est pas si anodin que ça, parce que c'est l'inverse au sens de la multiplication. C'est exactement le même principe que pour les matrices. Parce qu'on sait que si on a, par exemple, la matrice A fois la matrice B qui est égale à C (pour ceux qui ont vu les matrices), et bien on ne peut pas dire que B est égal à C divisé par A. Ça, en termes de matrice, est strictement interdit. On ne peut pas diviser par des matrices, ça ne veut rien dire mathématiquement. Par contre, ce qu'on peut faire, c'est multiplier par A^-1 justement à gauche et à droite. Et d'ailleurs, pour les matrices, l'inverse de A se note A^-1, exactement comme pour les réels. Sauf que pour des réels, 6 puissance -1, c'est 1/6. Par contre, pour les matrices, A^-1, c'est juste A puissance -1. Et donc, si on multiplie par A puissance -1 à gauche et à droite, ça fait A puissance -1 fois A fois B = A^-1 fois C. A puissance -1 fois A, ça fait l'identité. C'est l'identité fois B = A^-1 fois C. Et on sait que l'identité fois B, ça fait B. Donc, ça fait que B est égal à A^-1 fois C.

Donc là, ça a l'air un petit peu compliqué, mais en réalité, c'est exactement le même principe que l'on fait quand on fait ça. C'est-à-dire que si j'ai, par exemple, 7X est égal à 5, nous on dit X = 5/7. Mais en fait, ça revient à dire que l'on multiplie par 7 puissance -1. 7 puissance -1 fois 7X est égal à 7 puissance -1 fois 5. 7 puissance -1 fois 7, ça fait 1. Et donc, ça me donne X. 7 puissance -1, c'est 1/7. Un septième fois 5, ça fait 5/7. Donc, je retrouve bien évidemment la même chose que par le calcul direct. Mais en réalité, je vois que diviser revient à multiplier par l'inverse.

Bon, mais si diviser revient à multiplier par l'inverse, à ce moment-là, diviser par zéro reviendra à multiplier par l'inverse de zéro. Donc là, on peut écrire que diviser par zéro, du coup, c'est équivalent à multiplier par l'inverse de zéro. Ah, l'inverse de zéro ! Donc, pour diviser par zéro, il suffirait que je trouve l'inverse de zéro. Alors, qu'est-ce que c'est l'inverse de zéro ?

Déjà, on va voir quel est l'inverse d'un réel quelconque, et après on cherchera l'inverse de zéro. Si on fait l'inverse de 4, bah, c'est un quart. Pourquoi ? Parce que quatre fois un quart, ça fait 1. Si je cherche l'inverse de -5/6, par exemple, je sais que c'est -6/5, puisque -5/6 fois -6/5 est égal à 1. Et de manière générale, on sait que un A (ou un petit A, on va dire), petit A fois son inverse (alors l'inverse de A, je vais le noter A^-1), c'est égal à petit e, avec petit e qui est l'élément neutre de l'espace que l'on considère. C'est-à-dire que si on est dans les réels, et bien l'élément neutre, c'est 1. Donc, ça ferait que A fois A^-1 est égal à 1. Donc, ça me donnerait que A^-1 est égal à 1 sur A. Donc, ça c'est dans les réels. Par contre, si on est dans les matrices, par exemple, avec une matrice B, ça fait que B fois B^-1 est égal à l'élément neutre pour les matrices. Mais l'élément neutre pour les matrices, c'est la matrice identitaire. Attention, ce n'est pas 1, d'accord ? Et donc, justement, B fois B^-1 est égal à l'identité, c'est justement la définition même de l'inverse d'une matrice.

Donc, si je suis ce raisonnement, et bien ça voudrait dire que l'inverse de 0 (si je note 0 puissance -1) serait tel que 0 fois 0 puissance -1 est égal à 1. Sauf que 0 fois n'importe quoi, et bien, ça ne vaut pas 1, c'est ça vaut 0, d'accord ? Donc du coup, pour montrer que 0 n'est pas inversible, je pourrais dire: soit X l'inverse de 0. Alors, ça veut dire que 0 fois X est égal à 1. Sauf que 0 fois X, c'est 0. Donc, ça veut dire que 0 est égal à 1. Donc, bien évidemment, c'est faux: contradiction ! Donc, ça veut dire que ce que j'ai posé au départ n'existe pas. Donc, ça veut dire que l'inverse de 0 n'existe pas.

Alors, l'inverse de 0 n'existe pas. Mais si l'inverse de 0 n'existe pas, je ne peux pas multiplier par l'inverse de 0, et donc je ne peux pas diviser par 0. Donc là, c'est déjà une première réponse possible que l'on peut apporter à ce problème en disant: pourquoi on ne peut pas diviser par zéro ? Eh bien, à cause de tout ce que j'ai expliqué jusqu'à présent.

Alors, on ne peut pas diviser par zéro. Et pourtant, dans certaines vidéos, je vous dis, notamment sur les limites, que 1 sur 0, ça, ça tend vers plus l'infini. Attention, 1 sur 0+ ou 1 sur 0-. Mais de manière générale, 1 sur 0 tend vers l'infini. Attention, ça c'est juste une notation, ne surtout pas écrire ça sur une copie. Ça, ça s'écrit bien sûr au brouillon.

Alors, ça, ça vient d'où ? Ça, ça vient de la fonction inverse. Donc, si on trace la fonction inverse (je rappelle qu'elle ressemble à peu près à ça), et bien, à ce moment-là, on voit que, en effet, quand X tend vers plus l'infini, la fonction inverse se rapproche de zéro. Et donc, je peux écrire que la limite de 1 sur X quand X tend vers... alors, quand X tend vers plus l'infini, ça tend vers 0. Et pardon, ici, moi je voulais dire quand X tend vers 0, donc vers 0+ ici, et je vois que ça tend vers plus l'infini. Quand je monte comme ça, hop, je tends vers plus l'infini. Donc, ça c'est quand X tend vers 0+. Donc, 1 sur 0+ (attention, entre guillemets) est égal à plus l'infini. À l'inverse, quand je viens par la gauche, c'est-à-dire en 0-, là je vois que je tends vers moins l'infini. Donc, au contraire, la limite quand X tend vers 0- de 1 sur X est égale non pas à plus l'infini, mais à moins l'infini. C'est-à-dire que, entre guillemets, 1 sur 0+ c'est plus l'infini et 1 sur 0- c'est moins l'infini. Mais à ce moment-là, on voit qu'il y a bien une discontinuité, puisque plus l'infini, moins l'infini, je suis très écarté. D'ailleurs, la discontinuité, on la voit bien ici: quand je pars de moins l'infini, après, hop, je retombe directement à plus l'infini, mais sans que la courbe ne traverse, puisque justement en 0, c'est une valeur interdite, d'accord ? Puisque je tends vers l'infini, donc 1 sur 0 n'existe pas. Mais par contre, on peut quand même faire la limite de 1 sur X quand X tend vers 0+ ou quand X tend vers 0-.

Donc, ça c'est une première chose qu'on peut dire déjà pour contrebalancer ça: on ne peut pas diviser par 0, par contre, on peut faire la limite de F(X), enfin, de 1 sur X quand X tend vers 0. Alors après, il y a d'autres fonctions qui ressemblent un petit peu à ça. Parce que là, j'ai parlé de 1 sur X. Bien évidemment, si on met 2 sur X, 3 sur X, 4 sur X, etc., c'est exactement la même chose. Sauf, attention, la fonction qui vaut 0 sur X. Si je pose, pour tout X appartenant à R étoile (on va voir pourquoi), G(X) = 0 sur X. Donc, bien évidemment, X est une valeur interdite, 0 est une valeur interdite, parce que ça donne des nominateurs. À ce moment-là, à quoi est égale cette fonction ? Eh bien, cette fonction, si on prend un X quelconque, par exemple 2, et bien ça fait 0/2, ça fait 0. Si on prend un autre réel de R étoile quelconque, par exemple -7, ça fait 0 sur -7, ça fait 0 tout le temps. Donc, finalement, j'ai la fonction nulle, sauf en 0 où elle vaut 0. Donc, G(X) = 0 sur X, et donc on peut dire égal 0 si X est différent de 0. C'est-à-dire que si on la trace, cette fonction, elle vaut toujours 0, sauf en 0, là il y a une valeur interdite, et après ça continue.

Alors, on peut se dire: bah tiens, si elle vaut 0 tout le temps, mais par contre, on voit qu'il y a un trou ici en 0. Par contre, je vois que elle est prolongeable par continuité en posant G(0) = 0. Parce que si je pose G(0) = 0, ça revient à rajouter un point ici. À ce moment-là, ma fonction serait continue. Or, G(0), entre guillemets, ce serait 0 sur 0. Et donc, on pourrait se dire: bah tiens, on ne peut pas diviser par zéro, mais si je fais 0 sur 0, peut-être que, à ce moment-là, ça ferait 0. Alors, justement, on va voir un petit peu cette histoire de zéro sur zéro. Parce que pourquoi on peut se poser cette question de 0 sur 0 ? Parce qu'on sait, par exemple, que 2 sur 2, si on simplifie les deux, ça fait 1. Si on fait 3 sur 3, bien évidemment, ça fait 1. Si on fait -2 sur -2, ça fait 1. Et donc, si on fait 0 sur 0, on peut se dire: peut-être que ça, je fais aussi, je barre les 0, et puis ça fait 1 finalement. Bon, alors pourquoi ici ça fait 1 à chaque fois ? Parce que 2, c'est 2 fois 1 ici, 2 fois 1. Et en barrant les deux, bah, ça fait 1 sur 1, et donc ça fait 1. Là, on pourrait dire, c'est pareil, c'est comme si j'avais 1 fois 0 et en dessous 1 fois 0, et donc en barrant les 0, il me reste 1 sur 1, ce qui fait 1. Bon, bien évidemment, c'est faux, mais on va voir un petit peu pourquoi.

Donc là, on a dit: je pose la fonction G(X) = 0 sur X. Mais je pourrais très bien aussi poser la fonction pour tout X appartenant à R étoile. Donc, on va poser, par exemple, H, voilà, notée H(X), mais qui, cette fois-ci, est égale à X sur X. Et donc, cette fonction X sur X, bien évidemment, sur R étoile, parce que si X vaut 0, j'ai une valeur interdite. Qu'est-ce qu'elle vaut, cette fonction ? Eh bah, si on prend un réel quelconque, par exemple 2, ça fait 2 sur 2. Si on prend -7, ça fait -7 sur -7, ça fait 1. Si on prend 6, ça fait 6 sur 6, ça fait 1. Donc, en fait, on voit que ça fait tout le temps 1, sauf en 0, parce que de toute façon, c'est interdit. Donc, cette fonction, elle est égale à 1, bien sûr, pour tout X différent de 0. Donc là, à l'inverse de ma fonction G qui était nulle tout le temps, j'ai ici ma fonction H qui est égale, au contraire, à 1 tout le temps, sauf en 0, où là, par contre, c'est une valeur interdite: je ne peux pas diviser par 0. Et donc là, on pourrait se dire: bah tiens, 0 sur 0, c'est la limite de H(X) quand X tend vers 0. Si je fais la limite de H(X) quand X tend vers 0, on voit que quand le X tend vers 0 comme ça, que ce soit 0+ ou 0-, c'est la même, donc je ne vais pas différencier. Et on voit que dans les deux cas, je tends vers 1. Donc, à ce moment-là, bah, ça c'est égal à 1. Ça, cette limite, elle vaut vraiment 1, puisqu'on voit que quand on vient vers la gauche ou vers la droite, ça tend vers 1. On va dire: bah tiens, la limite de H(X) quand X tend vers 0, bah, je remplace le X par 0, ça fait 0 sur 0. Donc, on va dire: tiens, ça fait 0 sur 0. Donc là, on aurait 0 sur 0 qui est égal à 1.

Alors, bien évidemment, je n'ai pas le droit de faire ça. Et pourquoi je n'ai pas le droit de dire que la limite de H(X) ce serait le fait de remplacer X par 0 ? Parce que la fonction H justement n'est pas continue, d'accord ? Si je dis, par exemple, que la limite de F(X) quand X tend vers 2 est égale à F(2), ça c'est, attention, équivalent à dire que F est continue en 2. Continue en 2. Donc, si elle est continue en 2, j'ai le droit de dire: limite de F(X) quand X tend vers 2 est égal à F(2). Sauf que là, est-ce que H est continue en zéro ? Bah non, parce qu'on voit qu'il y a un point de discontinuité, d'accord ? Et donc, si on ne se souvient pas de cette propriété, et bien on peut arriver à n'importe quoi, qui dire: bah tiens, 0 sur 0, ça fait 1. D'accord, je n'ai pas le droit de diviser par 0, mais je dois faire 0 sur 0. Bien évidemment, non ! Et donc, c'est lié au fait de cette propriété-là.

Donc, comme on le voit, 0 sur 0, ça ne fait rien du tout. Ça ne fait ni 1 ni 0. Parce que là, on peut dire: bah tiens, si je fais la même chose, limite quand X tend vers 0 sur 0, et là par contre, ça ferait 0, et là, ça ferait 1. Donc, bien évidemment, je ne peux pas avoir deux valeurs différentes, tout simplement puisque 0/0 n'existe pas non plus.

Donc, ça c'est ce qu'on peut rajouter éventuellement quand on parle de la division par zéro: de voir que si on retourne le problème dans n'importe quel sens, même en essayant de faire des fonctions qui ne sont pas définies mais qui sont prolongeables par continuité, et bien on arrive quand même à du grand n'importe quoi.

Alors, pour terminer, on peut aussi voir l'importance justement de ne pas diviser par zéro. C'est que, imaginons que je demande de résoudre l'équation X² qui est égal à X, une équation assez classique. Ce que certains élèves font, c'est que ils disent: bah tiens, je vais diviser par X à gauche et à droite. Donc, si je divise par X à gauche et à droite, X²/X, ça me fait X, et X sur X, ça me fait 1. Donc, finalement, j'ai une solution qui est X = 1. Et en effet, c'est bien solution, puisque on voit que 1 au carré, ça fait 1, et 1, ça fait 1. Donc, 1 au carré est bien égal à 1. Donc, 1 est solution. Mais est-ce que j'ai toutes les solutions ? Eh bien non, je n'ai pas toutes les solutions, puisque en réalité, si mon équation, plutôt que de diviser par X, je passe le X à gauche (X² - X), et que je factorise par X, donc ça fait X facteur de (ici X et après -1) est égal à 0. Et donc là, équation produit nul, ça me dit que X = 0 ou X - 1 = 0, c'est-à-dire X = 1. Et donc, cette fois-ci, j'ai plus une solution, mais deux solutions qui sont 0 et 1. Et en effet, 0 est aussi solution, puisque 0² est bien égal à 0.

Et donc, pourquoi est-ce que le raisonnement ici ne marche pas ? Parce que j'ai divisé par X, sauf que personne ne m'a dit que le X était différent de 0. Donc, en réalité, en divisant par X, je n'ai pas forcément divisé par 0, puisque le X n'est pas forcément égal à zéro. Par contre, j'ai divisé par une variable qui est potentiellement égale à zéro. Mais ce "potentiellement" fait toute la différence, parce que justement, "potentiellement", c'est-à-dire qui peut valoir 0. Et le souci, c'est que si ce fameux 0 est solution, et bien j'ai divisé par zéro. Et en effet, malheureusement, 0 était solution de l'équation. Et donc là, j'ai divisé par zéro, alors sans m'en rendre compte, parce que je n'ai pas, à aucun moment, écrit X sur 0. En effet, à aucun moment j'ai écrit X0. J'ai juste écrit X sur X et X² / X. Et pourtant, sans le savoir, j'ai divisé par 0, d'accord ? Et donc, c'est très important d'avoir ça en tête: c'est que quand on a des équations avec non plus des chiffres, mais des lettres, comme ici un X, et bien on peut des fois diviser, et à ce moment-là, diviser par 0, ce n'est pas bon. Mais on ne s'en rend pas compte, puisque on divise par une inconnue X, d'accord ? Et donc, ça, malheureusement, très souvent les élèves font cette erreur. Donc, c'est pour ça que quand vous divisez dans des équations, pensez bien à justifier que le X est différent de 0. La science avec X était différent de 0, j'aurais pu diviser par X en me justifiant car X est différent de 0. Là, je ne peux pas justifier, puisque justement, je ne sais pas que X est différent de 0. Et donc du coup, le mieux, c'est de ne pas diviser, mais de faire comme ici, de factoriser, et à ce moment-là, on arrive au bon résultat.

Donc voilà, j'espère que cette vidéo te sera utile. Si c'est le cas, n'hésite pas à liker, à laisser un commentaire, ça fait toujours plaisir, et bien sûr à t'abonner. J'ai mis dans la description d'autres sujets de Grand Oral qui sont possibles. Et moi, je te dis à bientôt pour de nouvelles vidéos !