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Un juego repetido es un juego concreto con sus estrategias, jugadores y pagos, que se juega una y otra vez. En su forma normal, el juego no varía en ninguno de esos tres ingredientes, de un juego a otro.
Un ejemplo de un juego repetido podría ser el de una persona que come todos los días en un mismo restaurante y tiene dos posibles estrategias: dejar una propina generosa al camarero o no hacerlo. Por su parte, el camarero tiene a su vez dos posibles estrategias: esforzarse por dar un buen servicio o no hacerlo. Es un juego repetido, al que se enfrentan cada día esos dos mismos actores con esas posibles estrategias.
La estrategia que vayan a adoptar y, por consiguiente, el equilibrio al que vayan a llegar, dependerá de si se trata de un juego repetido un número finito de veces o si, por el contrario, se repetirá un número infinito o al menos indeterminado de veces.
Así, continuando con el ejemplo, si ambos saben que el Viernes es el último día en el que van a interactuar, porque el camarero se va a marchar a trabajar el día siguiente a otra cafetería, el cliente no tendría incentivos para dejar una generosa propina ese día, pues eso no favorecerá el que reciba un mejor servicio al día siguiente, dado que ese camarero ya no le atenderá, pues ya no trabajará allí. El camarero, por su parte, que lo sabe, tampoco tendrá especial interés en esforzarse ese día, Viernes, pues sabe que no recibirá una buena propina.
El cliente, que lo sabe, el día anterior, Jueves, tampoco dejará una buena propina, pues ya sabe que el camarero no piensa darle un buen servicio el día siguiente, como acabamos de ver, y como el camarero sabe que el Jueves no va a recibir una buena propina, tampoco se forzará ese día, lo que provocará que el cliente tampoco le deje una buena propina el Miércoles y así sucesivamente.
Como vemos, cuando contamos con un horizonte finito y conocido, podemos analizar las estrategias que se van a adoptar en el desarrollo del juego, resolviéndolo por inducción hacia atrás. Si sólo existe un equilibrio de Nash y se trata de un juego que se repita durante un número finito de veces, es de prever que los jugadores adoptarán las estrategias que componen dicho equilibrio de Nash a lo largo de todas las etapas de que consta el juego repetido, pues ya sabemos que nadie tiene incentivos individualmente para cambiar de estrategia si se encuentran en un equilibrio de Nash.
Lo veremos a continuación con un sencillo ejemplo. Supongamos que dos individuos se enfrentan a este juego, en el que el jugador número uno ha de elegir entre alto y bajo: A y B; y el jugador número dos puede optar entre izquierda y derecha: I y D; y realizan su elección de forma simultánea. Como se puede apreciar, el juego solo tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, correspondiente a que el jugador número uno elija abajo, B, y el jugador número dos escoja derecha, D. Si ambos jugadores vuelven a enfrentarse al mismo juego, es previsible que vuelvan a utilizar las mismas estrategias.
Representaremos a continuación en forma extensiva el juego al que se enfrentan, teniendo en cuenta las dos etapas y calcularemos los equilibrios de Nash perfectos en sus juegos del juego repetido. Los pagos que figuran al final son el resultado de sumar los obtenidos en cada una de las etapas, en función, por tanto, de la elección realizada por uno y otro jugador, en ambas ocasiones.
Así, si en la primera etapa juega en el perfil de estrategias A-I, ambos obtendrán como pago 1 y 3 unidades, respectivamente. Si vuelven a jugar en la segunda etapa de la misma manera, volverán a ganar 1 y 3, por lo que los pagos finales que percibirán serán 2 y 6.
Igualmente, si en la primera etapa juegan el perfil de estrategias A-I y en la segunda etapa cambian a jugar A-D, los pagos que obtendrán serán los correspondientes a sumar 0 unidades a las que ambos consiguieron en la primera etapa. Análogamente, si en la primera etapa juegan el perfil de estrategias A-I y en la segunda etapa pasan a jugar B-I, los pagos que percibirán se calcularán sumando los pagos de la primera etapa, 1 y 3, con los de la segunda etapa, 2 y 1, lo que hace un total de 3 y 4, respectivamente. Repetimos ese proceso para todas las posibilidades existentes, como se puede apreciar en el gráfico.
Como se puede ver, este juego cuenta con cuatro subjuegos, que comienzan en el momento en el que se ha acabado la primera etapa, ven el resultado que han obtenido en ella y tienen que elegir por segunda vez. Para encontrar el equilibrio de Nash perfecto en sus juegos, habría que resolver los cuatro subjuegos, para calcular a continuación el equilibrio del juego en su conjunto, resolviendo por inducción hacia atrás.
Si lo hacemos, veremos que el equilibrio de Nash en cada subjuego consiste en jugar la combinación de estrategias B-D. Al empezar el juego, ambos jugadores pueden analizar a priori el desarrollo posterior del juego, pues conocen que, en función de su actuación en la primera etapa, los resultados finales a los que pueden llegar son diferentes. En concreto, antes de empezar el juego y suponiendo que en la segunda etapa vayan a jugar el equilibrio de Nash, podrían resumir su toma de decisiones de acuerdo a la matriz de pagos de esta figura.
El equilibrio de Nash perfecto en sus juegos del juego sería, por tanto, el que recogiera el desarrollo previsible del juego, así como el equilibrio de cada subjuego. En la primera etapa, como vemos en la figura, optarán por el perfil de estrategias B-D, así como lo harían en cada uno de los subjuegos, como señalamos anteriormente. El equilibrio de Nash perfecto en su juego será BBBBB DDDDD.