Scott Aaronson - Quantum Computing, Complexity, and Creativity

你知道，你知道，成为一个领域的专家可能需要你，你知道，很多年甚至几十年。你可能离那还很远，但要成为一个特定微小问题的世界级专家，真的不需要那么长时间，对吧？所以，所以，试着，你知道，成为某个领域的专家，你知道，即使是某个非常非常狭窄的领域。

那么，埃里克森教授，您能跟我们谈谈您早期的经历吗？您是一位年轻的神童，15岁高中毕业，22岁获得博士学位。您能跟我们谈谈那段经历吗？

是的，嗯，我15岁时并没有真正高中毕业。我从纽约州获得了GED（普通教育发展证书）。但我对高中并不满意，原因有很多。我是说，在社交和学术上，我就是想离开。我当时处境很奇怪，因为我曾在宾夕法尼亚州的一所美国公立初中就读。然后我的父母搬到了香港。我在香港住了一年，因为我爸爸在那里工作。由于我去了那里的美国国际学校，但由于美国和香港的教学方式不匹配，我无法学习适合我的数学。我一直都比同龄人在数学上领先，唯一的办法就是跳级，然后上高中。一旦我做到了这一点，对我来说就好像有什么东西被点燃了。我意识到我真的能做到。我能摆脱这种环境，我真正想去的地方是大学。我想去一个，你知道，一个想法比受欢迎程度更重要的地方，在那里你可以选择你想学的东西，并按照自己的节奏前进，所有这些美好的事情。

然后我从香港回到美国，在公立高中待了一年。正如我所说，我并不喜欢。然后我没有数学课可上了。我学了AP微积分。然后，我的父母基本上向学校建议，为什么他不直接在线学习呢？然后用斯坦福大学的EPGY项目学习微分方程之类的东西。我的父母说他们会付钱，学校说不行。所以我以此为借口。我好像看到了一份在纽约州北部的克拉克森学校的宣传册，它是克拉克森大学的一部分，但你可以住在那一年并学习大学课程。这是为高中生准备的。所以我说，即使我对它知之甚少，我也想尝试一下。我的父母允许我这样做。我们把车装满准备开车去那里。当我们快要出发时，我以前的高中有一位非常非常好的数学老师，他一直在为我争取。他说，“猜猜怎么着？我刚拿到它，这样斯科特就可以参加EPGY项目了。”我们说，“太晚了，抱歉。”

所以我去了克拉克森，我总体上在那里有非常好的经历。我是说，在社交方面，有很多和高中一样的问题。但至少我能够学习更有趣的课程，我能够接触到教授，开始做研究。你从那里申请。想法是，在克拉克森项目一年后，你就可以作为新生申请大学，但你已经有了一年的大学学分。我做到了。我当时对事情的结局感到非常失望，因为我申请的几乎所有大学都拒绝了我。我的背景非常奇怪，但我很幸运，康奈尔大学和卡内基梅隆大学很友善地录取了我。所以我决定去康奈尔大学，但有一个问题，他们要求在入学前提供高中毕业文凭，而我没有。所以我们意识到我需要一个GED。我的高中通常在你上完克拉克森后就会给你毕业文凭。我的高中不会这样做，因为他们说我缺少体育课，我必须在夏天上体育课。纽约州说，我们不能给他GED，因为他必须年满17岁才能获得GED，而他才15岁。我妈妈最终说服他们破例给我GED。所以我就去了康奈尔大学。

我遇到过其他在家上学的学生，他们做的事情比我更激进。我提前了三年，在大学里我不再加速了，因为我觉得我身处一个我想要的环境。从现在开始，主要的限制是内在的，不再是外在的。

和比你大三四岁的同学一起上课，会不会让你感到害怕？

说实话，我猜他们中的大多数甚至不知道我年纪小。如果他们知道了，那可能有点奇怪，但他们并不太在意。我是说，我又不是10岁。我是说，当我开始上康奈尔大学时，我已经16岁了。我觉得在学术上没问题。主要问题是社交。我的父母警告过我，跳级会彻底搞砸我的社交生活，让约会变得极其困难等等。我把这些都抛诸脑后了。当然，所有这些都成真了。我获得博士学位的时候，基本上还没有学会开车，或者说没有学会任何像样的社交生活，或者任何约会生活。所以，你可以说我做事顺序很奇怪，这给我带来了巨大的压力。但我主要的论点是，我在高中时就已经在社交上不快乐了。我本来就很痛苦，还没有跳级。所以我觉得，既然我无论如何都会在社交上不快乐，至少我可以学习东西，至少学术上可以更好。

就学术而言，早期专注于某个领域有什么优缺点？

我无法重来一遍人生并进行比较。但我很感激我有机会学习我感兴趣的东西。并不是说我想只学数学和计算机科学，什么都不学。我大学里也学了很多人文课程。但我希望在学习什么方面有一些自由。在高中，人文意味着写五段式的文章，基本上你必须复述老师想要的东西。如果你试图用自己的方式写东西，你就会失败。我从经验中得知了这一点，这不是理论上的。所以，即使是人文课程，我在大学里也比在高中时更快乐。所以这不仅仅是专业化的问题，但部分原因确实如此。我认为到16岁左右，我就知道我热衷于什么了，那就是计算的基础，以及理解计算机能做什么和不能做什么。我准备好学习和研究它了。

我认为“青少年时期”这个概念，即人们从12岁到18岁，甚至现在可能到20岁，仍然基本上是孩子，我认为这在很大程度上是现代的建构。如果你回溯几百年，当一个人十几岁时，他们就是学徒了。他们可以工作，他们可以学习，同时他们也可以工作，他们可以学习他们选择的行业。所以我认为这实际上是自然的。我不觉得我在这方面有什么不寻常的。我觉得我在某些方面不寻常，但不是在15或16岁时就想开始生活方面。

我请过泰勒·考恩来做播客，他从十几岁起就知道自己想成为一名经济学教授，并且从那时起就开始阅读和准备。经济学教授并不是人们通常认为的孩子或青少年想成为的职业。但在泰勒·考恩的案例中，我很容易相信。

尽早学习你将要进入的领域的原理，有什么特别的好处吗？除了积累更多知识之外，早期学习有什么特别的好处吗？

我不太确定。这是一个非常有趣的问题。我们可以想象，当一个人的大脑还在发育时，在这个年龄接触某些东西是有益的。我们知道有这样的例子，比如学习语言，有一个窗口期，孩子们可以像海绵一样吸收语言，之后，你可以学习一门语言，但它会是一个困难的智力谜题，而且你永远无法像一个五岁的母语者那样说得好。所以，可能是这样。但也可能是我们的大脑并不真正适应学习这些东西。我是说，当我们接触理论物理、理论计算机科学等等时，所有这些都像是学习一门我们不以母语说的语言。在这个模型下，这只是一个提前开始的问题，以及你必须花多少时间。我希望有人能研究这个问题，因为我不知道答案。

我听说过，你知道，量子力学中的许多重要发现都是由当时非常年轻的人做出的。这是一个有趣的现象，不仅我早期学到了这些东西，而且他们也早期做出了这些贡献。

这不仅仅是量子力学，在数学和物理学中都是如此。牛顿在他22岁左右的时候，经历了“奇迹年”，发明了微积分，发现了力学定律。是的，我是说，按照标准我已经老了，这很奇怪。但也有很多伟大的贡献是由40多岁、50多岁、60多岁的人做出的。所以，这是另一个经验性问题，我很好奇。是人们的大脑随着年龄增长而真的变慢了，还是仅仅是他们缺乏动力或自由时间？我是说，以我的情况为例，有两个孩子，显然给了我更少的研究时间。当我在旅行，离开孩子一周的时候，也许我又能工作了，感觉就像我20多岁的时候一样。还有动力的问题。在我成名之前，我对自己整个概念，我人生的所有目标都围绕着在研究上取得成功，不惜一切代价。现在，我有了各种其他的担忧，我得担心我的学生，我的博士后，我的孩子，我的博客，我写的流行文章，研究只是我做的另一件事，我的身份不再那么依赖于此。所以，我也可能变笨了，这当然是有可能的。但很难将它与那些其他因素区分开来。

你是第三个来我播客的人，我保证我们最终会谈到技术问题，但你是第三个我问这个问题的人，因为它让我着迷。奇迹年，正如你提到的，不仅仅是人们在年轻时做出非常重要的发现，而且他们还在年轻时做出许多看似不相关的重大发现。就像爱因斯坦一样，他做了布朗运动、狭义相对论。第三个是什么？还有三个。

是光电效应。是的，没错。这些表面上看似乎并不相关，但却发生在同一年，这很有趣。你认为是什么解释了这种现象？

就爱因斯坦而言，你是让我解释爱因斯坦的奇迹年，这可是一个艰巨的任务。我们可以说一些事情，比如，20世纪初的物理学已经为相对论和量子力学这些相互关联的革命做好了准备。我是说，如果不是爱因斯坦，也会是别人，不久之后就会出现所有这些东西。广义相对论，爱因斯坦花了十年时间才完成，这是唯一一件如果不是爱因斯坦，可能需要几十年才能有人完成的事情。但他在1905年所做的事情，都是物理学为之准备好的。也许只需要一个人以足够不同的方式看待事物。我真的不确定。但也许所有这些事物的结合，也是为什么我们认为爱因斯坦就是爱因斯坦的原因。当时有很多其他伟大的物理学家，他们可能做了一两件同等水平的事情，但只有爱因斯坦做了那三四件事。

我很高兴你提到了“想法就在空气中，随时可以采摘”这个话题，因为这直接引出了我的下一个问题。我重读了你的量子信息科学课的讲义，其中有一节讲到量子隐形传态。你回答了人们是如何弄清楚这些东西的。你说，值得指出的是，量子力学是在1926年发现的，而量子隐形传态直到90年代才被发现。当然，量子计算，我是大卫·杜奇的忠实粉丝，他在80年代就发现了它，或者想到了它。这些想法似乎在量子力学发展的时候就已经准备好了，为什么花了这么长时间才产生这些想法？

这是一个极其有趣的问题。我是说，关于量子纠缠的想法，不是把它看作是形而上学上的奇怪或“鬼魅”，或者基本上是如何解释它，如何摆脱它，而是从如何使用它的角度来看，如何使用它来改进信息处理。我认为，据我所知，这种观点直到约翰·贝尔在60年代才开始出现。贝尔有一个非凡的见解，你可以做一个实验来检验纠缠的预测，并将其与任何涉及局部隐变量的可能理论区分开来。然后不久之后，斯蒂芬·维斯纳就有了量子货币的想法，或者使用不确定性原理进行密码学，尽管他直到80年代才能够发表。

我可以补充几点。当量子力学在20年代被发现时，发现它的人们并不清楚这是否是物理定律的最终形式。他们认为，有一大批人认为这只是我们当前知识的一种表示，但显然需要改进。爱因斯坦的观点就是这样，薛定谔的也是。然后，玻尔和海森堡非常反对寻找超越量子力学的东西，但他们并不是以一种能激发更多关于量子力学用途的研究的方式。他们只是想让大家闭嘴，停止问这些问题。所以，你可以说，尽管玻尔在局部隐变量问题上是正确的，而爱因斯坦是错误的，但在更深层次上，爱因斯坦是更正确的，他指出了这里有一些我们尚未理解的东西，需要我们去理解。而且，确实，直到60年代贝尔不等式的发现，这个问题才真正被理解。

另一个问题是，当量子力学在30年代被发现时，在理解化学如何运作方面还有很多工作要做，只是将量子力学应用于理解我们周围的现实世界。在计算机科学方面，我是说，天哪，通用计算机的整个概念才刚刚诞生。整个经典计算领域才刚刚诞生。所以，双方的盘子里都有很多东西，以至于结合两者似乎是极其不成熟的。然后，当然，第二次世界大战介入了。从事基础科学的人很多都去了曼哈顿计划或布莱切利园工作。然后在那之后，理论物理学家非常专注于新发现的粒子群，以及量子场论的构建。几十年来，人们对量子力学本身的基础的思考一直很不时兴。与此同时，人们终于在构建、商业化、弄清楚经典计算机的用途。这是一个非常年轻的领域。计算复杂性理论，它在量子计算之前是必不可少的，直到60年代才发展起来。然后是P和NP以及NP完备性的理论，那也只是70年代的事情。所以，现在，如果我们考虑那些可能结合了这些领域的人，我认为约翰·冯·诺依曼是一个明显的人选，因为他当然是计算机科学和量子力学领域的先驱。事实上，他发明了量子态熵的概念。但他还有很多其他事情要做，而且他英年早逝，50年代就去世了。艾伦·图灵也是计算机科学的创始人，他对量子力学的基础也充满热情，正如我们从他写给朋友的信中得知的那样。他42岁就去世了。所以，无论如何，我觉得量子力学和计算理论在30年代就已经就位了，但人们还有很多其他事情要做。纠缠作为一种资源的想法直到60年代才开始出现，计算复杂性直到60年代和70年代才开始出现，然后，也许十年后，人们才开始思考量子计算。

有趣。我听过另外两种理论，我想知道你怎么看。第一个是，我想我可能在引用他的时候弄错了，但我想大卫·杜奇曾经说过，他之所以能够认真思考量子计算，是因为他认真对待“多世界”解释，而他之前的那些人没有认真对待“多世界”，所以他们没有做出贡献。

好的，那对杜奇来说绝对是真的。我知道你认识杜奇。他实际上在奥斯汀的德克萨斯大学读研究生时，就成为了“多世界”解释的坚定信徒。他听休·埃弗雷特本人做过关于它的讲座。布莱斯·德威特，他是“多世界”解释的主要早期倡导者之一，也曾在奥斯汀的德克萨斯大学，对杜奇产生了很大的影响。杜奇在思考如何让人们意识到量子力学是普遍有效的，它在所有尺度上都适用。如果你能建造一台计算机，它可以在不同的计算中进行叠加，然后你就能看到它们之间的干涉结果。从概念上讲，这几乎就像创造了一个可以思考不同想法的大脑的叠加。然后，如果你能做到这一点，那么观察者仅仅因为是观察者就会导致波函数坍缩的整个想法就不再是可怕的了。

一个问题是，理查德·费曼在和杜奇差不多的时候也想到了量子计算的想法。费曼当然知道“多世界”解释，他也知道埃弗雷特，但这并不是他思考量子计算的动机。他像往常一样，更注重实际。他想知道如何用计算机模拟物理学，如何模拟自然。如果使用经典计算机，我们会遇到指数级的减慢。那么，我们能否建造一种新型计算机来解决这个问题，并提供一个通用的量子模拟器？

我是说，70年代和80年代也有一个关于计算物理学的运动，包括计算的热力学，你能使计算本质上是可逆的吗？以及其他各种问题，这些问题与指数级加速无关，但这也是导致量子计算的智力流之一。所以，我认为你说的对杜奇来说非常准确，但除了杜奇之外，还有其他人也在思考这些问题。费曼只是其中之一，还有其他人。我认为，在这个领域，很少有人像杜奇那样，对“多世界”解释如此狂热。

有趣的是，仔细想想，杜奇和图灵在他们提出计算模型时，都试图解决一个独立的哲学问题，至少在一定程度上是这样。

好的，第二个理论是，自20世纪70年代以来，学术界对新想法的开放性降低了。你提到了维斯纳和埃弗雷特，据我所知，他们两人都被排斥或被看不起。这个理论是否得到了证实？

我认为，在学术界的某些领域，探索新想法可能比以前更难了。我可以相信这一点在社会科学和医学领域是存在的。人们过去会做一些完全疯狂的事情，发明一些新的药剂，给自己注射，看看会发生什么，然后写一篇文章。而今天，在任何人认为这样做稍微合乎道德之前，可能需要数十亿美元的投资。

另一方面，在物理学，以及在计算基础、宇宙学等方面的猜测，我认为情况恰恰相反。这部分是因为我们现在有了这个预印本服务器arXiv，每个人都可以发布他们所有的研究新想法，没有任何过滤。我认为这在一定程度上改变了科学格局。我们仍然有期刊，但期刊现在只是一个最终的批准印章，在许多领域，这在找工作等方面很重要，但期刊不再是阻止人们看到你论文的守门人。所以，如果你每天只看量子物理学的arXiv，你会看到很多离奇的想法，很多疯狂的东西，很难相信当代的维斯纳或埃弗雷特会觉得在发表他们的想法方面有任何障碍。今天的问题更多的是，有太多大胆的新想法，当然，大多数都不会成功，大多数都会失败。所以，如果你在寻找什么会真正具有革命性，你需要筛选的东西太多了。

我确信你的评论区和电子邮件里充满了这些。但你有没有想过，这个领域的重要想法有多少来自学术界之外的人，还是主要是拥有博士学位的人在体制内工作？

好吧，这些不是详尽的分类。因为有突破来自非学术界的人。你经常会发现，这些人处于学术界的边缘，他们获得了博士学位然后离开了学术界，或者他们完成了部分博士学位，或者类似的事情。有一个著名的例子是数学家张益唐，他证明了存在无穷多对相差不超过7000万的素数，这是数论的一个重大进展。这个人，我记得他好像在中国获得了数学博士学位，然后搬到了美国，然后为了养家糊口，做过各种各样的工作，比如做三明治，但他继续研究数学。

我经常听到一些完全自学成才的人，他们认为自己解决了P versus NP问题等等。我通常认为，那通常是某人根本不理解问题，只是做了一些……

然后，我必须区分一下，因为有时人们，他们自学了这个领域，他们真的想学习，他们只是想找一个专家谈谈，告诉他们，你走在正确的轨道上，你犯了错误，他们会为此感谢你。另一些时候，你会遇到那些真正固执己见的人，他们认为体制在审查我，我曾经在MIT教书时，有人写信给MIT校长试图解雇我。我还有一个人给我发死亡威胁，因为我不会在我的博客上发表他们关于P=NP的证明或对量子计算的驳斥。所以我遇到了各种各样的人。

另外，你会发现，我的博客的读者很多来自那些在大学学习过技术科目，学习过计算机科学、数学或物理学，然后进入工业界的人。但他们保持着联系，保持着对基本问题的好奇心。其中一些人确实想继续做研究。我目前正在与其中一位合作写一篇论文。我最近在我的博客上发布了一篇关于Busy Beaver函数的调查文章，有一个业余爱好者解决了一些开放性问题，真的，这是一篇调查文章，他有很多新想法，我和他将要写一篇关于它的论文。

哦，太酷了。顺便说一句，那是和尼尔森合著量子信息教科书的同一个人吗？不，不，不。张益唐是数学家，艾萨克·张是合著者尼尔森量子信息学教科书的物理学家。我的错。

那么，让我问你关于Busy Beaver函数。命题三是，你无法……我对命题的编号没有记忆。你能先解释一下Beaver函数是什么吗？

好的，当然。Busy Beaver函数是一个非常非常 remarkable的、超快速增长的整数序列。我们定义它的方式是，我们想说，如果我们想命名一个我能想到的最大的数字，为什么不说“用一千个词或更少就能命名的最大数字”呢？或者类似的东西。但我必须小心，因为这里有一个内在的悖论。我也可以说，“一加上用一千个词或更少就能命名的最大数字”，然后我用不到一千个词就命名了它。所以，从这个意义上说，逻辑学家和哲学家一百多年前就得出了结论，用英语命名一个数字的概念并不像我们想象的那么清晰。如果你不小心，它会导致悖论。

但是，如果我们能以一种完全明确的方式命名一个数字呢？自20世纪30年代艾伦·图灵以来，我们就有了一种方法，那就是计算机程序或图灵机。所以我们可以说，考虑一个长度最多为一千比特的计算机程序能生成的最大整数。现在你必须小心，你是什么意思？当然，一个计算机程序可以永远运行。它可以开始，我可以很容易地写一个程序说“打印不打印九循环”，它会无限地打印九。所以我们限制注意力于那些最终会停止的计算机程序。我们说，对于给定的n，我们考虑所有可能的n比特计算机程序。假设有2的n次方个。或者最多2的n次方。许多字符串只会导致不是程序的东西，甚至无法编译，所以我们会把它们扔掉。现在，在所有有效的n比特程序中，有些程序会永远运行，我们只是在空白输入上运行它们，所以我们也会把它们扔掉。我们只考虑那些最终会停止的程序。现在，在所有停止的程序中，我们选择运行时间最长的那个，直到它停止。那个运行时间，我们称之为第n个Busy Beaver数。

所以，拉多在60年代定义它时使用的是图灵机，这是艾伦·图灵在30年代发明的一种特定编程语言。他说，Busy Beaver(n)是任何n状态图灵机可以运行的最大有限步数。

所以，令人惊叹的是，人们可以证明这个函数增长的速度比任何可计算函数都要快。所以，无论你想到什么整数序列，如果你在命名最大数字的比赛中，说Busy Beaver(1000)，那么任何不知道Busy Beaver函数或类似函数的人都会被彻底击败。

而且，你可以对这个函数说更多令人惊叹的事情，比如，只有有限数量的函数值可以从集合论的公理中被证明。出于哥德尔不完备定理的原因，基本上，在某个有限点之后，这个函数的数值，我们将会，我们可能会认为它有确定的值，因为它是一个明确定义的函数，但我们却无法证明它们是什么。

所以，现在，如果你看看拉多在60年代定义的Busy Beaver函数，只有四个值是已知的。Busy Beaver(1)是1，Busy Beaver(2)是6，Busy Beaver(3)是21，Busy Beaver(4)是107。Busy Beaver(5)只知道它至少是4700万。我们不知道它可能有多大。Busy Beaver(6)至少是10的36000次方，可能大得多。Busy Beaver(7)至少是10的10的10的10的10的1800万次方，而且可能仍然大得多。

只是为了让人们对这个函数如何增长有一个概念。

是的，是的。我强烈推荐所有听众都去看看Busy Beaver Frontier这篇论文，因为它写得非常清楚，即使像我这样的非专家也能理解。为了我自己的理解，我想澄清一下，并不是说对于任何n，Busy Beaver(n)都大于Busy Beaver(n-1)。只是说，它最终会比图灵机有更多的状态，它会增长。

这正是我说的增长速度比任何可计算函数都快的意思。是的，是的。实际上，在实践中，不仅仅是最终，而是非常非常快。

你在论文中非常巧妙地展示了，这意味着你可以独立地证明整个停机问题和哥德尔不完备定理。

是的，是的。停机问题的不可解性，哥德尔定理，这些东西都纠缠在一起。有很多不同的方法可以证明它们。但Busy Beaver函数提供了一种方法，你可以用它来独立证明，存在一个不可计算函数，你可以用它来证明哥德尔不完备定理。

所以，我的问题是，命题三是说，对于任何公理化理论，你都无法用它来证明所有的Busy Beaver函数。

是的，所以我的问题是，即使没有系统的方法来扩展我们的……

集合论是否存在一种方法，你可以合理地不断地扩展它，以便能够证明越来越高的忙碌的河狸值？这是一个非常棒的问题。你知道，我想说我们还不知道，对吧？因为现在我们甚至无法确定忙碌的河狸五的值。你知道，现在，我猜想现有的集合论的资源是完全足够的。但是，你知道，我们甚至不知道这一点。所以，四年前，我的一个学生名叫亚当·亚迪迪亚，我和他决定研究一个问题，出于某种原因，没有人研究过，那就是，对于最小的 n，我们实际上可以证明忙碌的河狸 n 的值独立于集合论？就像，很清楚存在某个 n，对于这个 n，这是真的，但我们是在谈论一千万还是十？所以，所以实际上，这个问题归结为，它几乎就像软件工程一样，你必须构建一个图灵机，它检查集合论的所有定理，并且只有在发现矛盾时才停止。你必须用尽可能少的状态来构建这样的图灵机。如果你可以用 n 个状态构建这样的机器，那么你就证明了集合论无法确定忙碌的河狸 n 的值，因为如果它确实如此，那么它也就确定了它自身的相容性，这正是哥德尔定理所不允许的。所以，我们设法做的是，我们设法用八千个状态找到了这样的机器。大约八千个状态，你知道，那是在进行了大量的优化之后，以及大量的编码和工程和新的想法之后。从那时起，再次回到你之前的问题，一个业余爱好者，一个学术界之外的人，名叫斯蒂芬·奥里尔，设法改进了我们的界限，并将其降至八百个状态以下。是的，好的，那是现在的记录。如果你能把它降低到，你知道，你知道，这是一个很棒的问题，你能把它降低到十个状态左右吗？你知道，那将告诉我们，即使只是为了获得忙碌的河狸函数的下一个几个值，我们也必须超越集合论的现有公理。你知道，即使是为了获得忙碌的河狸函数的下一个几个值。但也许不行，也许，也许你可以用现有的集合论得到一百个。我们不知道。现在你可以做的是，你知道，你知道，无论何时，你知道，ZF集合论，泽梅洛-弗兰克尔集合论，你知道，这是大多数数学的公认基础，无论何时它耗尽了能量，你知道，我们不知道确切的点在哪里，但人们可以然后通过所谓的“大基数公理”来扩展它，这些公理基本上断言存在一个无穷大，它比 ZF 集合论中可以定义的任何无穷大都要大。或者，你知道，你可以说，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知道，你知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