Transcription
Hola y bienvenidos a otro vídeo de Mate Fácil. En este vídeo voy a resolver el ejercicio que les dije al final del vídeo anterior sobre el método de Newton-Raphson. Si no han visto el vídeo anterior, los invito a que lo vean para que ustedes intenten hacer este ejercicio antes de ver este vídeo.
Lo que nos pide es resolver esta ecuación algebraica de quinto grado, encontrar una solución con una precisión de ocho cifras decimales. Para hacer esto, primero debemos fijarnos que en nuestra ecuación todos los términos los tengamos del lado izquierdo y que entonces tengamos esto igual a cero. Si hubiera algún otro término aquí en el lado derecho, primero lo pasamos al lado izquierdo para que nos quede la ecuación igual a cero.
Bueno, y lo siguiente que vamos a hacer es aplicar esta fórmula que es la del método de Newton-Raphson. Pero en esta fórmula nosotros vemos que hay una función. Bueno, pues esta función va a ser la que nosotros tengamos aquí del lado izquierdo, es decir, que en nuestro caso f(x) es igual a x quinta menos x menos 1.
Bueno, necesitamos también una primera aproximación para esta ecuación, es decir, un número que vamos a tomar como punto de partida que sea una solución aproximada. Para encontrar esa solución aproximada, podemos empezar graficando, por ejemplo, esta función o podemos empezar sustituyendo algunos valores y viendo en cuál valor o entre cuáles valores la función cambia de signo. Por ejemplo, en nuestro caso, si sustituimos el cero en la función, nos quedaría cero a la quinta menos cero menos uno, que nos da finalmente menos uno. Si sustituimos el uno, también al hacer las operaciones obtenemos como resultado menos uno. Si sustituimos el dos, al hacer todas las operaciones obtenemos como resultado 29 positivo. Como este es un polinomio, es una función continua y el teorema de valor intermedio nos dice que entre el uno y el dos debe haber un número para el cual la función valga cero, ya que para el uno nos da un resultado negativo y para el dos ya nos da un resultado positivo. Así que hay algún valor entre el uno y el dos que resuelve esta ecuación, es decir, hay una solución entre x igual a uno y x igual a dos. Esta es una manera de darnos cuenta de eso.
Otra forma hubiera sido hacer la gráfica de esta función y al hacer la gráfica, lo que nosotros estamos buscando es en qué valor de x la función vale cero. Eso geométricamente significa la intersección de la gráfica de la función con el eje x. Aquí tenemos el eje x y vemos que la intersección con el eje x ocurre aquí, un poco después del uno, entre el uno y el dos. Entonces, esto es consistente con lo que les mencionaba por aquí, que debe haber una solución entre el uno y el dos. Bueno, y aquí gráficamente vemos que la intersección está más cerca del uno que del dos, por lo que el uno es una buena aproximación para esta ecuación. Así que vamos a empezar con esa aproximación y vamos a llamarle x1. A partir de aquí, vamos a ir obteniendo mejores aproximaciones para las de esta ecuación. Entonces, x1 vale uno.
Ahora queremos una segunda aproximación que es x2. Eso lo vamos a obtener sustituyendo en esta fórmula, pero para sustituir en esta fórmula, fíjense que también necesitamos la derivada de la función, que es lo que tenemos aquí en el denominador. Así que vamos a derivar primero nuestra función. La derivada es 5x⁴ menos uno.
Ahora sí, para obtener la segunda aproximación, es decir, x2, usamos esta fórmula y en donde aparece xn es donde vamos a sustituir nuestra primera aproximación, que es x1. Así que por eso aquí pongo x1 menos f(x1) sobre la derivada evaluada en x1. Y ahora vamos a sustituir el valor. Entonces, aquí en x1 vamos a colocar un uno y aquí en f(x1) tenemos que calcular primero el valor de la función, es decir, f(x1), que es lo mismo que f(1). Se obtiene sustituyendo el uno en cada x, que es aquí uno a la quinta menos uno menos uno. Al hacer las operaciones, nos queda como resultado menos uno. También hay que sustituir en la derivada para colocarlo aquí en el denominador, f'(x1), que es lo mismo que f'(1). Se obtiene sustituyendo el uno en la x, así que es cinco por uno a la cuarta menos uno, que nos da como resultado cuatro.
Bueno, sustituimos entonces estos valores en esta expresión y obtenemos lo siguiente: la segunda aproximación x2 es igual a uno menos f(x1), que como ya vimos, vale menos uno, sobre f'(x1), que como ya vimos, es cuatro. Y ahora hay que realizar estas operaciones. Aquí menos por menos nos da más, luego uno entre cuatro nos queda 0.25 y finalmente sumamos uno más 0.25, eso nos da 1.25.
Esta es una solución, es exacta para esta ecuación, pero ahora vamos a obtener una mejor aproximación que es x3. Volviendo a aplicar esta fórmula, pero ahora en xn vamos a sustituir este valor de x2 que obtuvimos. Entonces, vamos a volver a usar esta fórmula ahora para obtener x3. Entonces, aquí en xn sustituimos en la aproximación que acabamos de obtener, que es x2. Así que vamos a calcular x2 menos f(x2) sobre la derivada en x2. Bueno, igual que antes, tenemos que calcular entonces el valor de la función en x2, es decir, el valor de la función en 1.25. Así que hay que sustituir aquí y nos quedaría 1.25 a la quinta menos 1.25 menos 1. Y al hacer esas operaciones, nos queda este número de aquí. Como nos pedía resolver esta ecuación con ocho cifras decimales, por eso aquí estamos tomando ocho cifras decimales.
Bueno, y para la derivada, lo mismo, hay que sustituir este valor 1.25 en la x de aquí de la derivada. Así que es cinco por 1.25 a la cuarta menos uno. Hacemos las operaciones y nos queda este número de aquí. Entonces, sustituimos en la expresión y obtenemos esto de aquí. Ahora hay que realizar estas operaciones, primero la división, luego a este número le restamos lo que nos quedó de la división y el resultado es este número. Esta es una mejor aproximación para la solución de esta ecuación. A esta le vamos a llamar x3.
Y así podemos continuar el procedimiento. Ahora vamos a calcular x4. Entonces, ahora xn es x3 y tenemos que volver a calcular la función en x3 y la y la derivada en x3, que nos da estos resultados de aquí. Aquí ya los invito a que ustedes lo verifiquen, que estos son los resultados que se obtienen. Luego hacemos las operaciones y obtenemos este resultado. Este es x4.
Así continuamos el procedimiento y obtenemos este valor para x5, este valor para x6. Y vamos viendo que en cada paso hay menos cambios. Por ejemplo, antes, desde el principio, siempre hemos tenido un uno punto y algo, pero en x2 teníamos 1.25. En x3 ya vemos 1.17. Este uno de aquí se mantiene en todas las demás, pero luego en x4 el siete cambia por seis y vemos que se mantienen todas las demás. Cada vez vamos obteniendo más precisión. Este siete se mantiene también. Luego vemos que ahora es el tres y el cero el que se mantiene.
Si calculamos nuevo x7, obtendremos de hecho el mismo resultado que x6. Así que si ahora calculáramos x8, como vamos a sustituir el mismo valor que x6, vamos a obtener el mismo valor otra vez. Es decir, que ahora este valor se mantiene completamente, todos los dígitos de aquí se mantienen, por lo que podemos asegurar que esta es la solución con una precisión de ocho cifras decimales.
En el siguiente vídeo vamos a ver cómo podemos calcular raíces como esta de aquí, la raíz sexta de dos, utilizando el método de Newton-Raphson. Para hacer esto, básicamente lo que haremos es lo siguiente: vamos a llamarle x a la raíz sexta de dos, entonces queremos encontrar el valor de x. Aquí nosotros podemos quitar esta raíz sexta pasándola como exponente seis al lado izquierdo, así que nos queda que x a la sexta es igual a dos. Y luego, si pasamos este dos restando al lado izquierdo, podemos aplicar el método de Newton-Raphson a esta ecuación de sexto grado. Entonces, el procedimiento a seguir es el mismo que vimos en este vídeo, en realidad, pero lo que estaremos obteniendo al final es una aproximación para la raíz sexta de dos. Los invito a que ustedes intenten hacerlo y en el siguiente vídeo les mostraré el procedimiento completo para que verifiquen su respuesta.
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