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以下是与乔·鲍勒（Jo Boaler）的对话，她是斯坦福大学（Stanford）的一位数学教育家，也是 youcubed.org 的联合创始人。该网站旨在激发年轻人的数学之美。为了支持本播客，请查看我们描述中的赞助商。这是 Lex Fridman 播客，以下是我与乔·鲍勒的对话。
对你来说，数学的美在哪里？
我喜欢一些人甚至不认为那是数学的数学，那就是美丽的、创造性的数学，我们以不同的方式看待数学，我们可视化它，我们思考解决问题的不同方法。很多人认为数学就是一种方法和一个答案，而我喜欢数学的是你可以从多个不同的角度看待事物，不同的方法，不同的视角，在某些情况下，不同的解决方案。所以，对我来说，数学的美就在于你可以用许多不同的方式来看待和解决它。
而且，令人难过的是，很多人认为数学只有一个答案和一种方法。所以，对你来说，当一个问题有一个解决方案，然后你开始添加其他解决方案，更简单的解决方案，更奇怪的解决方案，更有趣的解决方案，有些是视觉的，有些是代数的，几何的，所有这些东西时，美就出现了。
是的，我的意思是，我一直说你可以选择任何数学领域并使其可视化。我们告诉老师们，给我们你们最枯燥乏味的数学，我们会把它变成一个视觉上有趣、富有创造性的问题。结果证明，任何数学领域都可以做到这一点。我认为我们对孩子们和其他人造成了很大的伤害，因为数学总是关于数字，大量的数字。数字可以很棒，但你可以用数字以外的其他方式来思考数学。
你是否发现大多数人是视觉学习者，还是这只是互补的？学生们喜欢探索数学的完整光谱是怎样的？
你说，来我班上的学生肯定有些人对视觉思维更感兴趣，喜欢视觉方法。但事实证明，神经科学告诉我们，当我们思考数学时，大脑中有两条视觉通路，我们都应该从视觉上思考它。一些方法是说，你是一个视觉学习者，所以我们会给你视觉材料，而你不是一个视觉学习者。但实际上，如果你认为自己不是一个视觉学习者，那么拥有视觉方法可能更重要，这样你就可以发展你大脑的那个部分。
所以，你刚才说，它有一些相互关联的方面，所以视觉与非视觉相连？
是的，这就是神经科学向我们展示的，当我们解决一个数学问题时，有五个不同的脑通路，而世界上成就最高的人是那些在这些通路之间有更多连接的人。所以，如果你看到一个有数字的数学问题，但你也从视觉上看到它，这将在你的大脑中这些通路之间建立连接。如果你可能用文字来写它，那会引起另一个连接；或者你可能用实体的东西来构建它，那会引起另一个连接。我们希望孩子们拥有的是我们称之为数学的多维度体验，从不同的角度看待它，从不同的角度体验它，这将促使大脑产生这种伟大的连接。
你知道，有关于物理学家做同样事情的故事。我发现物理学家通常更擅长建立他们大脑的那个部分，利用可视化来建立直觉，因为你最终想要理解这个问题的最深层秘密，为此你必须凭直觉去那里。
是的，你刚才在私下提到，你解决问题的一种方式是尝试讲述一个关于它的故事，其中一些是传说，但我敢肯定，并非总是如此。你知道，爱因斯坦在思考火车和光速，你知道那种直觉很有用。
你开始想象一个物理世界，比如这个想法如何在物理世界中体现出来，然后开始在你的脑海中玩弄那个物理世界，并思考这是否会是真的，这是否会是真的。
是的，爱因斯坦以视觉思考而闻名，人们谈论他如何真的不想在没有视觉思考的情况下解决问题。但你提到的另一件事也激发了我的灵感，那就是通过直觉思考，对数学问题有直觉，这在数学课中常常缺失。你可能会思考一个问题并运用你的直觉，但它非常重要。当采访数学家时，他们会非常频繁地谈论直觉在解决问题中的作用，但在教育中却很少被承认或引入。
是的，我的意思是，这就是它的本质。如果你给自己设定一个任务，建立对一个问题的直觉，那就是你开始提取诸如“我看到的模式是什么？”之类的内容。为了理解模式，你可能需要开始利用可视化，但最终所有这些都是为了解决这个谜题，就像破解它一样。
你得到了一个简单的解释，关于为什么事情是这样的，而不是，就像你说的，有一个特定的算法可以执行来解决问题。
但是很难，很难。推理真的很难。是的，这很难。我的意思是，我喜欢重视数学中的难点，而不是害怕它。我们知道，当你挣扎时，这对你的大脑来说实际上是一个非常好的时机。当你思考问题时，你希望自己处于挣扎的状态。所以，如果直观地思考某件事很难，那可能对你的大脑来说是一个非常好的时机。
我以前和一个叫塞巴斯蒂安·索兰（Sebastian Thrun）的人一起工作，他是一位很棒的数学家，你可能会把他看作是人工智能领域的人。我记得在我对他的一次采访中，他谈到了他们如何为史密森学会建造机器人，以及他们如何在那方面遇到麻烦，比如拾取白噪声。他说他们必须解决这个问题，他们必须弄清楚发生了什么，以及他如何凭直觉弄清楚问题所在，但然后他花了三个星期才在数学上证明它。我觉得这真的很有趣，你如何拥有这种直觉并知道某件事有效，这与经历那个漫长的数学证明过程不同，但却如此重要。
是的，我认为我们的大脑可能进化成了“直觉机器”，而像正式展示它这样的数学可能是一件额外的事情，我们不是为此设计的。
你从费曼那里看到了这一点，还有他，我的意思是，所有这些物理学家都肯定会看到从直觉开始，有时从实验开始，然后实验激发直觉。但你可以把实验看作是一种可视化，对吧？就像，让我们看看我们正在看的东西，并画出它，画出它随着事物生长而演变的模式，对于 n=1，对于 n=2，对于 n=3。然后你开始玩它。在现代，我喜欢做的是，你知道，你可以写一个程序来可视化它。然后你可以开始以编程方式探索它，然后你也可以交互式地做到这一点。我倾向于不喜欢交互式，因为它需要太多的工作，因为你必须点击和移动东西。我喜欢通过编写程序来交互，这是我的特定大脑软件工程师。
所以，你可以做所有这些可视化，然后还有可视化的工具，比如颜色，所有这些东西。
是的，你说得对，它们实际上并没有被教授多少。可视化艺术没有被教授。我们也喜欢颜色编码，比如当你用数学表示某物时，你可以显示颜色来显示增长。并对其进行编码，所以如果我有一个模式的代数表达式，也许我用某种颜色显示 x，但也用那种颜色书写，这样你就可以看到这种关系。
非常酷。是的，我们尤其在与小学教师的合作中，许多教师来参加我们的讲习班，当他们看到事物在视觉上变得有意义时，他们简直在流泪，因为他们一生都在思考，没有意识到你可以真正理解这些视觉事物。这非常强大。
你说，学习中有一些有价值的东西，当你在做的事情具有挑战性、困难时。所以很多人说，你知道，数学很难，或者数学太难，或者对我来说太难。你认为数学应该容易还是应该难？
我认为当事情具有挑战性时，这是很棒的，但要能够应对具有挑战性的数学，有一个关键的东西，那就是知道你可以做到。我认为教育中的问题是，很多人都有这样的想法：你天生就有数学大脑，或者你没有。所以，当他们开始挣扎时，他们会想，“哦，我没有那个数学大脑”，然后他们就会在他们的大脑中关闭，事情就会从那时开始走下坡路。所以，挣扎会变得容易得多，如果你没有那个想法，你就能挣扎。但你知道你可以做到，你必须经历这种挣扎才能到达那里，但你能够做到。所以，我们被我们对我们能做什么的想法所阻碍。
我在这里问一个困难的问题。是的，所以有一种，我不知道正确的术语是什么，但有些人以不同的方式学习有困难，他们的思维方式不同。作为教育者，我们应该为他们腾出多少空间？那么，你怎么知道这是困难，我就是不喜欢做困难的事情，还是我的大脑的构造方式是，我需要以非常不同的方式学习，我无法以这种方式学习？你怎么找到这条界线？你怎么在这种灰色区域运作？
这就是为什么当老师如此困难，而且人们真的不欣赏教学有多么困难。当你面对 30 个思维方式不同的学生时。但这也是为什么我相信拥有这种多维度的数学方法如此重要。我们实际上只提供了一种方式，那就是这里有一些数字和一个方法，你跟着我做，做我刚才做的事情，然后重复它。所以，有些孩子喜欢这样做，他们做得很好，而很多孩子不喜欢这样做，而且做得不好。但当你打开数学，让你让孩子们从不同的角度体验它，也许是视觉的，用数字，用文字，会发生什么呢？会有更多的孩子能够接触到它。所以，你谈到的那些不同的思维方式，有些人就是更擅长以某种特定方式做某事，这就是为什么我们想要，这就是我们想要开放它的原因之一，这样就有不同的访问方式。然后那真的不是问题。
我是在苏联长大的，很早就爱上了数学。我从小就被迫学习数学，并通过强迫爱上了它。
那很好。你爱上了别人。
但是，我们稍微谈到了一点，那就是对卓越的重视。它很有竞争力，而且每个人都仰望成功。成功的定义是进入某个特定的班级，你知道，擅长它。它不是提高，而是擅长。我的意思是，我们在这方面更像体育。我们不是，你知道，如果你要成为篮球明星，你就会成为篮球明星，如果你要比球队里的其他男孩、其他女孩都好。所以，再加上这种信念，这可能部分是共产主义信念，我不知道，但信念是每个人都有能力变得伟大。但如果你不伟大，那是你的错，你需要更努力地工作。我记得我有一种感觉，也许是妄想，但我可以赢得诺贝尔奖。我甚至不知道这意味着什么。但我记得我小时候，我父亲随口说的一句话，一直伴随着我：如果你能弄清楚如何制造时间机器，如何穿越时空，你可能会获得诺贝尔奖。我记得我小时候在想，我要发明时间机器。就像数学工具是为了实现赢得诺贝尔奖的梦想。这很傻，我并没有真正以具体的术语来思考，但我只是觉得我可以变得伟大。然后，当你挣扎时，你能够变得伟大的信念就是，挣扎是好的，它会推动你前进。
是的。所以，关于苏联体系的另一件事，你可能想听听我的评论，就是数学的纯粹的、大量的学习时间。你谈论了很多几何学，比美国体系多得多。我想在美国，你在高中可能只学一年的几何学。
首先，几何学很美，它是视觉的。然后你就可以通过证明等来推理。在俄罗斯，我记得被反复打击，你，它没完没了。然后当然，对微积分有不同的看法。整个感觉是，数学就像人类思维发展的基本要素。所以，数学，还有科学和文学，顺便说一句，也受到了很大的影响。我们读了很多严肃的成人读物。美国在这方面也做了一点，他们用好的文学来挑战年轻的成年人，但他们并不用数学来挑战成年人。所以，这两件事，重视卓越和大量的数学课程。你认为，你觉得这很有趣吗？因为它似乎很成功。
我认为这非常有趣，而且有很多成功的人来自苏联体系。我认为苏联体系与美国和其他国家非常不同的一点是，卓越很重要，而且如果你努力工作，你就能达到。在美国，有一种观念认为卓越很重要，但然后孩子们在很多方面被灌输了这样的想法：要么你可以做到，要么你就是那些做不到的人之一。所以，学校系统中的许多学生认为自己是做不到的孩子之一。所以，努力工作没有意义，因为你永远不会达到。所以，如果你能改变这种想法，那将是巨大的。从你的话来看，在苏联，这种想法真的不同。这种想法的缺点是，如果你没有达到，那是你的错。我会补充一点：任何人都可以做到，但他们需要努力工作，他们还需要好的教学，因为有些人真的做不到，因为他们没有获得好的教学。所以，这就像，如果数学有趣、开放、有创造力且多维度，我将全力支持。我们实际上在斯坦福举办夏令营，邀请孩子们来，我们给他们我喜欢的数学。在我们的营地教室里，它们有三个小时长。当我们计划时，老师们会想：“三个小时？我们能让孩子们兴奋三个小时吗？”结果是，他们不想休息或吃午饭，他们对这些数学模式如此着迷，我们无法阻止他们。这太神奇了。所以，是的，如果数学更像那样，那么拥有更多这样的东西将是一件好事。
所以，你谈论的是什么年龄？有没有，你能评论一下哪个年龄段最重要，人们放弃数学或放弃自己，或者放弃数学？也许那个年龄或更早是一个发现、受到启发、发现数学魔力的重要时刻？
我认为很多孩子大约从五年级开始就放弃自己和数学了。然后，中学时代非常重要。五年级对孩子们来说可能是一个关键时期，因为在小学早期，他们被允许以好的方式探索和思考。但五年级的老师们通常会说：“好了，我们要为中学做准备了，我们要给你们打分和很多考试。”这时，孩子们开始对自己感觉很糟糕。所以，中学时代，我们的营地是针对中学生。我们认为这些年非常关键。许多孩子在这些年里正在决定，是的，我要继续学习 STEM 科目，或者不，我不是。所以，我的意思是，所有年份都很重要，在所有年份里，你都可以让孩子们走上不同的道路。但我认为中学时代非常重要。
那么，老师在这其中扮演什么角色？
一个是学科的解释。但你认为老师应该像一对一的，“小约翰尼，我相信你”之类的吗？是的，那种能量很重要。
有一项研究，实际上是在高中英语课堂上进行的，所有孩子都为他们的老师写了一篇论文。这项实验是这样的：一半的孩子得到了老师的诊断性反馈，这很棒。但对于一半的孩子来说，底部有一句话，研究人员加上的。读了那句话的孩子，一年后在英语方面取得了显著的进步。唯一的变化就是这句话。
那句话是什么？
这句话是：“我给你这个反馈是因为我相信你。”而读了这句话的孩子，一年后表现更好。
是的。所以，当我与老师分享这个时，我说：“你知道，我不是建议你在所有孩子的作品底部都写上‘我相信你’。”我说：“不，不要把它印在图章上。”但是，你的话非常重要。孩子们一直在教室里想：“我的老师怎么看我？我的老师认为我能做到吗？”所以，事实证明，对孩子们说“我知道你能做到”非常重要。而这些信息由老师们给得不够。
而且真的要相信它，相信它。
是的，就像你不能只是说出来，你必须相信它。
我有时会觉得，这是一种有趣的舞蹈，因为我是一个非常追求完美的人，我对自己极其苛刻。当学生来找我，而我清楚地看到他们离好还差得很远时，我很容易就会在心理上放弃他们。但现实是，如果你看看历史上许多伟大的人，他们曾经很糟糕。
没错。
而且，一些最伟大的人走了非线性道路，他们很长一段时间都很糟糕，直到晚年。所以，总是相信这个人可以变得伟大。
没错。
你必须传达这一点，再加上他们必须努力工作。就是这样。
是的。
是的。
你住在硅谷，那里充满了辍学学生，或者有特殊需求但没有成功的人。很有趣的是，他们后来以富有创造力的方式做了令人惊叹的工作。我的意思是，我认为我们的学校系统是为了重视那些能够记住并重现老师所展示的内容的记忆者而建立的，并排斥那些富有创造力的、深思熟虑的、通常是思维缓慢的人。他们思考缓慢而深刻，他们很早就认为自己无法在数学或其他科目上做得很好。所以，是的，我认为其中许多人是那些继续做惊人事情的人。
有一个叫埃里克·温斯坦（Eric Weinstein）的人，我知道很多数学家都这样。他谈了很多关于非标准学习方式的事情。我的意思是，许多伟大的数学家，许多伟大的物理学家都是这样。他觉得他很快就获得了哈佛大学的博士学位，并迅速成为这个体系的“局外人”。特别是早期教育体系并没有帮助他们。教育系统是否有支持这类人的方式？是这种多维度的学习，你错过了吗？
绝对。我的意思是，我认为我们的教育系统仍然使用几百年前的教室方法。教科书在产生这种非常乏味的数学方面负有很大责任。但是，是的，如果你打开这个学科，让人们从不同的角度看待和解决它，并重视这些不同的方式。我非常欣赏一位名叫玛丽安·米兹·卡尼（Maryam Mirzakhani）的数学家。你听说过她吗？她获得了菲尔兹奖。她是伊朗人，是世界上第一个获得菲尔兹奖的女性。她 40 岁时去世，在斯坦福大学。但她的工作完全是视觉的。她谈到她的女儿认为她是一位艺术家，因为她一直在可视化。我参加了她在斯坦福大学数学系的一名学生的博士答辩，并被要求担任主席。答辩很有趣，因为这位年轻女子花了大约两个小时分享她的工作，所有这些都是视觉的。事实上，我认为我根本没看到任何数字。太棒了。我记得那天我想，哇，我本可以带她 13 岁的孩子来参加这个博士答辩，他们不会认为这是数学。但当玛丽安·米兹·卡尼获得菲尔兹奖时，所有其他数学家都说她的工作连接了所有这些以前未连接的数学领域。但当她分享她还在学校时，大约 13 岁时，她被告知她不能做数学。她被她的老师这样说的。
这是伊朗吗？
是的。
所以我喜欢这样，你知道，被告知你不能擅长数学，然后继续赢得菲尔兹奖，这很酷。我一生中很多人都告诉我我不能做某事。我绝对是非标准的。但这一切只需要，这就是为什么人们谈论改变一切的那个老师。
没错。
没错。
这就是它的力量。所以，这应该能激励老师们。我认为，作为一个单个人，考虑到教育系统，考虑到你的激励措施，你有能力真正改变生活。20 年后，这位菲尔兹奖得主会走过来感谢你，说你为我做了这件事。
绝对。
是的。
我与老师们分享这一点，即使在这个他们必须为学区和教科书做的糟糕的体系中，一位老师也可以永远改变孩子们对数学或其他科目的关系。
父母在这幅画中扮演什么角色？
让我们来谈谈另一个困难的话题。
是的，这是一个困难的话题。
一项研究发现，父母的数学焦虑程度预测了他们孩子在学校的成就，但前提是他们帮助了孩子的家庭作业。
太搞笑了。
是的。但这里有一些有趣的启示。我的意思是，你可以看到它是如何运作的。如果你有数学焦虑，并且你在帮助你的孩子做家庭作业，你可能在传达这样的信息：“我在学校在这方面很糟糕。”而这就是它如何传递给孩子们的。所以，一个启示是，如果你与数学的关系非常糟糕，你讨厌数学，你有数学焦虑，就不要和你的孩子一起做数学。
但是，我们在我们的网站上有一个给父母的关于如何与孩子互动数学的小指南。那是 youcubed.org。
是的，那是 youcubed.org。
所以，我给父母做讲座时，对父母说的一件事是，即使你讨厌数学，你也必须对你的孩子假装。你应该总是对做数学感到无限乐观和快乐。
我一直对这个很好奇。所以，我，你知道，我希望有一天能有孩子。我现在还没有孩子。父母是否接受他们自己数学很糟糕，然后试图让他们的孩子比他们做得更好？这对很多父母来说是否是一件困难的事情？
是的，很难。这几乎是一种自尊心的问题。我从来没有擅长过这个，我可能应该擅长。是的，我的意思是，对我来说，你应该庆祝这一点。但我知道很多人对此感到挣扎。就像体育教练一样，让运动员变得比自己更好，这可能对自尊心来说很难。
所以，你是否也体验到父母有同样的情况？
我认为，我没有经历过父母担心他们的孩子会比他们做得更好。我经历过父母与数学的关系非常糟糕，而且，你知道，不想帮忙，不知道如何帮忙。说诸如“另一项研究表明，当母亲对女儿说‘我在学校数学很差’时，她们女儿的成就就会下降。”
所以，我们知道孩子们会接收到这些信息。这就是为什么我说你应该假装。而且，我也知道很多人与数学的关系都很糟糕，即使是成功的成年人。就像我教的斯坦福大学的本科生，他们几乎总是在数学上做得很好，但他们来斯坦福大学时认为数学是一套需要记忆的方法。所以，许多父母也相信有一种需要记忆然后重复的方法。所以，直到人们真正体验到我所认为的“另一种数学”，直到他们真正看到它是一门截然不同的学科，他们才能改变他们的孩子以不同的方式看待它。
对于老师来说，如果我们想系统化它，老师们有什么可以做得更有效吗？你提到了教科书。那么，在这个古老的传统教学方式之上，你还能增加什么来改进这个过程？
我认为有一种教学数学的方式可以改变孩子们和老师的一切。所以，我是加州新数学框架的五位作者之一。它将于明年发布。我们在这个数学框架中建议人们以这种方式教学。它被称为“教授大思想”。
目前，人们有已经写好的标准，然后教科书作者根据这些标准制定了不太好的问题。如果你看看这些标准，我这里有一些写好的。仅仅阅读标准就会让数学看起来非常枯燥乏味。
你能举几个例子吗？
这是一个有趣的例子。三年级有三个关于单位正方形的不同标准。
所以，这是其中一个：“边长为一单位的正方形，称为单位正方形，其面积为一平方单位，可用于测量面积。”这就是你期望学到的东西。这是一个标准。教科书作者说：“哦，我要做一个关于这个的问题。”他们将标准转化为狭窄的问题，然后你通过实现这些标准来衡量成功。
所以，标准本身，我认为数学，很多人认为数学是关于一些大思想以及它们之间的重要联系。所以，你可以把它想象成一个思想和连接的网络图。而标准所做的就是把这个美丽的地图切成很多小块，然后把这些小块送到学校。所以，老师们看不到思想之间的联系，孩子们也看不到。
所以，总之，这是在说，我们在这个新倡议中所做的是，我们将数学设定为一系列大思想和它们之间的联系。所以，这是三年级。所以，而不是有 60 个标准，我们说，你可以让这些不同的标准相互关联。
而且，顺便说一句，对于只是听的人来说，我们正在研究数学中的少量“大概念”，例如正方形、瓷砖、测量、分数、形状和时间，以及它们是如何相互关联的。
所以，目标是，例如，这是三年级。所以，我们为加州制定了整个 K-10 数学，作为一系列大思想和联系。所以，我们知道，如果老师们说：“好的，我这个年级的重点是测量。”而不是阅读五个涉及测量的程序性陈述，他们会想：“测量是一个大思想。我可以使用什么丰富、深入的活动来教孩子们测量？”而当孩子们进行这些丰富、深入的活动时，可能会持续几天，结果是很多数学都会融入其中。所以，我们建议，让我们不要根据所有这些多重陈述和大量简短的问题来教授数学。相反，让我们通过思考什么是大思想，以及哪些是教授这些大思想的丰富、深入的活动来教授数学。
这就是如何教学和最大化学习。那么，从学区层面来看，如何衡量你的表现呢？你知道，成绩和考试之类的。你把它们扔掉吗？还是你不喜欢成绩和考试？
我自己认为，如果成绩是在课程结束时使用的，那么成绩是可以的。所以，在我数学课的最后，我可能会得到一个成绩，因为成绩是用来衡量总结性成就的。但我们在美国数学课堂上遇到的问题是，人们一直在使用成绩，每周或每天。我自己的孩子上高中时，技术并没有帮助。他们上高中时，他们知道他们做的一切都被评分了。他们不仅做的一切都被评分了，而且他们可以在线看到成绩簿，它会改变他们进入的每一堂课。所以，这是我所认为的“表现文化”的终极体现。你就是为了表现，有人在衡量你，你看到你的分数。
所以，我认为这不利于深入学习。是的，在年底可以有一个成绩。但在一年中，你可以用更好的方式来评估孩子。例如，老师们可以给孩子们一个评分标准，概述他们在某个单元或几周内学习的内容。这样，孩子们就可以看到他们所处的旅程。这就是我们在数学上所做的。有时他们会自我评估这些单元。然后老师们会展示孩子们可以用评分标准做什么，并写下笔记，比如：“在接下来的几周里，你可能想学习做这个。”
所以，而不是让孩子们仅仅认为“我是一个 A 学生或 B 学生”，或者“我有一个字母附着在我身上”，他们实际上是在数学上看到什么重要，并且他们参与了这个过程，了解他们在数学上的位置。到年底，当然可以有一个成绩。但在一年的过程中，他们会得到这些更有信息量的衡量标准。
我确实认为这可能更适合大学，但也许不是。我上过的一些最好的课程是当我得到一个特殊的，就像，教授显然看到了我对某件事的某个方面很感兴趣，然后，我脑子里有几个，其中一个特别是我。他说，他有点挑战我。这超出了成绩和所有这些东西。基本上，这是一种反向心理学。我不认为这可以做到。所以我把我所有的精力都投入到做这件事上。这恰恰发生在一门人工智能课上。但我认为，就像，特殊待遇，就是抓住那些在某个特定方面特别出色的学生，你看到他们眼中闪烁着光芒。我经常想，也许老师会觉得你已经成功了。但他们实际上是在向你发出信号，你真的可以让他们走上正轨。
我不知道，这是否对老师来说要求太高了？我认为要关注所有这些，因为这真的很难。但我只是想起了我生命中教育方面最重要的人，他们就是那些真正激励了我，不仅仅是他们的超凡魅力，他们也给了我一点点推动。他们给了我一点点推动。这需要关注班级里所谓的“优秀”学生。
没错。
是的。
我认为重要的是，老师们要有这样的观点：在他们给出活动之前，他们不知道谁会在某件事上表现出色。
没错。
在我们举办的营地课程中，有时学生会比其他学生提前完成。我们会对他们说：“你能写一个像这样的问题，但不同吗？”哦，随着时间的推移，我们鼓励他们进一步扩展。我记得我们做了一个活动，孩子们在正方形的边界上工作，以及这个边界在不同尺寸的情况下会有多大。其中一个男孩在课后走过来，说：“我一直在想，你怎么用五边形来做这个？”我说：“太棒了。五边形看起来怎么样？去吧，找出答案，看看你能不能发现。”我不知道他会过来这么说。我脑子里没有想过“这是那个能完成这个扩展任务的孩子”。但你仍然可以作为老师这样做。当孩子们对某事感到兴奋或做得很好时，让他们扩展它，让他们做得更好。这很棒。
然后你也可以，就像，老师和教练一样。你可以用不同的方式对不同的学生说。对我来说，正确的事情是，几乎要说，“我认为你做不到。这太难了。”这就是我需要听到的。这就像，“不，你……”有一种即时的推动力。但对有些人来说，如果他们稍微……这都与成长经历有关，与你的基因有关。他们可能会更……这可能会让他们崩溃。
这可能会让他们崩溃。所以，你必须对那也很敏感。我的意思是，教学真的很难。真的很难，就是因为这个原因。
那么，在最初的几天里，学习数学的最佳方式是什么？你只是想抓住他们。
我实际上做了一些事情。我们网站上有一个我喜欢的视频，我做这个。当我第一次见到学生时，我就是这么做的。我给他们看一张照片。这是我给他们看的照片。这是一张有七个点的照片，就像这样。我只给他们看几秒钟，然后对他们说：“我想让你告诉我这里有多少个点，但我不需要你们数。我会把它们分组。”我给他们看，然后我把它拿走，甚至在他们有足够时间数之前。然后我问他们：“那么，你是怎么看到的？”我走遍整个房间。令人惊讶的是，有大约 18 种不同的方式看到这七个点。所以我问人们：“告诉我你是怎么分组的。”有些人看到它就像一个外面的洞，中间有一个点。有些人看到像条纹。有些人看到段。我把它们都收集起来，放在黑板上。最后我说：“看看这个。我们班有 30 个孩子，我们以 18 种不同的方式看到了这七个点。这实际上有一个数学术语，叫做‘分组’。”
分组。
是的，我喜欢它。它很酷。
所以，事实证明，你分组的能力预测了你在数学上的表现。
这是天赋，还是可以开发的？
我认为你不是天生就会分组。但我认为有些孩子已经发展了这种能力，如果你喜欢的话，你可以学习它。所以，对我来说，这是我们对数学的错误认识的一部分。我们认为，要判断一个孩子是否擅长数学，我们会给他们一个关于倍数的快速测试。但实际上，看看孩子们如何分组点，可能是评估他们数学表现的更重要的方法。
总之，我跑题了。我开始和孩子们一起做的是，我向他们展示，“我将给你们数学问题。我将重视你们看待它们的不同方式。”结果是，你可以用这种方式提问，问人们如何分组点，无论是对幼儿还是研究生。它对他们所有人都很有吸引力。
你谈到了你的书《无限》（Limitless）中的创造力和灵活性。它们的作用是什么？听起来这里面有一些分组的东西。
是的，我喜欢这个词。那么，你认为创造力和灵活性在数学学习中的作用是什么？
我认为我们现在知道的是，我们在这个 21 世纪的世界里需要的是一个灵活的头脑。学校不应该真正教授孩子特定的方法，而是教授他们以灵活性来解决问题。创造性思维非常重要。所以，人们不认为数学和创造力这两个词会联系在一起。但我喜欢数学的是它不同的创造性视角。所以，帮助我们的孩子。我喜欢一本由物理学家写的书，你可能知道这本书，《弹性》（Elastic）。你可能知道它。它讲的是我们想要有弹性的头脑，同样的事情，灵活的、有创造力的头脑。学校在发展这种头脑方面做得很少。它们在发展计算机现在为我们做的头脑方面做得很多：记忆、记忆、执行程序，很多我们在学校里花了很多时间做的事情。当孩子们离开学校时，计算机将比他们做得更好。但那种创造性的、灵活的思维，我们对计算机能够从事这种思维几乎是零基础。也许我们稍微高于零基础，但人类大脑非常适合那种创造性的、灵活的思维。那才是人类最擅长的。所以我希望学校的平衡能够转变。也许你仍然需要做一些程序性的思考，但应该有更多的创造性、灵活的思考。
那么，其他人在这个画面中的作用是什么？所以，协作，对吧？学习，所以一起头脑风暴。所以，创造力，当它从多个人的集体智慧中涌现出来时。
非常重要。
是的。
而且，我们也知道，这也有助于发展你的大脑，社交思维。我喜欢数学协作，人们在彼此的想法上建立，并想出惊人的东西。我最近在斯坦福大学教了 100 名本科生微积分。我们教他们协作。这些学生来到斯坦福大学，他们中的大多数人都反对数学协作。这是在疫情之前，面对面。那是 2019 年。
你说是反对。
是的。所以，这真的很有趣。他们只把数学作为个人经历，以一种竞争性的个人方式。如果他们有过小组合作的经历，那也是一次糟糕的经历，比如他们可能做了所有的事情，而其他人没有做多少。所以，他们反对协作，他们认为数学中没有它的作用。我们教他们协作，这很辛苦。因为除了他们反对协作之外，他们还带着很多社交比较思维。我的意思是，我在这间房间里和其他斯坦福大学的本科生在一起，他们比我好。所以，当我们让他们一起解决一个数学问题时，第一个问题有点一团糟，因为他们都在想：“他们比我好，他们比我快，他们想出了我没想到的东西。”所以，我们教他们放下这种想法，好好合作。我们决定在教学结束时做一个前后测试。这只持续了四周。但我们知道，我们不想给他们一个有时限的个人工作测试。所以，我们给他们一个应用题，让他们在开始时一起做。我们给他们每人一支不同颜色的笔，让他们一起做这项活动，并继续使用那支笔。然后我们有了所有这些学生的作品。我们看到的是，他们在纸的独立部分。所以，这个小小的红色笔部分和绿色笔部分。他们做得并不好，即使这是一个中学生或高中生可以解决的问题。但这是一个解决问题的类型的问题。然后我们在年底给了他们同样的题目，给了他们同样的颜色。实际上，他们学会了协作。而且，第二次合作时，他们不仅在合作，而且这提高了他们的成绩。那些合作的人在问题上做得更好。
合作很重要。有人的存在。
这些本科生感到非常震惊，他们用很可爱的方式谈论了这一点：“我学会了重视其他人对一个问题的思考，我学会了重视其他人从不同的角度看待它。”这对他们来说是一次很大的经历。他们出来时想：“你知道，我可以和别人一起做数学。人们可以从不同的角度看待它。我们可以建立在彼此的思维方式之上。”
我有机会，我不知道你是否认识丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）。我有机会与他互动。就像，第一个，因为他有几个，但一个著名的合作是他一生中与特沃斯基（Tversky）的合作。就像，你知道，他以前没见过我，亲自。但就是他问问题的数量，就是那种好奇心。所以，我认为合作本身就是一种技能。我记得我和他的经历是：“好吧，我明白了你为什么如此擅长合作，因为他非常擅长倾听，并且对别人如何看待世界、如何看待世界有着真正的好奇心。”然后，在一起，他把我拉了进来。在这种情况下，他不知道太多关于自动驾驶汽车的事情。但他一直在问所有问题。然后，大约 10 分钟后，我们在一起解决自动驾驶问题。而且，那真的令人满足，那真的丰富。但它也让我意识到，这是一种技能，因为你必须放下你的自尊心。
是的。
放下你对世界的看法。并试图了解别人是如何看待的。
是的。
另一件事是你必须放下的是，这种社会……
比较思维，就像你坐在那里想，“哇，那真是个绝妙的主意，他比我好多了。”这真的会阻止你认识到那个想法的价值。所以，斯坦福的学生们之间有很多这样的想法，当他们来的时候，是的，但试图帮助他们放下。我发现的一件事是，因为我稍微公开露面，赞美他人是多么有益，而且从长远来看，它会带来多大的回报。是的，所以这种孤立的思维，就像我想向我周围的一小群人证明我很聪明，而我这样做的方式是，基本上不赞美其他人的聪明才智。这实际上可能在短期内看起来是个好策略，但长期来看却不是。我认为，如果你在学生层面，然后在职业生涯的每个阶段都这样做，我认为这最终是我同意你的观点，我认为这是思考这件事的好方法。你提到了教科书，你说，你说，也许教科书不是教数学的完美方式，但我喜欢教科书，它们就像漂亮的图片，闻起来很香，而且它们打开了。我的意思是，我谈论的是物理方面的，我的一些最美好的经历就是因为它们做得很好，当我们谈论基础的，比如高中微积分、生物学、化学时，那些是不可思议的。就像维基百科，但有颜色和漂亮的小图。如果教科书上有漂亮的彩色图片，你一定见过一些好的教科书。是的，我的意思是，我记得那是一本非常非常标准的，比如 AP AP 微积分、AP 生物学、AP 化学。我感觉那些是我生命中最快乐的学习时光，因为老实说，高中很容易。当时感觉很难，但你基本上是在进行一次科学的旋风之旅。是的，是的，不用选择。你学文学，你学莎士比亚，你的微积分、生物学、物理学、化学，还有什么？解剖学、生理学、计算机科学，没有人告诉你该做什么，你只是在做所有这些事情。这是好事，你说得对。但我记得教科书不是，我的意思是，也许我是在浪漫化过去，但我记得它们不是，它们相当不错。但是，你认为它们在当今这个更现代的数字时代扮演着什么角色？什么样的材料最适合进行这些教育？我很好奇你对教科书有如此好的体验。我的意思是，我记得我学习时喜欢我的一些教科书，我喜欢书，我喜欢拿起书翻阅它们，但很多数学教科书对孩子们来说不是好的体验。我们在我们的网站上有一个视频，是来我们营地的孩子们，其中一个学生说，在数学课上，你必须遵循教科书，教科书就像圣经，你必须遵循它。每天它都略有不同，比如星期一你做 2.3.2，星期二你做 2.3.3，星期三你永远不会偏离。这就像每天一样，这对很多孩子来说并不鼓舞人心。所以，他们喜欢我们营地的一件事是，根本没有书，即使我们给了他们纸，他们仍然感觉更自由，因为他们不仅仅是在做练习。所以，教科书允许你做的是，就像你说的，他们可能不喜欢那个 2.3.2。如果你觉得你在进步，就像小小的庆祝一样，因为你解决了问题，它看起来很难，你不知道怎么做，然后你尝试再尝试，最终成功了，你就迈出了小小的一步，是的，进一步的进步，然后你到了章节的结尾，你得到了一个结局，你就像，是的，好吧，我明白了，然后你继续下一章。我明白了。我的意思是，我认为教科书里可以有好的体验，但真正重要的是教科书里有什么，你在里面做什么。我的意思是，我在英国长大，在英国我们学习数学，我们没有代数和几何的分离，我认为除了美国，其他国家都没有。但我看着代数课上的孩子们，他们一年都在学代数，我想我这样做会很无聊。顺便说一下，我们可以快速分析一下你的成长经历吗？为什么英国人称数学为 maths？为什么它是复数？是因为你刚才说的，它是一堆子学科吗？是的，我的意思是，数学当然应该是地图，你看到的不同的数学，无论是你认为像几何和概率这样的主题，还是我将数学视为多维的，有很多方法。这就是为什么它被称为数学，然后被缩短为 maths，然后出于某种原因，在美国它就变成了 math。但对我来说，math 感觉更单一。这里有一个说法是“do the math”，基本上意思是做一个计算，这就是人们说的“do the math”。所以我不喜欢这个说法，因为数学可以是任何东西，不一定非得是计算。所以，是的，我喜欢 maths，因为它有更广泛的感觉。是的，我喜欢 maths 强调多维性，是的，各种不同的学科，不同的方法。是的，好的，那么，除了教科书之外，你还看到了什么被广泛使用？你提到了塞巴斯蒂安·特伦和慕课在线教育。你认为这有效吗？在线有优秀的老师，显然可以将这些老师扩展到更多人，这是一件很棒的事情。我自己也有不少在线课程。我与塞巴斯蒂安合作时，他发布了他的第一个慕课，我以为我也可以做一个数学教育的慕课，我不知道是否会有人参加。我记得第一个夏天发布了它，这是一个免费的在线课程，第一个夏天有 30,000 名数学老师参加了，他们互相交流，分享它，它就像火起来了一样。事实上，正是那个慕课促使我与联合创始人凯西·威廉姆斯一起创建了 you cubed，因为人们参加了慕课，然后他们说，“好了，现在呢？我完成了，接下来我还能做什么？”所以我们创建了我们的网站。所以，是的，我认为在线教育可以很棒。我认为很多慕课的教学法并不好，它们只是一个说话的头，你实际上可以以更积极的方式吸引人们，即使是在线学习。所以，我从我在 Udacity 工作时学到的 Udacity 原则中得知，永远不要讲超过五分钟，然后要求人们做一些事情。所以，这就是我在线课程的教学法。有一点是介绍一些东西，然后人们做一些事情，还有更多，因为我认为如果你有一个半小时的视频，你就会关掉，开始做其他事情。所以 Udacity 的做法是，比如五到十分钟的教学，然后可能有一些视觉的东西，然后有一个测验，然后你回答一个问题。是的，是的，这非常有效。你提到了 YouTube，那么它的使命是什么？目标是什么？你提到了它是如何开始的，但现在是什么？你的梦想是什么？或者人们应该去那里看看什么样的东西？我猜我们五年前就创建了 you cubed，现在我们已经有超过 5200 万的访问者，我对此非常满意。我们的目标是与教师、学生、家长分享优秀的数学教学理念，并帮助我们有一个子目标，那就是消除数学焦虑，这对我们很重要，同时也将数学作为一门美丽、富有创造性的学科来分享。这真的很棒，我们的网站上有课程。但我想我们需要这个的原因之一是，学术界有很多关于如何教好数学的知识，大量的研究和期刊，以及很多写好的东西，但老师们不读。他们无法获得，它们通常被付费墙挡住，它们写得非常难以理解，所以人们不想读或理解它们。所以我认为这是一个大问题，你有一个整个行业的人在研究如何教好，却没有与教学人员分享。所以，这就是我们创建 you cubed 的原因。我们没有只发布文章说“这里有一些关于如何教好书的东西”，而是将研究成果转化为教师可以使用的东西，比如给孩子看的视频课程，给家长的建议，网站上还有各种各样的东西。这太棒了，我们受到了“编程周”的启发，让老师们一周专注于编程。我们有一个叫做“鼓舞人心的数学周”的活动，我们说，试一周，给我们一周时间，试试看会发生什么。所以它已经被下载了数百万次，老师们每年都用它，他们用它开始学年。他们告诉我们的是，太棒了，孩子们都亮起来了，他们很兴奋，他们很喜欢。然后这一周结束了，我打开教科书，灯熄灭了，他们不感兴趣了。但是，获得最初的灵感仍然是强大的。我的意思是，我希望，我的愿望是，我们能把它延长一整年。我们在斯坦福是一个小团队，我们正努力跟上网站上的精彩内容。我们没有能力为每个年级、每天制作这些富有创意的视觉数学任务。但我很想这样做。这有多难？我的意思是，想出这些重要主题的视觉形式，以一种你知道的方式来教学？我的意思是，我们可以做到。实际上，我们从“鼓舞人心的数学周”开始，我们制作了 K-8 数学书籍，其中包含了这些大思想、丰富的活动、视觉效果。我们刚刚完成了最后一本，我们已经做了五年了，这很累人，我们刚刚完成。现在有一整套 K-8 的书籍，它们是这样组织的：这些是大思想，这里是丰富的、深入的活动。它们不是你一年到头都可以做的。所以有些老师用它们作为他们枯燥教科书的补充，有些人说，“好吧，今年就是这本书告诉我们的，然后我们将用这些大型活动来补充。”所以它们正在被使用，老师们也很喜欢它们，也很高兴。我只是想要更多。我想，我希望 you cubed 能够实现我的一个个人目标，那就是让每个数学老师都知道 you cubed。目前，很多来找我们的老师都很高兴找到了它，但还有很多老师不知道它的存在。我希望这有帮助。是的，从学生的角度来看，不是在教室里，而是在家学习，你知道，有什么建议可以给他们，如何最好地学习数学？那么学生在课堂外的作用是什么？我认为我们知道的一件事是，很多人在复习材料时，无论是数学还是其他任何东西，都不是以最好的方式进行的。我认为很多人遇到的问题是，他们会阅读老师的解释或一种数学方法，然后觉得有道理，他们就认为，“哦，是的，我明白了”，然后继续前进。但直到你开始尝试做一些事情，做一道题，你才会真正意识到你并没有真正理解它，它只是看起来有道理。所以我想说，这也是神经科学家们谈论的事情，不断给自己提问是学习的好方法，而不是看大量的材料。这几乎就像给自己做大量的测试是真正深入理解事物并知道自己不懂什么的好方法。那么问题会以你正在复习的材料作为这个问题的答案吗？还是几乎超出了它？就像你提到的多边形，从正方形到它几乎就像我想知道更大的图景是什么？我一直在问，比如它是如何扩展的，等等。是的，那会很棒，而且很相似。我的意思是，我经常被问到的一个问题是关于家庭作业。家庭作业对孩子们来说是件好事，我给出的建议之一是不要让孩子们只做大量的家庭作业，而是让他们反思他们学到的东西，比如你今天学到的最重要的思想是什么？你觉得困难的是什么？你挣扎的是什么？有什么令人兴奋的事情吗？然后孩子们回家，他们必须以一种更深入的方式反思。很多时候，我不知道你是否有过这种经历，作为一个数学学生，很多人都有，孩子们在做数学题，他们成功了，他们做对了，但他们甚至不知道这些题是关于什么的。而且很多孩子就这样度过了多年的数学学习，做了大量的题目，但实际上并不知道这个主题是什么，或者它是关于什么的，它为什么重要。所以让学生回顾并思考一天结束时，这节数学课最重要的思想是什么？它为什么重要？我在现实生活中在哪里能找到它？这些都是孩子们应该思考的好问题。也许每个人都应该思考。我认为我们大多数人一生都在问，就像更大的问题，几乎就像，你知道，孩子们小时候问的那种“为什么”的层层问题。我们需要继续这样做。我们做，你知道，无论你称之为第一原理思考，有些人称之为这样，就像我们为什么这样做。所以一件好事是这样做，因为通常有一个很好的答案，就像我们之所以这样做是因为它对这个原因有效。但如果你想做一些全新的事情，你会说，“嗯，我们一直这样做是因为历史原因，但实际上这不是最好的方法。可能有其他方法。”这就是发明的发生方式，对吧？然后你就会得到，你知道，这在生活的各个方面都非常有用，比如选择你的职业，选择你的，我不知道，你住的地方，你的浪漫伴侣，一切，一切。我认为这可能始于数学课。如果我们开始这样做就好了。我想，我想，我可能在我的大部分教育中都没有做过太多这样的事情，问“为什么”，除了后来，在研究生院，当你研究它们的时候，当你第一次被要求做一些新颖的事情，使用这个或解决一个问题，真正地在课堂外，他们必须发表。这是你第一次想到，“等等，为什么这些东西有趣，有用，哪些是有用的？”是的，我想，如果早点这样做就好了，发明探索。是的，是的，我的意思是，我认为关于孩子们在学校里问的问题的一个令人悲伤的研究数据是，孩子们在学校里问的问题呈线性下降。在早期，你无法阻止孩子们问这些问题，但他们学会了不再问。我认为你曾经说过你早期教育中的一个记忆，你问了一个问题，或者也许那是一个你给出的例子，但它被压制了。哦，是的，你听了我说的。我不知道在哪里，但它确实抓住了我。我记得很清楚。你能告诉我那个记忆吗？是的，很有趣，我记得，它一定在那一刻对我产生了很大的影响，因为你知道有很多学校的时间你根本不记得，但总之，我记得我坐在哪里，一切。我当时在上高中数学课，虽然在英国他们不这么称呼。老师说，这是这位老师的第一堂课，他说，“如果你有任何问题，就问吧。”所以有一次我举起了手，我说，“我有一个问题。”他说，“那是你的问题。”[笑声]然后我说，“哦，好吧，我不再问问题了。”以一种你不想的方式，你从中学到的教训是，我不会问。是的，这是最后一个问题，我不会再问了。是的，他是我记得的数学系主任。所以也许因为这次经历，我们鼓励孩子们提问，我们重视他们提问，我们把它们贴在墙上庆祝。而且很有趣，我希望有一个反馈信号，因为他可能，从积极的角度来看，他可能没有意识到他当时造成的负面影响，对吧？如果他知道的话。你看，这可能是在你更成熟的时候，在研究生院，我有一位名叫 Ali Shakafande 的计算机科学教授，他鼓励提问，然后他会告诉大家他们的提问有多么愚蠢。但它是，我猜，如果你带着爱和尊重说出来，那么它更像是一种友好幽默的鼓励，鼓励更多的问题。是的，这是门艺术，对吧？你说得对。而且非常困难，你必须掌握好时机，因为那种幽默可能更适合在研究生院，而不是在早期教育中，对吧？嗯，而且我认为孩子们或年轻人能够分辨出某人是开玩笑还是有，我的意思是，这就是为什么教学如此困难，即使你的语气也会产生影响。这太令人难过了，因为对于那个特定的人，老师，你可能只是度过了糟糕的一天，一句话就会产生深远的负面影响。我知道，可悲的是，有很多数学老师有那种方法，而且我认为他们正在遭受他们认为有些人是数学人才，有些人不是数学人才的困扰，这在他们的教学中表现出来。但另一方面，一个积极的陈述，让他们继续下去，没错，这就是另一面。我自己也有一位老师，她对我来说非常棒，她让我留在了这个学科，她是？她叫马歇尔夫人。[笑声]她是我的 A 级数学老师。我的意思是，在英国，你学习很多科目，你 16 岁，然后你选择三四个科目。所以我选择了数学，你学习更高层次的课程，可能相当于美国的硕士学位，因为你更专业。但无论如何，她是我的老师，在我整个数学生涯中，她第一次给我们布置问题，让我们互相讨论。所以，我 17 岁，和朋友们谈论如何解决数学问题，这就是她所做的改变。但对我来说，这是深刻的，因为，就像那些微积分学生一样，我开始听到别人的思维方式，看到它。我们一起讨论，得出解决方案，我当时想，就是这样，这改变了我对数学的看法。我知道，所以这不是某种与她个人的互动，更多的是她，她是那个协作体验的催化剂。我的意思是，是的，老师们可以以多种方式激励孩子们，有时是个人信息，但也可以是你的教学方法，改变孩子们对数学的看法。你知道，Cal Newport，他写了一本名为《深度工作》的书，他是一位数学家，理论计算机科学家，他谈到了那种所需的专注力。做那种工作需要专注力。你有什么可以评论的吗？你知道，我们生活在一个充满干扰的世界里，这似乎是学习，尤其是像数学这样需要思考的学科，变得困难的一个因素。从学生的角度，从老师的角度，有什么可以鼓励深度工作的吗？我认为给孩子们真正鼓舞人心的深度问题，我们网站上也有一些，对他们来说是非常重要的经历，即使他们只是偶尔做。但他们真正意识到，我经常给老师们出题，我说，“好吧，一小时后我来检查你们。”他们说，“一小时？”他们觉得这太不可思议了，然后他们开始做这个题目，一小时后我说，“好吧，我们进展如何？一小时过去了，怎么可能？”所以每个人都需要这些丰富的、深入的问题。大多数孩子在他们多年的数学经历中，从未以那种深入的方式解决过问题。所以，我在斯坦福教的本科课程，我们每节课都做这些深度问题，学生们会说，“好吧，我再也不想回到那种只追求快速答案的数学关系了。”我就是不想回去。所以，我们都可以，所有老师都可以在他们的课堂上融入这些问题。也许他们不是每天都做，但他们至少能让孩子们体验到缓慢而深入地工作，并深入到更深层次，而不是被告知他们有五分钟时间完成 20 个问题。嗯，其中一部分也是坐在那里保持专注很长一段时间的练习，这并不常见。我的意思是，这是一项技能。这是一项技能，如果你不练习，即使是坐十分钟并保持深度专注也可能非常具有挑战性。如果你真的在思考一个问题，然后重新思考，我认为认识到这是一项你可以像肌肉一样锻炼的技能非常重要。你可以从五分钟开始，到十分钟，到三十分钟，到一个小时。而且要成功，我认为在某些学科，比如数学，你想发展这项技能，否则你就无法获得解决这些问题的真正有益的体验。绝对。有一项针对在校儿童的调查，他们被问到在放弃并决定无法解决一个数学问题之前，他们会花多长时间。结果是，平均而言，孩子们是两分钟。所以这是一个坏迹象，但这是一个有力的迹象，表明他们需要学会不要这么快放弃。是的，我们私下提到了，因为我们谈论了这么多可视化，Grant Sanderson，3Blue1Brown，他用你一直在谈论的那种思维方式激励了数百万人。是的，我喜欢他的作品，将数学概念转化为视觉，比如视觉表示它们，以帮助你阐明概念的方式。你认为他的作用是什么？他主要使用程序化可视化，就是我提到的那种，通过编写计算机程序创建动画。比如，你认为这种方法的可扩展性如何？总的来说，你怎么看待他的印象？我认为这太棒了。我应该和他一起工作。我可以分享一些我们的视觉效果，他可以以那种惊人的方式制作它们。所以，他的故事讲述的一部分，他的故事讲述的一部分是，他创造了视觉效果，然后用这些视觉效果编织一个故事，这个故事就像，也有戏剧性。你从一个小例子开始，然后突然出现了一个惊喜。是的，是的，它真的，我的意思是，它让你爱上了那个概念。是的，他确实谈到了这一点。他的感觉是，他认为自己不是在教授核心课程，你知道，他认为自己是一个鼓舞人心的人物，因为我认为将所有课程都转化为这些元素太难了，而且可能你不需要。我的意思是，如果你让人们以他分享的方式体验数学思想，那将改变他们，并将改变他们的思维方式，他们可能会继续学习其他数学思想，并使其变得美丽。他确实做到了。他创建了一个名为 Manim 的库，并将其开源了。人们应该看看。它用 Python 编写，并使用了一些相同的元素，比如它允许你制作方程动画，制作像人物这样的小形状，你知道，他的视频风格非常独特。结果是，即使从软件工程师的角度来看，他发布的代码也不是超级文档化或完美的，但他发布了它，现在有所有其他人都在教育。对我个人来说，最酷的事情是看到人们，他们没有，比如数百万订阅者什么的，他们只有很少的视频观看次数，但他们创建视频的过程，他们教学的过程，似乎对他们来说是变革性的。从学生的角度来看，这是费曼的老话，学习的最好方法是教学，对吧？然后他把它发布到网上，是的，这表明了它的影响力。是的，绝对。我认为这只是给人们一个想法，你可以在数学和其他学科中做到这一点，周围肯定会有很多人能够创造更多，这很酷。是的，我绝对推荐人们学习 JavaScript 或 Python。你可以制作高中数学概念的可视化，你可以做很多种可视化。自己做这些，而且，如果你自己做，人们真的很喜欢。人们实际上喜欢数学的可视化，因为他们，我的意思是，我们内心深处有人喜欢模式，喜欢解决困难的事情，而其中的模式是出乎意料的。是的，你有没有注意到酒店总是充满图案？我刚才在酒店注意到，现在他们所有的地毯都是图案地毯，墙上也有图案。是的，所以，是的，我们人类喜欢对称和图案，对称的打破和图案。而且很有趣的是，我们没有看到数学与此有着千丝万缕的联系，但它确实如此，对吧？我的意思是，这是我喜欢学生们采取的一种视角，成为一切的模式搜寻者，在所有数学中，当然。我的意思是，你可以把所有的数学都看作是一种模式的学科，不仅仅是视觉模式，你知道，当你想到乘以五，以及你可以，你知道，如果你乘以 18 次 5，你可以把它看作是 9 次 10。这是一种在数学中总是有效的模式。你可以有一个数字，一个双倍的数字，所以，是的，我认为模式无处不在。如果孩子们认为他们的角色是看到模式并找到模式，那将非常令人兴奋。你对 MIT OpenCourseWare 和大学发布的讲座有什么看法？我认为这很好，我认为这很好。这开始了慕课，我做的慕课就是利用那个平台。所以你最终认为 Udacity 的模式比一个简单的两小时讲座更有效吗？我认为在线学习中肯定可以引入良好的教学法，我认为将事物放在网上供全世界的人们访问的想法很棒。我不认为慕课最初围绕着“教育民主化”和“使其更加平等”的兴奋是因为他们发现，参加慕课的人往往是更特权的人。所以，我认为这仍然有待发掘，仍然有更多的工作要做，以帮助在线学习触及这些原则。但绝对，我认为这是一项发明，而且我有一个针对孩子的在线课程，这是一个免费的小课程，它给他们一个主题，叫做“如何学习数学”。它将数学展示为一种视觉、创造性的学科，并分享了心态和一些大脑科学。而且，参加这个课程的孩子们在数学课上表现更好。我们用随机对照试验研究过它，给了一些初中生和其他一些初中生，他们没有参加，但由同一位老师授课，所以他们的老师是相同的。参加在线课程的孩子们在数学课上表现出 68% 的参与度更高，并在年底表现更好。所以这是一个大约六节课，每节课 15 分钟的课程，它改变了孩子们对数学的看法。所以，确实，我们可以用一些话来做到这一点，这些话并不是，你知道，对教育系统没有巨大的改变。你对年轻人有什么建议吗？我们谈论了很多数学，但在教育、职业选择、生活方面，也许是初中、高中、本科生，如何过上让他们引以为豪的生活？我认为，如果我要给人们，尤其是年轻人建议，我的建议是，总是，这听起来很老套，但总是相信自己，知道自己能够实现。因为虽然这听起来很明显，当然我们希望孩子们知道他们可以实现目标。我知道数百万孩子在学校系统里被告知他们做不到。成年人也是如此。他们认为，“哦，我在这方面做得不错，我进入了这份工作，因为那些事情我永远做不好。”所以，实际上，当他们听到“嘿，也许你可以做那些事情”时，即使是成年人也会想，“也许我可以。”他们回去，他们遇到这些知识，他们重新学习，他们改变职业，惊人的事情发生了。所以对我来说，我认为这个信息非常重要。你可以学到任何东西。科学家们试图找到一个极限，他们总是在寻找一个极限，比如你到底能学多少？你能赚多少钱的极限？他们总是无法找到它。人们可以走得越来越远。这对于那些大脑功能不全、有我们称之为特殊需求的人来说也是如此。其中一些人也继续发展并取得了惊人的成就。所以我认为，真正体验到这一点，知道这种感觉，不仅仅是说出来，而是深深地知道，你可以学到任何东西，这是我希望所有人都拥有的。这也适用于你取得一定成功的时候。在我生活中，我发现那些爱我的人，当你取得成功时，他们会继续庆祝你的成功，他们希望你继续做你成功的事情，而不是相信你还能做其他事情，大的事情，无论你的心怎么说。我最近才意识到这一点，虽然说起来有点可悲，那就是当你年轻的时候，寻求导师，寻求那些相信你的人有多么重要。这有点像你自己的责任。你不会得到这个，有时如果你去研究生院，你认为你可能会遇到一位导师，也许你根据他们感兴趣的主题选择一位导师。但现实是，你周围的人将决定你的人生轨迹。所以选择真正的人，远离那些不相信你的人。是的，有时父母会那样。他们深爱着你，但他们可能会，你知道，他们设定了，就像我们提到的数学一样，他们可能会在你信仰上设定某些限制。所以，如果你对数学感兴趣，而你的父母不那么感兴趣，那就不要听父母的。是的，如果有人告诉你你做不到，你必须从那些相信你的人那里听到。我认为你说得对。可悲的是，有多少人从父母那里得到了负面信息。在我《无限头脑》这本书中，我采访了相当多的人，他们被告知不能学数学，有时是父母，有时是老师。幸运的是，他们在生活中某个时候有了其他的想法，意识到有整个数学思维的世界向他们敞开。所以，人们与那些相信他们的人联系起来非常重要，无论找到这些人有多难。你希望教育系统，总的来说，在未来 10 年、20 年、50 年、100 年后是什么样的？你对这个未来感到乐观吗？我当然有希望。教育系统可以发生变化。近年来，变化的速度非常缓慢，但实际上我看到了变化。就像我们之前谈到的，数据科学现在是一门高中课程，而不是代数 2。这很了不起，因为这些内容是在 1892 年设定的，而且一直没有改变。所以现在我们实际上看到了高中内容的改变。我惊叹于这一切的发生，也很高兴它在发生。但教育中的变化通常非常缓慢。但当你展望未来，考虑到我们所知道的一切，以及我们能为孩子们提供的一切技术，你不得不认为，100 年后的教育将与现在完全不同。也许我们不再有学科界限，因为它们实际上没有多大意义。有趣的是，像编程这样的工具，也许它们会被深度整合，你认为呢？你会认为所有孩子都在学习编程和创造。所以，我认为，我们现在的学校系统，人们称之为工厂模式，它不是为了激发创造力而设计的。我觉得这也会改变。人们可能会回顾这些日子，认为它们很可笑。但也许在未来，孩子们会做自己的编程，他们将能够学习东西，发现东西，创造东西，即使他们在学习。也许个人学科的界限会消失。数据科学本身进入教育系统就说明了这一点，因为人们意识到它并不真正适合任何学科。那么我们该怎么办？它去哪里？谁来教它？所以它已经提出了这些问题，并质疑我们为什么要有这些不同的学科界限。所以你看到数据科学被整合到课程中了吗？是的，它正在美国各地发生。我想知道它是如何启动的？教育系统中的变化是如何发生的？是少数革命性的吗？是的，我认为是这样。看到数据科学的兴起真是一段有趣的旅程。它，在 2014 年，一些人开发了一门课程，他们认为数据科学对高中生来说是个好主意。然后，在一些孩子上了这门课，什么坏事都没发生，他们上了大学，人们开始更接受它。然后，这是加州的一个重要变化，加州大学系统沟通了，他们去年给 50,000 所高中发了一封邮件，说我们现在接受数据科学，孩子们可以把它作为替代代数 2 的课程。这是一个完全合法的大学途径。所以这给了很多正在考虑是否可以教授它的学校一个很大的绿灯。所以我认为它发生在小空间里，然后扩大。所以现在它病毒式传播了。是的，在这个后期，它病毒式传播了。加州在创建课程和让孩子们学习方面处于领先地位。但我上次看的时候，有 12 个州允许数据科学作为高中课程。我认为到明年，这个数字将翻倍甚至更多。所以变化正在发生。乔，正如我所说，我认为数学是一门真正美丽的学科，你通过教育数百万人，通过激励教师以你所谈论的多维度、视觉化的方式进行教育，你正在影响数百万人的生活。我认为这太不可思议了。所以你在传播美。我很感激。所以，我非常非常感谢你今天花宝贵的时间与我交谈。谢谢你。很高兴与你交谈。感谢收听我与乔·鲍勒的对话。为了支持这个播客，请查看描述中的赞助商。现在，让我用阿尔伯特·爱因斯坦的一句话来结束：“纯粹的数学是逻辑思想的诗歌。”感谢收听，希望下次再见。