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Bueno, vamos a obtener o vamos a determinar los máximos y mínimos de una función. Así como lo estamos observando en el ejemplo dos, vamos a a determinarlo. Sí, para eso aquí tenemos un ejemplo, pero el que nosotros vamos a determinar es el siguiente. Sí.
Entonces voy a escribir la función. La función que vamos a determinar es este. Aquí lo tenemos. Va. FX es igual a 0.6. X cúbica más 2.7 x² + 0.9 x - 2.1. Aquí lo tenemos. Esta es mi función. Función.
Luego obtenemos la la primera derivada. Aquí está la primera derivada. Sí, es una función cuadrática. es una función cuadrática. Para esto, aquí lo tenemos. Es esto que tenemos aquí. Sí, aquí en este ejemplo, la primera derivada es esto. Y posteriormente la vamos a igualar a cero. Entonces vamos a igualarla a cero.
Entonces, la primera derivada la igualamos a cer. Entonces, f prima de x es igual a 0 y esto se convierte en una ecuación. Ahora no es una función, ahora es una ecuación de segundo grado. Para esto tenemos que aplicar una fórmula. ¿Cuál es la fórmula que tenemos que aplicar? Es son dos soluciones. 1,2 y es igual a - b + men b² - 4ac raíz cuadrada. Todo esto entre dos veces a. Sí.
Entonces vamos a aplicar la la fórmula esta para poder determinar la soluciones. Para eso vamos a sustituir los datos. Hemos sustituido los datos. Este es dos. Entonces, este es este es el A. Este es el B. Y este es el C. Entonces lo sustituimos y aquí tiene - b. Entonces colocamos - b. El b es -5.5 5.4 5.4 cuad - 4 veces a que es 1.8 y este me da como consigno más. Y la primera solución con signo más es igual a -0 pun 77. Esta es la primera solución. Ahora consigno menos. Con signo menos. La solución es igual a menos 2 pun 822. Esta es la segunda solución de la de la ecuación cuadrática. Antes era función, este era función. La primera derivada era función, ahora se llama ecuación. ¿Por qué? Porque es igual a cer. Y la solución de est de estas de estas dos, pues es una y dos. Tenemos dos soluciones. Sí, vamos a verla en GeoGebra. Acuérdense bien esos valores. Aquí la tenemos. Miren, esta de color verde es la función es esta, de la de color verde y la roja es la derivada. Esta es la primera raíz, aquí la tengo, que vale k. Lo voy a traer. Esta solución es de la de la ecuación cuadrática. Toda esta es la función, la primera derivada. Y aquí tengo el 0 pun lo aproxima porque el que teníamos era el que ustedes han determinado. Y el la segunda solución es J. Aquí en GeoGebra J lo traigo para acá y aquí lo tengo. Sí, menos -2.84 es la segunda solución. de de la función cuadrática. Esta es función función es toda esta toda la trayectoria y y la igualar cero tiene dos soluciones, una y dos. Okay.
Vamos a ver la simulación. Aquí viene aquí en este puntito, en este puntito que está acá, en la parte superior es un máximo, pero geométricamente. Y toda esta función aquí es creciente, creciente, creciente. Toda esta es creciente. Después llega un máximo y va decreciente, decreciente, decreciente hasta que llega un mínimo. Posteriormente es creciente. Les voy a mostrar cómo cómo es cómo es este gráfico. Observen, ya construí la recta. Ahí ahí va. es creciente, creciente, creciente. Se ve que una existe una recta que es tangente a este punto F. Aquí lo tenemos, miren. Tangente, tangente. Llega una constante, llega un máximo y posteriormente decrece. La función es decreciente, pero necesitamos demostrar que efectivamente es decreciente. Aquí llega a un mínimo y es mínimo y luego empieza la función es creciente. Lo tenemos que demostrar matemáticamente. Se los voy a mostrar la simulación. Ahí lo tenemos. Sí. Cambio de concavidad. Ahí se llama punto de inflexión. Está convexidad y concavidad. Ahí está. creciente, decreciente, el punto de inflexión pasa el mínimo y se va a creciente.
Ahora vamos a determinar en qué lugar están el máximo y el mínimo. Ya llegamos aquí en el en el ejemplo dos, pues tenemos aquí que es este las raíces o las soluciones. ¿Cuáles son nuestras soluciones? son estas que están aquí. Las tenemos aquí. Sí. Bueno, ahora aquí en el punto tres los tenemos que graficar en el plano. Voy a tratar de hacer un plano. Hm. Más más o menos. Está así. El 1 el 0.100 está acá. Aquí mire está pequeñito aquí y el otro está por acá. Entonces aquí pasa la parábola. Aquí pasa la parábola y la y la cúbica viene aquí. Así viene. Sí, luego sube. Hm. Bueno, hasta aquí estamos en este punto. Vamos a elegir tres números. Uno aquí. Vamos a elegir uno menor que este. Sí, menor que este. ¿Cuánto vale este? -2.8. 82. Después vamos a elegir un intermedio aquí. Y por último vamos a elegir uno que esté, si es posible el cero o aquí el 0.5. Vamos a elegir este est estos tres números. Vamos a ver si aquí es creciente matemáticamente y aquí si es decreciente y en este punto si es creciente. Para eso vamos a vamos a elegir dos números. Entonces, uno más chico que este y uno más pequeño que este. Vamos a ver si este vale 2.82. Vamos a elegir el tres. Entonces, aquí vamos a elegir el número tres acá. 2 - 3. Este puntito que está acá vale 2.82. Vamos a elegir este. Este le podemos colocar como el menos 0.5. Este y este que está aquí vamos a elegir un número que valga 0.5 5 y lo vamos a sustituir en la primera en la primera derivada. Procedo. Aquí está el tres. Mire, este es el tres. A ver, se los voy a mostrar. Este es el tres. Sí. Entonces, para que ustedes lo vean. O lo hago así. Este es el tres. Después vamos a elegir este que está aquí, el 0.5 - 0.5 está aquí. Y después vamos a elegir otro número. Sí, vamos a elegir otro número. El número que está aquí que había yo dicho que es el 0.5. C. Aquí son los tres números que vamos a elegir. Estos números los vamos a los vamos a este a sustituir en la función en la primera derivada. Aquí lo vamos a sustituir. Sí, en esta. Entonces vamos a quitar estos que están aquí. Ya sé que son estes. Este es el -3, el -0.5. Este que está aquí lo borramos también. El 0.5. Lo borramos. Este lo borramos. Ahora sí procedemos a hacer la operación. Sí. O lo copio en nuestro libro. Dice dice en nuestro libro. Aquí lo tenemos. Dice, "Se procede a evaluar la función derivada con estos." Estos son aquí, pero ¿cuáles son los de nosotros? Los de nosotros es el tres. El tres que está aquí. Aquí lo tenemos. Sí. Y el -0.5 que está por aquí. Y también tenemos el 0.5. Procedemos a evaluarlos. Okay. Entonces vamos a hacer este cambio. Sí. Entonces aquí tenemos el tres. Entonces lo va lo voy a evaluar aquí. f de el primero que es -3. Esto es igual en la primera derivada y esto es igual a 1.8 por -3 al cuadrado + 5.4 4 * -3 menos más, perdón, más 0.9. Esto es igual a me da como resultado 0.9. Aquí le escribimos, me da como resultado 0.9. Si este resultado del 0.9 es mayor que 0. Esto implica entonces que la función en ese lugar es creciente. Ahora voy con el otro. Bueno, ya se evaluó. El primero es creciente. El segundo número es el -0.5. más o menos se encuentra por acá. Ahorita lo marco. Y el otro 0.5. Efectivamente, acá miren, cuando nosotros movemos en -3, ahí es creciente. Aquí está el -3 creciente. A ver, déjeme ver. Es el E. Traigo el E. Miren, en tres. Este número que está acá es tres. Ahí lo tenemos. Tres. Es creciente. Miren la línea creciente. Ahora la vamos a mover a 0.5. Está aquí el 0.5. Está aquí. Vamos a ver. Ahora es el 0.5. Aquí está. Vamos a ver. 0.5 es decreciente. Decreciente. Luego lo pasamos al 0.5. Aquí está. Aquí lo tenemos. 0.5. Ya la es creciente. Es lo que nosotros habíamos dicho.
Ahora vamos a determinar vamos a determinar con la soluciones de la de la derivada. Estos puntitos que están aquí, este, este J que está aquí, que es K. Vamos a ver si efectivamente es es mínimo. Vamos a ver cuando K cuando x vale -0.8. Vamos a ver si efectivamente aquí tiene un un mínimo. Para eso las dos soluciones. La primera solución es esta, la segunda solución es esta otra. La vamos a sustituir aquí y me va a dar las coordenadas de este punto que está aquí, que es máximo. Ahora sí, yo tengo las coordenadas de este puntito que es N. El primero en el eje X es -0 -2.82 82 es este y la altura, la sobre el eje Y es este. Entonces este vale 3.38. Tenemos que encontrar este punto, el 3.38. Y aquí, aquí lo tengo otro que es el menos -0.18, que es la solución. Esta es la solución y la parte de abajo está en 2.18. Este que es son las coordenadas del mínimo y estas son est son las coordenadas del máximo. Nos vamos a la a la hoja donde debemos de hacer los cálculos. Vamos a utilizar esta esta que está aquí. Sí, vamos a utilizar esa la de la función. Entonces aquí le escribo f(x) f(x) a que es igual. Haciendo esta operación tenemos que f 0 177 este resultado es menos 2 pun 17. Este puntito se encuentra el punto, ya sea el el mínimo porque estaba está aquí abajo, miren. Aquí está abajo. Ahorita lo voy a lo voy a lo voy a mostrar. Sí, aquí está este puntito que está acá. Es este, es este -0.18. Bueno, esto es Geogebra. Y aquí nosotros, ¿qué? ¿Cuál obtuvimos? El menos 0.177. Y este lo obtuvimos como 2.17. 17 1. Entonces, este es el mínimo. Aquí se encuentra el mínimo. Okay. Aquí está el mínimo. Ahora vamos con el máximo. Ahora con el máximo es f de x. Este es mínimo. Mi mínimo. Ahora vamos con el máximo. Este resultado, este es una de las soluciones que nosotros tenemos aquí. Esta es una de las soluciones que nosotros tenemos. Este, la primera. La segunda es este. Entonces, F el máximo se encuentra en haciendo esto, esta operación 3 pun 37. Este es un máximo C. Dus coordenadas del mínimo mínimo es menos es menos 0 177 coma -2 2 -2 171 y el máximo está en menos 2.82. coma 3.37 37. Coordenadas. Es son coordenadas. Son las coordenadas de de este, ¿cómo se llama? del eh de la función f. esta función que está aquí, esa es la función. E vamos a ver Geogebra. Aquí la tenemos, ¿eh? Entonces, aquí está el máximo. Este es el máximo. Máximo, máximo y el mínimo aquí lo tenemos. mínimo. Sí. Entonces, ya tenemos los dos.
Ahora vamos a ver una simulación, ¿sí? De cómo se mueve la persona. Okay. Bueno, vamos para allá. Observen bien, se encuentra aquí en -4.5. A ver, deje. Ahora sí llega, pasa por el por el origen. Aquí pasa, ¿no? Este origen no. Va al máximo y regresa. Regresa. Después llega un mínimo, se detiene y nuevamente va a la derecha. Sí, observen bien. Va, llega un máximo, se detiene, regresa, pasa por el origen, por el observador y luego regresa y va. Esta es la simulación del movimiento. Hm. El del niño que se mueve. Hm. Ahí lo tenemos. Otra vez viene, llega un máximo, se detiene, pasa por el observador, llega un mínimo y se regresa. Esa es la simulación del movimiento. Y aquí va las distancias que va recorriendo. Sí, creciente. Aquí es creciente. Aquí decreciente. Llega un máximo. regresa, pasa por el observador, nuevamente va y regresa, se detiene y regresa el cambio de la figura, del color, perdón, y ahí va, ya va. Sí. Okay, este es todo el recorrido, la distancia que existe de aquí a este puntito. Luego de este puntito la distancia más la distancia que va a este punto más la distancia es la distancia recorrida entre el número entre el tiempo recorrido. Aquí es medio segundo, aquí es 1. Entonces sería 1.5, 2.5. 3.5 4.5 6.5 7 otra vez. Vamos a ver. Aquí lleva medio segundo. Aquí lleva uno. En el 3 1 1.5 2.5 3.5 4.5 eh 4.5 5.5 5 y seis 6 segundos es lo que se ha movido este el tiempo que tarda en recorrer. Ya no más faltan las distancias. Ustedes lo hacen en papel milimétrico y este movimiento de la pelotita. Seguimos todos estos puntos desde el uno, el dos, el tres, el cuatro hasta determinar los puntos máximos. ¿Sí? Bueno, en papel milimétrico hacen ustedes de tarea.
Ahora, nuestro próximo es el punto de infección. ¿Cuál es el punto de infección? dice un punto donde la función, o sea, la curva cambia de sentido, o sea, este aquí cambia de sentido. Miren, aquí en este puntito viene una curva y aquí cambia el sentido. Aquí toda esta curva, esta es decreciente. Hasta aquí cambia. Es decreciente también. Sí. Entonces es lo ese es nuestro próximo tema.