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Hola, ¿qué tal? En este vídeo vamos a realizar un ejercicio para poner en práctica los conceptos de producto medio, producto marginal y las relaciones que existen entre estos y entre el producto marginal y el producto físico total.
Si el primero que se nos plantea es una función de producción en donde "y" representa la producción de algún artículo y "x" en este caso va a representar el insumo variable. Si, entonces tenemos que "y" es una función de "x". Es importante aclarar que bueno, en los ejemplos que hemos manejado con anterioridad, en lugar de "y" se ha utilizado la letra "q" y en lugar de "x" se ha utilizado la letra "l". Si, lo de las letras es lo de menos, importante es tener claro bueno qué significa. Si, en este caso representa producción y "x" representa el insumo o variable.
Nos piden obtener las ecuaciones de producto medio, del producto marginal y averiguar en dónde se obtiene el producto físico total es máximo y a cuánto asciende la producción en ese punto. También nos piden obtener la cantidad de "x" en donde el producto físico tiene un punto de inflexión, ya cuánto asciende la producción en ese punto. También nos piden obtener el nivel de insumo variable en donde el producto medio es igual al producto marginal y a cuánto asciende la producción. Y finalmente, graficar tanto el producto físico como el medio y el marginal. Si, entonces bueno, lo primero que hay que recordar es que el producto medio no es más que el producto total entre el insumo variable, en este caso, "y" entre "x". Y el producto marginal es es la variación que experimenta la producción ante un cambio en una unidad de "x".
Bueno, ahora lo que vamos a hacer es calcular estas doce ecuaciones. Si, ya señalábamos, el producto medio es igual al producto físico total entre "x". En este caso, reemplazando los valores de "y" entre "x", si hacemos esta operación sencilla, vamos a ver que el producto medio es igual a tres más dos "x" menos punto uno "x" al cuadrado. Y esta va a ser nuestra ecuación del producto medio. Por su parte, el producto marginal no es más que la variación que experimenta el producto físico total ante un cambio en una unidad de "x". Es decir, esto no es otra cosa más que la derivada del producto físico total con respecto al insumo variable. Si, nosotros derivamos el producto físico total de este con respecto al insumo variable "x", vamos a obtener esa ecuación del producto marginal. Si, para eso se utilizan las derivadas. Nos quedaría tres más cuatro "x" menos punto tres "x" al cuadrado. Estas serían las ecuaciones es tanto el punto medio como del producto marginal.
Ahora bien, en el inciso "b" nos piden obtener la cantidad de "x", el insumo variable, en donde la producción es máxima y averiguar a cuánto asciende la producción. Entonces, lo primero que es necesario recordar es que cuando la producción es máxima, el producto marginal es igual a cero. Esto es importante que ustedes recuerden la relación entre producto marginal, producto físico total, así como la relación entre el producto medio y el marginal. Por lo tanto, se requiere derivar el producto físico total y con respecto al insumo variable "x", en este caso. Sin derivar el producto físico total con respecto a "x", nos obtenemos el producto marginal. Esto ya lo tenemos. Lo único que hay que hacer en este caso es igualar el producto marginal con respecto a "x". Si, en este caso, insisto, ya tenemos la ecuación del producto marginal. Lo que vamos a hacer es igualarlo a cero y resolver esta esta simple ecuación. En este caso, podemos resolver esta ecuación a través de la aplicación la denominada fórmula general, en donde "a" va a ser igual a menos punto tres, "b" va a ser igual a cuatro y "c" va a ser igual a tres. La fórmula general es necesario recordar que es igual a menos "b" más menos raíz de "b" al cuadrado menos cuatro "a" "c", todo ello entre dividido entre dos. Entonces, a la hora de reemplazar estos valores, vamos a encontrar dos "x", "x" uno y "x" dos. En el primer caso nos da menos punto siete y en el segundo nos da catorce. Si, en este caso, vamos a descartar el primero porque no tiene sentido cantidades negativas de algo. En este caso, pues no tiene sentido utilizar menos punto siete e insumo variables. Y no tienen nada, nada de sentido común. Entonces, nos quedamos con "x" dos, en donde la producción máxima se alcanza cuando se utilizan catorce unidades del insumo variable o de factor variable.
Ahora bien, tenemos que averiguar a cuánto asciende la producción. En este caso, lo que tenemos que hacer es en la función de producción, que ya la tenemos, que es la que nos da el ejercicio, vamos a reemplazar el valor de "x" por catorce. A la hora de hacer esta sencilla operación, vamos a observar que la producción va a ser de 169.6. Y este es el nivel de producción máximo que se puede alcanzar. Si, cualquier otro valor, tanto mayor como menor, pues nos va a dar una producción. Si ustedes lo pueden evaluar desde casa poniéndole, por ejemplo, "x" igual a quince, "x" dieciséis, y van a observar que la producción en todos los casos va a ser menor a 159.6.
El inciso "c" nos pide obtener la cantidad de "x" donde el producto físico total tiene un punto de inflexión y a cuánto asciende en la producción en ese punto. Si, gráficamente vimos que esto sucede cuando la curva del producto físico total se va pasa de ser muy vertical y se empieza a tratar se empieza a aplanar. Si, es es decir, un punto en donde la curva del producto físico total pasa de tasas crecientes a tasas decrecientes. Y entonces, el punto de inflexión se alcanza cuando el producto marginal está en un punto, en un punto máximo. Este punto nos indica la frontera donde el producto físico total pasa una tasa creciente a una tasa decreciente. Si, entonces es necesario recordar que cuando el producto marginal está en un máximo, en ese punto se ocurre un punto de inflexión en la curva del producto físico total. Y las derivadas justamente nos ayudan a encontrar esos puntos máximos y puntos mínimos en las ecuaciones. Por lo tanto, necesitamos derivar al producto marginal, con lo que es lo mismo, la derivada de la derivada. Si, en este caso, la derivada del producto físico total es el producto marginal. La derivada del producto marginal nos va a dar el máximo del producto marginal. Así que, en este caso, ya sabemos que la ecuación del producto marginal es tres más cuatro "x" menos punto tres "x" al cuadrado. Si nosotros derivamos eso, nos va a quedar como cuatro menos punto seis "x" es igual a cero. Si igualamos a cero para encontrar el valor máximo de "x", lo que vamos a hacer es un sencillo despeje para encontrar el valor de "x" y vamos a observar que va a ser igual a 6.67. Es decir, cuando se utilizan 6.67 millones de "x", se alcanza un punto máximo en el producto marginal. Evaluando este punto en la función de producción, lo que tenemos que hacer es reemplazar el valor de "x" por 6.67. Esto arroja una producción de 79.3, que es el nivel de producción donde el producto físico total tiene un punto de inflexión.
Ahora bien, el inciso "d" nos nos dice obtener la cantidad de "x" donde el producto medio es igual al producto marginal y evaluar a cuánto asciende la producción en ese punto. Si, también tenemos que recordar, en una clase previa señalamos que cuando el producto medio alcanza un punto máximo, se guarda con el producto marginal. Entonces, lo que necesitamos hacer es obtener el punto máximo del producto medio y para ello vamos a utilizar nuevamente las derivadas, que nos ayudan a encontrar puntos máximos y mínimos en una ecuación. Entonces, sabemos que cuando el producto medio está en un máximo, en ese punto se iguala con el producto marginal. Para obtener el producto medio, hay que derivarlo y después igualarlo a cero y obviamente resolver para "x". En este caso, la derivada del producto medio con respecto a "x" nos va a dar dos menos punto dos "x" es igual a cero. Resolvemos y "x" va a ser igual a diez. Si, cuando utilizamos diez unidades del insumo variable, el producto medio alcanza un punto máximo, que es en donde el producto medio es igual al producto marginal.
Finalmente, lo que tenemos que señalar es que también se puede obtener este resultado igualando la ecuación del producto medio con la del producto marginal. Si, en este caso, como lo ven en pantalla, ustedes pueden hacer la resolución de este ejercicio en casa y comprobar que "x" es igual a diez. Aunque bueno, en este caso es un procedimiento largo. Si, yo recomiendo más el procedimiento por puesto que es más fácil. Si, la derivada obtiene el resultado en un tiempo más rápido. Aunque estos solo pueden hacer de tareas como para confirmar lo que acabamos de encontrar. Evaluando a cuánto asciende la producción en ese punto, lo que tenemos que hacer nuevamente es evaluar en la función de producción el valor de diez. Vamos a reemplazar el valor de "x" por diez. A la hora de hacer esta operación, observamos que el nivel de producción en donde el producto medio es igual al producto marginal es de 130.
Ok, el último inciso nos pide graficar los resultados y tenemos que llenar esta tabla. Si, para encontrar los valores del producto físico total, el medio y el marginal, pues tenemos que ir evaluando este las tres ecuaciones que tenemos, la el producto físico total, producto medio, producto marginal e ir evaluando y sustituyendo el valor de "x" primero cuando es cero, cuando es uno, cuando es dos y así sucesivamente hasta llegar al catorce. Si, esto lo pueden hacer desde desde casa, ir llenando esta tabla y encontrar los valores asociados a cada a cada valor de "x". Es importante señalar que cuando "x" es igual a cero, el producto marginal les va a dar de tres, lo cual no tiene sentido puesto que no hay nada que se está agregando al producto al proceso de producción. Entonces, en este caso, aunque de tres, lo vamos a poner como cero porque no tiene sentido que haya una producción extra si no hay un insumo variable, por ejemplo, trabajo, que esté en el proceso de producción. Por eso lo ponemos como cero. Aclaramos este punto. Si, aquí tenemos ya la tabla llena para que ustedes lo puedan hacer desde casa y pueden corroborar estos valores. Si, en este caso encontramos que cuando "x" es igual a catorce, la producción es máxima. De la misma manera que cuando, perdón, que cuando "x" es igual a diez, el producto medio es máximo y en ese punto es igual el producto marginal. Del mismo modo, cuando la cantidad de insumos del 6.6 aproximadamente, se alcanza un punto en donde el producto marginal es máximo. Y bueno, esto lo pueden corroborar este, por ejemplo, en una tabla Excel. Lo pueden pueden ir haciendo los datos y graficarlos. Aquí tenemos nuevamente la tabla. Si, entonces señalamos y aclaramos, bueno, o sea, tres por lógica se pone cero puesto que no hay insumo variable que aporte al proceso de producción. A esa columna del producto marginal se le conoce como producto marginal exacto. Porque exacto, porque es el que surge al evaluarlo directamente en la ecuación del producto marginal. Si, entonces es necesario aclarar algo que es importante. Si, una es cuando nos dan una función de producción como en este ejercicio y en donde hay que construir esta tabla, si hay que sacar los valores y evaluar una ecuación punto por punto. En ese sentido, el producto marginal que sale se va a denominar producto marginal exacto. En cambio, si en cambio cuando nos dan una tabla sin ecuación, como obtenemos el producto marginal, bueno, como las diferencias. Así como las diferencias, aquí está ilustrado como las diferencias. Pero cuando nos dan una función de producción y hay que construir la tabla, entonces lo que vamos a obtener el producto marginal exacto, que es el que se obtiene evaluando directamente en la ecuación del producto marginal, si, cada uno de los valores del insumo variable. Si, entonces aclarado esto, espero que este video les haya sido de utilidad. Para finalizar, aquí muestra la gráfica sin la gráfica de estos de estos datos recién presentados. En este caso, del producto físico total, alcanza un máximo cuando el producto marginal es cero, sin que esto se obtiene cuando "x" es igual a catorce. También observamos que cuando el producto medio alcanza un máximo, este es igual a diez. Y el punto de inflexión, cuando el producto marginal es máximo, aquí no pueden, este, lo pueden observar ustedes. Lo pueden pueden hacer esta gráfica desde casa y corroborar estos estos datos. Pues espero que les haya servido este video y estamos pendientes en el próximo tema.