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Ahora hablaremos sobre el concepto de optimización. Eso se ve en cálculo diferencial y podemos determinar cuándo una función tiene un mínimo. La función tiene un mínimo o también tiene un máximo. Para eso vamos a definir lo que son puntos críticos dentro del cálculo diferencial. ¿Se manejan los puntos críticos o son las raíces de una función? Aquí vamos a ver la clasificación en un punto, ya sea máximo o mínimo o un punto de inflexión. Nosotros hemos graficado funciones cúbicas. Por ejemplo, una función cúbica. Aquí va la función cúbica. Voy a bosquejar una función cúbica. Este es mi plano. Es así. Miren. Esta es una función cúbica. Y yo observo que tiene un máximo. Este es máximo. Este puntito que está acá se llama máximo. Max. Este puntito que está aquí se llama mínimo. Min y el punto de inflexión es el cambio de curvatura. Este cambio, ¿sí? Eso es lo que vamos a determinar dentro de, perdón, en forma matemática. Lo vamos a determinar y vamos a utilizar para poder graficar GeoGebra. Y en GeoGebra vamos a tener los datos. Sí, vamos a graficar los datos. Bueno, aquí entonces ya tenemos para determinar si la función tiene un máximo de una función. Aquí el libro nos presenta un gráfico. Miren, este se llama máximo y este se llama mínimo. Sí, aquí la función es creciente. En este puntito la función es creciente. Aquí la función es decreciente. Todo esto es decreciente. Aquí viene decreciente, decreciente y aquí vuelve a subir y es creciente. Sí, para eso debemos de tener una función cúbica y luego después una la segunda derivada y luego la tercera derivada. Aquí podemos ver, miren, cómo la función es creciente. Aquí en este otro puntito la función se llama decreciente. Sí, también acá es decreciente, miren. Y este lado es creciente. Sí.
Bueno, aquí tenemos ahorita este vamos a subir un poco para que lo se pueda visualizar. Tenemos dice aquí es un punto máximo si la función cambia decreciente a decreciente. Sí, miren, decreciente a decreciente tiene un máximo y es un punto mínimo si cambia desde creciente a creciente. Sí. Entonces tiene un tiene un máximo cuando cambia de creciente a decreciente y tiene un mínimo cuando es de decreciente a creciente. Hm. Para eso tenemos que utilizar el método de la primera derivada. Aquí está método de la primera derivada. Sí.
Una vez teniendo una función cúbica, para eso voy a escribir una función cúbica. La función que vamos a graficar es esta. FX. Posteriormente de la vamos a cambiar por este la letra D de distancia cúbica - 2 x² - 6x + 5.3. Sí, lo vamos con ¿Qué lo vamos a graficar? con GeoGebra y ustedes lo van a hacer en papel milimétrico. ¿Sí? Bueno, vamos a derivar esta esta función. Entonces, acuérdese, F prima, F primera derivada, esto es igual a 3. 3 - 1 2 menos 4 2 - 1 1 - 6 1 - 1 0. Recuerden ustedes que x a la 0 vale 1, por lo tanto es 6. La derivada de una constante, la derivada de un número, esto vale cero. Esta es la primera derivada. Ahora vamos con la segunda derivada. Esto es igual a 3 * 2 6 2 - 1 - 1 * 4 es 4 1 - 1 lo voy a escribir aquí 1 menos le restamos 1. Esto vale x a la 0 y esto vale 1. Por lo tanto, la derivada del 6 es 0. Pero aquí tenemos algo, miren, consiste en obtener la primera derivada de la función e igualarla a cero. Es decir, que la primera derivada la igualamos a 0 es igual a 3x² - 4x - 6. Esto vale 0. Aquí, aquí lo tenemos. Despejar la variable independiente x. Si x es menor que 0, la función es decreciente. Si x es mayor que 0, la función es creciente.
Vamos a ver el gráfico. Aquí tenemos el gráfico. Sí, lo voy a lo voy a manipular. Acuérdense, este es creciente, miren, va creciendo. Llega un punto máximo, posteriormente decrece. Sí, decreciente, decreciente, decreciente llega un mínimo y nuevamente es creciente. Existe una recta. Esta recta es tangente al valor. Este valor que está aquí. Sí, voy a voy a traerlo. Aquí lo tenemos. Sí. Creciente, creciente, creciente, creciente. Ahora vamos a escribir la derivada porque la graficamos aquí mismo. Aquí está la derivada. Sí, esta es la curva de la derivada. La voy a colocar aquí. Esta es la curva de la derivada. Sí. Entonces, vamos, voy a trazar estos puntitos que están acá. Miren este puntito J es un punto crítico o es una raíz de la parábola. Hay dos. Hm. Voy a traer sus sus coordenadas. Sí. este puntito Jito K, J. Entonces, el J es este. Hay un punto crítico, ahorita lo vamos a resolver en -0.93 93 y el otro punto crítico o es la raíz, así se le conoce, está en 2.26. Sí. Ahora le le vamos a colocar la simulación para que ustedes lo vean. Ahí va. creciente, decreciente y creciente. Es una función cúbica. La primera derivada aquí ya la tenemos. Es es la roja. Sí. Okay. Para dar solución a la primera derivada, ya lo igualamos a cero. Vamos a utilizar una fórmula. Acuérdense ustedes que este es 1 2 y se utiliza el - b + más menos b² - 4ac raíz cuadrada. Todo esto entre dos veces a. Este que está aquí, este es el a. Este es el b. se le llama coeficientes o parámetros. Por lo tanto, ¿cuántas raíces hay? Hay dos, una con signo positivo y una con signo negativo. Entonces, aquí le escribimos así. Bueno, procedemos. Como son dos soluciones, la primera, deben de aplicar su calculadora. X1 que está a la izquierda con signo negativo es igual a menos 0 89. Esto se aproxima a 0 pun 9. Y la otra punto crítico, ¿sí? o o la solución va es igual 2.23 23 2 pun 23. Estos estos resultados ahorita se los voy a mostrar en el gráfico. Estos se llaman puntos críticos. Sí, en estos puntos existe aquí existe un máximo y aquí existe un mínimo. Observen la gráfica. Aquí lo tengo. Aquí está. Menos 0.9. Precisamente en este puntito F. A ver, en este puntito F, en la parte superior, aquí existe un máximo y aquí existe en este puntito el 2.23 existe un mínimo. Este punto que está acá, este, el 2.23 es el punto crítico y el 0.9 nu es el punto crítico. Entonces, esta es una parábola. Esta es una parábola. Esta es una cúbica. Bueno, ya hicimos la parte la parte geométrica y la parte analítica. Sí.
Bueno, vamos a ver. Ahorita les muestro dónde está el máximo y el mínimo, aunque ya se los platiqué. Ahora sí ya lo pueden visualizar. Este este L que está aquí es el máximo. ¿A dónde se encuentra el máximo? En L. Voy a buscar dónde dónde tengo L. Ahora sí los se los puedo este decir. Este que está aquí, este le voy a cambiar de color y lo voy a hacer un poco más grande. Y el color le vamos a colocar verde. Aquí está este L. El punto máximo se encuentra aquí. Aquí. Y este que está aquí es el M. es el punto mínimo. ¿Cómo se encontró mediante este la segunda derivada? Sí, aquí está. Se encuentra en dónde se encuentra en el 2.23, que es este puntito que está aquí. Hien menos 6.94. Esa está está aquí. Ahí tenemos el máximo y tenemos el mínimo. Aquí la función es creciente y aquí es decreciente y aquí es creciente. Okay. Sí. Este se llama punto crítico. Ese se llama punto crítico. Este se llama punto crítico. La solución de una de una de la de la primera derivada. Aquí los tenemos. Este proceso es analítico. Esto que está aquí es analítico. Sí, aquí vamos. Acuérdense ustedes que esta es la variable, esta es la variable independiente y todo esto es la variable dependiente. ¿Sí? Bueno, pasamos a la siguiente hoja. Estamos en la página 75. Pasamos a la página 76.
En la página 76 tenemos aquí un ejemplo. Dice, "Obtener los máximos, obtener los máximos y mínimos de la función. Esta función es cuadrática. Esta función es cuadrática. La voy a escribir como nosotros lo hemos escrito. Es igual. Aquí ya la escribí. Esta es una función cuadrática. Es la primera derivada es una función lineal. Pero dice la regla que f prima de x debe de ser 0. Entonces, esto es igual a 4x + 4. Despejar x. Entonces, x 4x es igual a -4. Por lo tanto, x es igual a -4 / 4 y esto vale -1. X vale -1. ¿A dónde está? ¿A dónde me dice si este es menor que cero? Este es menor que cero. Esto implica entonces que, ¿qué cosa es? Un mínimo. ¿A dónde está el -1? Está aquí, miren. Y aquí está un mínimo. Sí. Ahora vamos a ver. Esta es decreciente. Toda esta es decreciente. Y esta como es este es decreciente y esto es creciente. Entonces aquí le escribimos creciente decreciente. Bueno, ahora como ya sé que este es un mínimo, el el punto 3 me dice, damos antes valores. Ahora vamos a dar un valor antes del -1. Entonces vamos a escribir x - 2. Este número que está aquí, miren, este, el dos y lo vamos a sustituir. Bueno, también es que elegimos el 2. X - 2 y x 2. Vamos a visualizar matemáticamente si una es creciente y la otra es decreciente. Por lo tanto, f de -2. Sí. Entonces aquí está el -2. Este es la función. Entonces, si ese vale -2, sustituimos, este es el mínimo. Es el mínimo. Un número menor, x va x. Elegimos x = -2 y x = 2. Sustituimos en la primera derivada. y dice que es menor que 4. Si es menor que 4, decreciente. Si es mayor que cero, la función es creciente. Ahí está. Y lo comprobamos. Efectivamente, aquí está 4 * 2 8 + 4 12. Aquí se equivocó el el profe. Este sí es decreciente y este es creciente. dice aquí, dice, acá tenemos la función cambia de creciente a creciente. Esto significa que tiene un valor mínimo. Ya ya en la gráfica ya lo habíamos visto y que se encuentra en x - 1. Entonces ahora vamos a sustituir el x - 1 en la original. Entonces aquí f de -1 es igual a la a la original. ¿Cuál es la original? Es esta. Esta es la original. Sí. Entonces la escribimos. Colocamos los valores y esto es igual a qué es igual al 2 que multiplica -1 al cuadrado + 4 multiplica -1 - 3 es igual a -5. CCO. Entonces, las coordenadas del del mínimo mínimo es -1 coma -5. Este resultado es igual que este. Sí. Entonces, si aquí teníamos el 1,5. Sí, hemos dado solución al primer problema. Ahora aquí aquí hay otro. Este es una cúbica. Sí.