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Este es el ejercicio que vamos a resolver y eso nos va a permitir obtener primero las demandas compensadas. Bien que surge del bien x2, después nos ha permitido tener la demanda óptima de bien x1 y el dimitidos, es decir, la canasta de equilibrio que buscan iniciar el gasto sujeto a ese millón de satisfacción buscado. Y probamos a resolver a elasticidad es que vamos a ir viendo variaciones en los precios, cuáles son los impactos sobre el equilibrio del consumidor.
Ahora volveremos a una función de utilidad. Tenemos antes una función utilidad, en este caso 3 x 1 al cubo que quiero hacer cuadrados, una función de utilidad bastante simple y el mismo formato del que trabajamos siempre. Y nos pide primero obtener las funciones de manera compensada, después determinar el equilibrio del consumidor sabiendo un cierto nivel de utilidad, dulce, antonio de precios, las elasticidades precio del ingreso y determinar es la expresión space, determinar los efectos el cambio del precio 2 comparando la variación y casta necesaria para mantener constante el nivel de utilidad con la que me permitiría a mí seguir comprando la misma canasta. Nosotros tenidos en el punto B.
Entonces, lo primero que va a hacer es plantear el problema. El problema es minimizar el gasto sujeto a una restricción. Y las restricciones obtener al menos un cierto nivel absoluto de nivel de satisfacción. Arman una función de Lagrange y se resuelve. Primero ponemos aquella función que queremos optimizar, en este caso la que queremos lograr que sea el más chico posible, queremos minimizar y esa es la función de gasto. Si el gasto creció 1 por x1 + precio de 2 por x2 a eso donde vamos a sumar un multiplicador de la era multiplicado por la restricción escrita en forma implícita. Y como escribimos una restricción entre mente y ciento igual que antes, armamos la restricción que era un igual 3 x1 al cubo x2 al cuadrado y en lugar de tenerlo 1 igual a otro, lo igualamos a cero. Entonces, paso restando la función de utilidad de un lado para el otro. Le voy a poner en la función de Lagrange así nos queda planteada la ecuación del era en general de la minimización.
Presión x1 + precios x2 + x o estrellita en el objetivo de utilidad - 3 x1 cubo x2 encuadrados que la función de utilidad. Una vez que tenemos escrita la función de la granja, que tenemos que hacer lo mismo que hacer la derivada. Una vez que opera una derivada, hacia una deriva al respecto x1, respecto x2, respecto a lo que es el tercer multiplicador. Estoy utilizando la derivada de la función de la derecha respecto x1. Creo que nada en la granja no. Ustedes ven que siempre va a dar el primer término el precio y siempre va a dar en el segundo término - muy por la derivada de la función de utilidad, es decir, la utilidad marginal del bien x1. Hay en este caso nos da precio uno menos uno por la derivada de la función de utilidad respecto de que yo no les da 9 x1 cuadrado x12 al cuadrado. Por qué porque x1 está elevado al cubo, entonces ese 3 baja 3 x 3 9 x1 que estaba el cubo pasa a estar al cuadrado y los multiplicamos poder x2 al cuadrado. Así tenemos la cohesión 1 y vamos a hacer lo mismo después derivando la función de Lagrange respecto de kilos, la respecto no les va a dar precio 2 - por 6 x1 cuadra x1 cubo x2 a la 1. Por qué porque nos estaba encuadrada, entonces el cuadrado baja con multiplicamos por tres y me quedan 3 6 6 3 por 2 el x1 al cubo dejamos tal cual. Así tengo la versión 1 tenemos la ecuación 2.
Después recuerden que lo que vamos a hacer seguramente que es estos términos los vamos a a a reasignar ver tu lado a la igualdad. Yo hacer la ecuación 1 sobre la ecuación 2 re expresadas igualando las una con la otra y me va a dar seguramente lo que vamos a utilizar para sacar la ecuación 4. Y espero que tenemos es la idea de la función de Lagrange respecto del mundo y sobre lo que nos da lo que se da es las restricciones a quien sostenemos escrita en forma implícita, es decir, el paréntesis. No siempre le daría la función de la edad respecto a lo que es ese paréntesis que tenemos ahí, que no es más que ese objetivo que nosotros tenemos del nivel de satisfacción. En nuestro caso o estrellita menos 3 x1 x2 al cuadrado. Recibimos la joya en unidos tal cual lo anticipé en el vestido anterior, pasando lo que está restando al otro término y me queda sumarnos y expresamos la ecuación 1 sobre la porción 2. Que nos queda del lado izquierdo precio 1 sobre el precio 2, el lado derecho nuevo por utilidad marginal de 1 y del lado del denominador mayor utilidad marginal de 2. Es decir, lo que nos queda en el lado derecho es el cociente de utilidades marginales. A la izquierda del cociente de precios, a la derecha el cociente de utilidades marginales. Con lo cual lo que estamos teniendo como condición de equilibrio que me están pidiendo la especulación es simplemente que sean tangentes la restricción presupuestaria con la curva de indiferencia.
Una vez que tenemos uno sobre dos escritos, fíjense que es bastante bastante simple. Teníamos 9 x1 cuadrado x2 al cuadrado sobre 6 x1 cubo x2. Entonces el 9 sobre 6 me quedan lo mismo que tres medios. El x1 al cuadrado sobre x1 al cubo que x1 dividiendo el x2 al cuadrado sobre x2 me queda x2 de la garma. Con esto tenemos esa fracción que nos queda ahí donde consciente de precios es igual a 3 x2 2 x1. Y espero que nada hacer es despejar. Despejamos x1, despejamos x2. En este caso nosotros decidimos despejar x2. Entonces pasamos el 2 x1 lo pasamos para el otro lado y el 3 lo pasamos dividiendo. Entonces me quedé x2 es igual a 2 precio 1 3 precio 2 x x1. A esa ecuación 4 la vamos a utilizar en de qué manera y vamos a utilizar reemplazando a en la ecuación 3 que teníamos las restricciones que nosotros teníamos escrito y forma implícita. Regresemos, reemplazamos 4 en 3 y entonces nos queda que su estrella que era el de satisfacción objetivo, nosotros niños criptana va a ser igual a 3 x1 al cubo y aprecian por equipos al cuadrado. En lugar de poner x2 ponemos la ecuación 4 que acabamos de obtener. Ejecución 4 era este que teníamos ahí y lo ponemos todo eso al cuadrado porque era x2 al cuadrado.
Entonces, una vez que tenemos esto de esta forma, el deber de na de hacer es cuidadosos de no saltear nos ningún paso y de esa manera cometer algún error que nos permita que nos permita llegar adecuadamente a la resolución que tenemos. Entonces, su estrellita nivel de satisfacción objetivo, nuestros temas va a ser igual a 3 x x1 al cubo por ese padecimiento sostenemos 23 11 sobre 3 presionados todo eso al cuadrado por x1 al cuadrado que es lo que hicieron fue distribuimos sx1 al cuadrado los separamos a ver juntarlos con el equipo y mal q. Entonces tengo aquí suma al cubo por x al cuadrado y lo que me queda es potencia igual vacía sumó las expone de los exponentes y iba a quedar x suman elevado a la ceca la quinta de un lado y todo el otro paso del otro lado de la igualdad. El 3 lo paso dividiendo y el paréntesis lo paso invirtiendo la fracción. Sí, una vez que tenemos eso, lo que nos queda es primero un sobre 3 por el paréntesis invertido, es decir, 3 preciosos sobre los precios todo es elevado al cuadrado igual x1 la quinta. Como sacamos ese elevado a la quinta y lo que podemos hacer es que le vamos a dar un quinto de ambos lados de la igualdad. Al elevar a lo quinto del lado derecho x15 elevado al quinto me queda x1 a la 1 y del lado de la izquierda lo que me queda es la expresión que nosotros tenemos. Sí, esa expresión que nosotros queremos es la que a nosotros nos va a permitir llamarla como función de demanda compensada del dimitido. Esta es la misma cosa el que acabamos de poner recién escritas separando en primer término en segundo término, pero bastante bastante simple de obtenerla si siguen el paso a paso.
Una vez que obtienen la función de recompensa del inicio, no vamos a hacer lo mismo que hemos hecho en otras oportunidades. Reemplazamos negocio el 5 entre reducción 4 y así vamos a obtener la ecuación x2 condensadas. Tienen alguna duda de algún paso que tienen que repase. Si no tienen dudas de eso, lo que está que está vamos a hacer, no sé si alguien que quiere hacer alguna ruta el último paso del 4. Acá lo que tenemos es el paso de las ecuaciones que nosotros tenemos la tercera fila a la última fila. Fíjate que hay una de teníamos era una estrella sobre 3 por 3 dedos sobre dos preguntas todo eso al cuadrado igual x una quinta de esa parte lo entendiste santiago. De ahí para abajo qué es lo que hacemos como el x1 está elevada a las 5 cintas, nosotros que hacer es sacar eso. Una forma sería sacar la raíz quinta. La raíz quinta es lo que elevarlo al a un quinto. Así pues cuando le vas a la un quinto a veces ese 52 multiplicas por quintos 5 por un quinto te queda elevado a la 1. Entonces no existe es elevar a la un quinto el lado derecho y la igualdad tienes que hacer lo mismo al lado izquierdo de la igualdad. Es la izquierda lo que nosotros teníamos era estrellita sobre 3 todo eso tras quedar elevado a la un quinto y después lo que parece es el paréntesis dice que dice 3 p2 sobre los puntos todo eso está elevado al cuadrado. Al elevar ese segundo término que tacuara al quinto debe haber elevado a las dos quintos y eso lo que tenés en esta ecuación. Fíjate te quiera lo primero o estrellita sobre 3 elevado al quinto y el segundo es el 3 pero sobre la 01 excavar el cuadrado que quedan elevado a la dos quintos. Sí, esa es la función de demanda compensada del mil x1. Ahí vos tenés al nivel de precios que le pongas en el ejercicio del nivel de utilidad que quieras obtener, cuál es el consumo óptimo del bien x1. Se dice que está expresado x1 en términos de esas variables que ustedes tienen externos, pero que tienen que hacer ahora es como dijimos en el otro momento es reemplazamos tres cuestión 5 adentro de la ecuación 4. La ecuación 4 la teníamos antes, fíjense que se echó para atrás un segundito la que tenemos acá abajo a la izquierda, no decías dos puntos solo de tres p2 x x sur. Ahora vamos a hacer esto dice dos puntos sobre tres p2 x y ahora tenemos a poner x1 y en lugar de poner x una ponemos los dos términos que teníamos que sacamos recibir la ecuación 5 o estrellitas sobre 3 el verdadero quinto por tres medios del co2 o de expresión uno elevado de dos quintos. Esto bastante simple y si ustedes se fijan si lo dejan ahí está bien, pero desde esa expresión a la que está abajo un lenguaje para nosotros es tratamos de simplificarlo un poquito más. En nuestra cita sobre 3 a la quinto lo dejo tal cual y el otro el otro de dónde sale este que en el primer término dice 2 p uno sobre tres dedos dos puntos sobre tres p2 y el segundo término es dice la misma fracción pero invertida. La misma flexión pero invertida. Entonces si el primer término está elevado a la 1, el segundo si yo lo diera vuelta me queda la misma fracción pero en lugar de estar elevado a la 1 está elevado a la menos dos quintos porque la de vuelta. Entonces me queda dos puntos sobre tres p2 elevado de uno menos la misma fracción elevado a la dos quintos. Entonces es a las cinco quintos menos dos quintos y eso es lo que tenemos en esa ecuación. Me dice 2 1 sobre 3 p2 elevado a las 300 porque porque es elevado a cinco quintos cada uno menos dos quintos. Ok, seis.
Una vez que tenemos eso, lo que hacemos es buscamos determinar el equilibrio del consumidor con el acta óptima demandada sabiendo los unos precios que logramos hacer es la calculadora. Tenemos que ser cuidadosos. Si somos piadosos reemplazamos en estos valores en la calculadora para obtener sin ningún tipo de inconveniente que la canasta 1 la canasta está compuesta por 25 unidades bien x1 y 10 unidades 2. Entonces el gasto que ustedes tienen es precio 1 por x1 más presionado por x2. En nuestro caso 125 pesos. Si porque eran tres peces por 25 16 75 pesos más 5 pesos por dirigir al 50 75 más 50 125 pesos. Ese es el gasto mínimo que ustedes tienen que hacer para alcanzar ese mínimo de satisfacción. El equilibrio se tienen que graficar sería este la restricción. En nuestro caso la restricción que ustedes como ejercicio es alcanzar como mínimo esa curva de indiferencia de rosas de tiempo y van a buscar el gasto mínimo de que esté más cerca del origen que cierta en gente y que toque al menos en un punto a esa curva de indiferencia digital.
Una vez que tengo que hacer eso vemos que el cuerdas elasticidad es y qué curvas elasticidad de ser bastante bastante simple y es la misma lógica que hicimos especial. Tienen la función de la demanda está en la función de manera compensada que ustedes tienen que lo que tienen que hacer es despejar la variable respecto a la cual quieren calcular elasticidad. Si vos tenés la elasticidad de la demanda del bien x1, la podemos calcular respecto al precio 1 o del precio 2. Si la hago respecto al precio 1 detrás es la derivada de esto al respecto al precio. Acá ni consejos que haría el servicio les dije separan el precio 1 y lo ponen al costadito el precio que está elevado a las menos dos quintos. Entonces les queda toda la expresión 100 el precio 1 x precio 1 a las nenas dos quintos. Cuánto va a ser la derivada la derivada a ser menos dos quintos por qué precio la dos quintos con un simple menos por toda la expresión sin ese precio uno por precio uno a la menos siete quintos porque si ésta va a las menos dos quintos le restó uno y les va a dar menos siete quintos. Esa es la derivada de la función de demandar compensada respecto del precio. En esa derivada le tenemos que multiplicar por presionó sobre x fue empezamos en los valores y les va a dar menos dos quintos. Piensen lo también de manera intuitiva. Si mira en la expresión es en menos dos quintos en de dónde sale es algo cuál es el exponente al cual está elevado ese precio que se depreció unos avales menos dos quintos y te da siempre que ese coeficiente. Sí, hacemos lo mismo pero para calcular la elasticidad cruzada. Es decir, vamos a hacer la derivada de la función de demanda compensada respecto del precio del otro bien y les va a quedar algo muy similar. Así como teníamos antes que el precio estaba en menos dos quintos, acá el precio 2 que es el que es relevante en este momento está en la dos quintos anual la elasticidad asistencias en el paso a paso le va a dar dos quintos y esto lo que está diciendo es que cuando aumenta el precio del bien 2, cuando aumenta el precio el 21 1%, la demanda del bien y si uno va a aumentar así en 0,4%. No en dos quintos. Eso qué significa significa que los bienes son sustitutos. Se volvió más caro el precio del bien x2, seguro más caras bien 2, aumentamos la demanda del menú títulos porque porque vamos a sustituir parte de lo de un bien con el otro bien. Entonces son bienes sustitutos. Cuando hacemos lo mismo las funciones de demanda de bien equipos al respecto del precio 1 del precio 2. Si ustedes les resuelven les va a dar claramente los exponentes de la misma manera menos tres quintos y tres quintos y también le va a dar que los bienes son sustitutos.
Por último, lo que me piden acá es determinar los efectos en un cambio del precio no. Y el precio pasa a ser precio 2 igual 10. Y me está pidiendo que compare la variación del gasto necesario para mantener constante el nivel de satisfacción con la que permitiría a nosotros seguir comprando la misma canasta que tenemos. Esto es similar a lo que vimos hace una semana. La diferencia entre un tipo de compensación y la otra. Si hacemos esto que tenemos que resolver primero tenemos que buscar la canasta que iniciaría el gasto de manera constante y nivel de utilidad con los nuevos precios. La canasta demandada la tendríamos bastante simple porque tendremos que reemplazar simplemente en las funciones de demanda compensada. Ponemos los valores en la función de demanda compensada. Ponemos una calculadora le va a dar x1 33 finales x2 7 millones. Esa sería la canasta que ustedes les permitirían minimizar el gasto de alcanzar esas 4 millones 687 mil 500 unidades de satisfacción que tenían en el ejercicio inicial. Una vez que hace de eso calcula en el gasto necesario para comprar esa canasta y se van a dar cuenta que van a necesitar 169 pesos para conseguir esa canasta. Esto significa el siguiente que si cambian los precios se vuelve más caro y quieren mantener constante el nivel de satisfacción el tema está en que a estar evidentemente más plantas. Cuánta plata adicional y 44 pesos más. Sí, que es la diferencia entre 225 pesos que gastaban antes y los 169 que gastan ahora. Ese es el incremento del gasto necesario que ustedes van a tener que hacer para mantener constante el nivel de satisfacción.
Ahora si nosotros quisiéramos seguir comprando la canasta original porque teníamos que así que más es cuánta plata nos costaría con los precios nuevos contra la canasta original. Entonces hacemos los precios nuevos por las cantidades viejas y eso nos va a dar a nosotros 175 pesos. Es decir, 50 pesos más porque porque este aumento de 5 pesos en el precio de bien 2 como nosotros comprábamos en total 10 unidades vamos a tener que el impacto es de 50 pesos. Entonces el aumento del gasto que nosotros teníamos que tener para mantener la posibilidad de seguir comprando la canasta original es de 50 pesos. 50 pesos de los 44 que nosotros teníamos en el otro tipo de contención. Se entendió sí sí.