Schnupperstudium Mathematik - Vorlesung 1 - Mengen und Abbildungen

[Musik] Hallo und willkommen zusammen zur Online-Version vom Schnupperstudium Mathematik an der TU München. Das Schnupperstudium ist eine einwöchige Vorlesungsreihe für Schülerinnen und Schüler, so ungefähr ab Klasse 10, die sich für Mathe an der Uni interessieren, vielleicht mit dem Gedanken spielen, Mathe zu studieren oder etwas verwandtes. Und in dieser Vorlesungsreihe haben wir fünf Vorlesungen, dazugehörige Übung und wollen ein spezielles Thema mal erarbeiten in fünf Vorlesungssitzungen. Und damit kann man also einen Einblick kriegen, wie könnte denn so ein Mathestudium so im Kleinen ablaufen.

Für weitere Informationen dazu, hier ist der Flyer von unserem diesjährigen Schnupperstudium, was in den Pfingstferien in Präsenz bei uns an der Uni TU München in Garching stattfand. Und hier auf der Website findet man z.B. auch die verschiedenen Themen der vergangenen Jahre, die man sich anschauen kann.

In diesem Jahr haben wir uns für das Thema unendliche Mengen und ihre Mächtigkeiten entschieden. Hier ist noch der Stundenplan, wie es denn in Präsenz aussah: Fünf Vorlesungen, wobei der Donnerstag ein Feiertag war, also ein bisschen auf die anderen Tage verteilt. Fünf Vorlesungen, Übungsgruppen, Übungstermine dazu und verschiedene andere Programmpunkte zur Studienberatung, Studieninfos. Alles mit dem Ziel, einen Einblick ins Mathestudium zu bekommen für Schülerinnen und Schüler oder für wen auch immer, der sich sonst dafür interessieren könnte. Aber anhand eines Themas, also einer kleinen Vorlesungsreihe, bestehend, wie gesagt, aus fünf Vorlesungen.

Das hier ist das erste Video dazu, also die erste Vorlesung. Und der Titel für heute steht schon da: Mengen und Abbildung. Also in unserer Vorlesungsreihe unendliche Mengen und ihre Mächtigkeiten wollen wir Mengen in ihrer Größe, Mächtigkeit vergleichen. Werden dazu Begriffe wie abzählbar, überabzählbar kennenlernen, aber auch allgemeine Resultate wie Satz von Cantor, Satz von Schröder-Bernstein. Aber müssen mit den Grundlagen starten, das heißt, erstmal über Mengen und Abbildung reden. So beginnen auch tatsächlich viele Vorlesungen im ersten Semester, dass diese beiden Grundbegriffe Mengen und Abbildung behandelt werden.

Ja, wir starten mit Mengen. Wir werden wollen nicht definieren, was eine Menge ist, sondern wir reden darüber, wie wir mit Mengen hantieren, was ja denn unsere, wie sie sich verhalten, was denn unsere Möglichkeiten sind, Mengen hinzuschreiben oder neue Mengen zu erzeugen. Also starten wir mit folgender Frage: Wie kann man denn eine Menge hinschreiben? Wie kann man eine Menge hinschreiben? Wir haben jetzt schon eine grobe Vorstellung, was eine Menge ist. Da sind bestimmte Elemente drin und wollen eben einfach nur darüber reden, wie hantieren wir damit.

Erste Möglichkeit: Man könnte einfach alle Elemente der Menge auflisten, aufzählen. Auflistung aller Elemente. Das ist natürlich nur bei bei endlichen Mengen so möglich, nur bei endlichen Mengen. Ja, und was damit gemeint ist, sehen wir am besten direkt in einem Beispiel. Also ich könnte z.B. eine Menge hinschreiben, die bestimmte natürliche Zahlen enthält. Ich könnte hinschreiben: Die Menge M1, die enthält die Zahlen 1, 2 und 3. Wir haben also unsere Mengenklammern, unsere berühmten geschweiften Klammern und links steht die Variable M1, soll die Menge heißen und dann werden die Zahlen, die da drin sind, einfach aufgelistet, aufgezählt. Das soll hier damit gemeint sein mit dieser Möglichkeit, eine Menge anzugeben, hinzuschreiben.

Oder eine zweite Menge von Zahlen. Dann nehmen wir mal die 0, die Zahl -2/3 und sonst irgendwas, was einem einfällt, die vierte Wurzel aus 7. So könnten wir eine endliche Menge mit ihren Elementen einfach auflistend hinschreiben mit den Mengenklammern und dann mit Komma. Ja, wir haben das Elementzeichen und das erklären wir am besten auch hier an so einem Beispiel. Es gilt also z.B. 1, die Zahl 1 ist nur ein Element der Menge M1. Das hier ist das Elementzeichen. Und wann immer wir sowas haben, dann haben wir auch ja das durchgestrichene Zeichen dafür, dass das nicht gilt. Z.B. die Zahl 0 ist nicht in der Menge M1 mit dabei. 0 ist kein Element von M1.

Sprechen wir diese Notation denn aus? Erste Vorlesung geht's auch so ein bisschen darum, die ganzen Notationen einmal zu erwähnen, festzulegen. Ja, obwohl das jetzt so ganz naheliegend ist, endliche Menge, wir können die Elemente doch einfach auflisten, gibt's da schon ein paar Sachen dazu zu sagen, die wir unbedingt beachten sollten. Also beachte folgende Punkte: Erstens, was wichtig ist: In einer Menge gibt es keine Reihenfolge der. Das will ich auch genauso aufschreiben. Also in einer Menge, damit ist also gemeint, in jeder Menge, ne, also in keiner Menge gibt es ist eine Reihenfolge automatisch festgelegt. In einer Menge gibt es keine Reihenfolge der Elemente. Wenn also jemand z.B. folgendes hinschreibt: Die Menge 3, 1, 2, wieder Mengenklammern, ich versuche einigermaßen schön zu schreiben, dann ist das das gleiche wie das, was ich vorher M1 genannt habe, in zwei Zeilen, drei Zeilen drüber, ne. Also M1 könnte ich genauso gut so aufschreiben. Die Elemente da drin haben jetzt erstmal per se von Anfang an keine Reihenfolge. Das ist die erste Sache, die wir hier da gleich dazu sagen wollen.

Auch wenn ja nichts Besonderes bisher passiert ist, wir reden nur über die Auflistung von Mengen, sollten wir doch so ein paar Punkte gleich hier erwähnen, beachten, für die Zukunft mitnehmen. Also zum einen, Menge hat zunächst mal keine Reihenfolge der Elemente. Wenn ich die irgendwie geordnet haben will, dann muss ich über mehr reden als nur über eine Menge. Zweiter Punkt: Ich habe da oben immer solche Mengen von Zahlen hingeschrieben und dann haben wir das benutzt, um über das Elementzeichen auch direkt zu reden. Trotzdem gibt es da keine Hierarchie. Also die Begriffe Menge und Element, die die sind immer nur in Relation, in in der konkreten Situation im Kontext zu verstehen. Will sagen, eine Menge könnte auch Element von einer anderen Menge sein. Also zweiter Punkt hier: Die Begriffe Menge und ja, eine Menge hat Elemente, aber das ist nicht irgendwie von vorne rein eine Stufe drunter. Ich will sagen, die Begriffe Menge und Element sind relativ. So ist z.B. N, die Menge der natürlichen Zahlen, eine Menge. Aber ich könnte genauso gut das als Element einer anderen Menge betrachten. Aber auch, ja, jetzt schreiben wir äh eine Menge hin, wo N dann ein Element drin ist. Ich könnte einfach durch Auflistung eine Menge erzeugen, eine Menge hinschreiben, wo vielleicht andere Mengen drin liegen, wo vielleicht in diesem Fall Zahlenmengen N und Z drin liegen. Und dann wäre N an dieser Stelle ein Element von einer Menge, obwohl es natürlich auch selbst schon eine Menge ist, ne. Also die Begriffe Menge und Element sind relativ. Es hindert mich keiner daran, eine solche Menge hinzuschreiben, deren Elemente selbst wir schon als Mengen wiedererkennen. Wahrheit ist es so, dass in Mathematik alle Objekte eigentlich als Mengen zunächst eingeführt werden, auch Zahlen oder Funktionen. Aber in die Richtung gehen wir hier nicht weiter. Also sowas hier, Mengen von Mengen oder eine Menge von, in diesem Fall, zwei Mengen taucht auf, müssen wir auch mit hantieren können, hinnehmen. Sowas kann passieren. Und jetzt haben wir hier oben also eine Menge von Zahlen und dann haben wir hier eine Menge von Zahlbereichen. Das lebt vielleicht so gedanklich auf verschiedenen Hierarchiestufen. Eigentlich hindert einen keiner daran, auch sowas zu vermischen, was vielleicht auf den ersten Blick nicht nebeneinander stehen sollte. Also ich könnte auch die Zahl 1 und die Menge N zusammen wiederum in eine Menge packen. Und das ist jetzt eine Menge mit zwei Elementen: einmal die Zahl 1 und einmal die Menge N. Auch sowas könnte man hinschreiben, ist eine mögliche Menge. Wir reden ja gerade hier in dieser ersten Vorlesung davon, wie, welche Konstruktionen haben wir mit Mengen, was kann man alles hinschreiben und ja, was ist da alles möglich.

Das war die erste Möglichkeit, so allgemein gesprochen, wie wir eine Menge hinschreiben können: einfach durch Auflistung aller Elemente, geschweifte Mengenklammern und dazwischen mit Komma die verschiedenen Elemente dieser Menge. Und jetzt gibt es eine zweite Möglichkeit, nämlich wir listen nicht alle Elemente auf, sondern geben die Menge bisschen mehr definierend über eine bestimmte Eigenschaft an. Also zweite Möglichkeit, eine Menge aufzuschreiben, nenne ich mal: Beschreibung über eine Beschreibung oder Eigenschaft. Eigenschaft. Und auch das, ja, starten wir mit einem Beispiel, damit wir sehen können, was hiermit gemeint ist. Z.B. meine Nummerierung mit M1, M2, M3, M4, die die ziehe ich jetzt hier nicht durch. Also die heißt jetzt einfach groß A, häufig große Buchstaben für die Mengen. Groß A heißt jetzt diese Menge und das soll sein: die Menge aller natürlichen Zahlen n, ja, natürlich nicht die Menge natürlichen Zahlen, sonst kennen wir einfach die Menge N heraus, ne, die Menge der natürlichen Zahlen, aber irgendeine Teilmenge davon. Also ich sondere aus aus den natürlichen Zahlen bestimmte Elemente will ich haben, aber nicht alle. Und das machen wir ja formal oder in in welchem Formalismus machen wir das? Das machen wir: Groß A ist die Menge aller klein n aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft n ist eine Quadratzahl. Diese Eigenschaft will ich z.B. benutzen. Aus den natürlichen Zahlen nehmen wir all die heraus, die Quadratzahlen sind. Und da sieht also der Formalismus so aus: Die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, soll dieser vertikale Strich heißen, n ist eine Quadratzahl. Ja, stattdessen sieht man auch häufig Doppelpunkt. Also das sind zwei, ja, Notationen, die das gleiche gleiche bedeuten. Manche machen hier lieber einen Doppelpunkt statt diesem vertikalen Strich. Sieht man beides. Und damit wir das also richtig lesen können: Wir haben hier außen unsere Mengenklammern, die übersetzen sich, wenn ich das ausspreche, einfach in "Menge aller". Und dann wird zuerst gesagt, aus welcher größeren Menge betrachte ich denn hier gerade Elemente. In diesem Fall aus der Menge der natürlichen Zahlen. Also "Menge aller natürlichen Zahlen" und dieser vertikale Strich oder, wie gesagt, könnte da auch ein Doppelpunkt stehen, der bedeutet also, wir jetzt danach folgt, welche Eigenschaft die Zahlen, die wir in unserer Menge haben wollen, erfüllen müssen. Also "Menge aller natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft" und danach kommt die Eigenschaft. Und das ist der letzte Teil hier, farblich markiert: "n ist eine Quadratzahl". Jetzt passen meine Farben hier nicht mehr so ganz. Jetzt nehme ich Orange. Also "mit der Eigenschaft", diese Zahl, die wir benutzen, ist eine Quadratzahl. "n ist eine Quadratzahl". So sieht also jetzt hier hinter den ganzen Farben kaum noch zu erkennen, die Möglichkeit aus, eine Menge beschreibend über eine Eigenschaft hinzuschreiben, anzugeben, zu definieren. Groß A soll diese Menge sein, die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft n ist eine Quadratzahl. Das ist also, ja, grundsätzlich anders als in dem, was wir hier oben gemacht haben, wo wir einfach gesagt haben: Menge könnten wir hinschreiben A, groß A oder groß M1, was auch immer, ist gleich und dann aufgelistet alle Elemente, die da drin vorkommen.

Ja, na ja gut, Quadratzahlen in den natürlichen Zahlen gibt es halt unendlich viele. Also eine in Anführungszeichen Auflistung wäre hier ja gar nicht möglich. Ich mal sag mal hier: ungeeignet oder schrägstrich gar nicht möglich, denn ja, wir stellen fest, da gibt's unendlich viele. Und man könnte jetzt zwar anfangen mit: Okay, die erste ist 1, die nächste natürliche Quadratzahl ist 4 und 9 und 16 und dann sieht man vielleicht auch, dass dann jemand das so hinschreibt: Punkt Punkt Punkt Punkt. Aber das wäre jetzt als Mengendefinition absolut ungeeignet, denn es ist ja völlig unklar, ist damit jetzt gemeint: immer so weiter, oder hören wir irgendwann auf? Es könnte ja auch interessant sein, die Menge der Quadratzahlen kleiner gleich 100 oder sowas. Also sowas sieht man dann vielleicht mal zur zur Veranschaulichung, okay, welche Elemente liegen jetzt hier wirklich drin, wie kann ich mir die Menge vorstellen, wenn man denn will. Aber als Mengendefinition wäre also hier die Auflistung nicht möglich oder ungeeignet, denn es ist unklar, was soll hier mit dem Punkt Punkt Punkt gemeint sein, ne. Trotzdem könnte man die Menge aber auch anders hinschreiben, was man vielleicht auch sieht oder auch, ja, erlaubt als Möglichkeit, diese Menge anzugeben: Groß A, die Menge aller Quadratzahlen. Wir könnten hier vorne ein x Quadrat hinschreiben und dann kommt erst der vertikale Strich. Also die Menge aller Quadrate x², und dann sagen wir danach, aus welchem Bereich kommt jetzt das klein x. Also die Menge x², wobei x, ja, könnten die natürlichen Zahlen nehmen oder auch die ganzen Zahlen. Aus den ganzen Zahlen kommt ja, okay, dann möchte ich hier die Null nicht mit dabei haben. Bei uns jetzt hier in dieser, in dieser Schnupperstudiumsvorlesung sagen wir jetzt mal, die natürlichen Zahlen starten mit null, ne, damit auch das hier so, wie es hier hingeschrieben habe, Sinn macht. Nur eine Konvention und ändert man auch, je nachdem, wie man es haben will. Jetzt hier für uns sagen wir in dieser Vorlesung dieser Woche, die natürlichen Zahlen starten mit eins, sorry, ich habe gerade Null gesagt, die natürlichen Zahlen starten mit eins, denn hier habe ich ja auch hingeschrieben, eins soll die erste sein. Na ja, und wenn ich das dann so haben will, dann nehme ich hier alle ganzen Zahlen, aber nicht Null und baue aus denen alle Quadrate. So könnte ich diese Menge hinschreiben, ne. Ich könnte hier natürlich aber auch N hinschreiben, aber ich wollte das jetzt mal so aufschreiben, zum einen, um zu sagen: Okay, das ist auch eine Möglichkeit, diese Menge zu definieren, die Menge aller x², und dann sagen wir danach, aus welchem Bereich kommt das X überhaupt. Nehmen wir alle Quadrate von reellen Zahlen oder alle Quadrate von natürlichen Zahlen oder ganzen Zahlen. Ändert ja was am Ergebnis, an der Menge. Ich habe jetzt hier aber extra mal Z und nicht N gemacht und deswegen mich hier kurz verhaspelt beim Null rausnehmen und so weiter. Denn da das benutzen wir als Gelegenheit, noch eine Sache hier zu unseren Mengen dazu zu sagen, wieder ein Beachte. Also, wenn ich die Menge aller Quadrate innerhalb der natürlichen oder ganzen Zahlen so aufschreibe, dann habe ich ja da vielleicht auf dem ersten Blick eine Mehrdeutigkeit. Hier ist z.B. -2 Quadrat, ja, das gleiche wie 2 Quadrat. Und ich habe das jetzt hier mal extra so aufgeschrieben. Wir nehmen alle x², wobei x aus den ganzen Zahlen ohne Null kommt, dann würde ich z.B. -2² nehmen und ich würde auch 2² nehmen. Beides liefert aber das gleiche. Und Hinweis: Beachte, Bemerkung, dass ein ein Element kommt in einer Menge immer nur höchstens einmal vor. Aber trotzdem liegt das Ergebnis, wenn man so will, von diesem dieser kleinen Rechnung, nämlich die vier, nur einmal in der Menge A, nur einmal in der Menge A.

Okay, also ähm, noch mal ein bisschen rausgescrollt, zurück. Wir wollten über Mengen und Abbildung reden und ich hatte zu Anfang gesagt, wir wollen jetzt hier gar nicht genau definieren oder können es vielleicht auch gar nicht, was eine Menge ist, sondern wir wollen darüber reden, okay, wie kann man damit hantieren, welche Operationen und so weiter sind erlaubt. So geht's dann auch gleich weiter. Trotzdem ist natürlich steckt natürlich schon eine Vorstellung dahinter, nämlich die Vorstellung, eine Menge besteht aus Elementen. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen. Und in den verschiedenen Beobachtungen, Bemerkungen habe ich diese Eigenschaften dann eben noch mit eingebaut, nämlich ein Element kann nur einmal in einer Menge vorkommen. Also die Elemente in einer Menge müssen verschieden sein, wohldifferenzierbare Elemente. Und die Elemente in der Menge haben keine Reihenfolge. Und ein Element zu sein, ist aber nicht etwas, was ja dem Objekt von vorne rein angeboren ist, sondern eine Menge wiederum könnte auch ein Element sein in einer anderen Menge, in einer Menge von Mengen. Sowas taucht also alles auf.

Okay, ein bisschen wieder reingescrollt. Wir waren einfach dabei zu sagen, wie, was sind unsere Formalismen, die wir lernen wollen, wie kann man Mengen, wie tauchen Mengen hingeschrieben auf? Einfach durch Auflistung aller Elemente, Mengenklammer und mit Komma die Elemente. Oder um auch mit unähnlichen Mengen hantieren zu können, durch diese beschreibende äh Definition einer Menge über eine Eigenschaft, die hier nach diesem senkrechten Strich steht, nämlich ich nehme z.B. die Menge aller natürlichen Zahlen, die jetzt eben gerade Quadratzahlen sind.

Weitere Kommentare dazu: Wenn man das jetzt also so erlaubt oder so sagt, ja, so wollen wir, so wollen wir Mengen definieren können über so eine Eigenschaft, dann ist das natürlich, ja, ergibt es gibt es für uns natürlich viele Möglichkeiten, damit irgendwas zu machen. Aber was dabei dann immer so herauskommt, ist gar nicht so klar. Also Kommentar: Bei diesen Konstruktionen, und da meine ich die jetzt hier, wie Sie auf der gerade eingeblendeten Seite stehen, also zweitens ist dann aber überhaupt nicht klar, was für eine Menge entsteht. Also ob das dann eine endliche oder unendliche Menge wird, ist nicht immer klar. Ob eine endliche Menge, und das könnte z.B. auch die leere Menge sein, ne, also ich könnte hier die Menge aller irgendwas mit einer Eigenschaft hinschreiben und dann stellt danach jemand fest, ja, solche Elemente gibt es aber überhaupt nicht, dann hätte ich die leere Menge auf eine komplizierte Art und Weise hingeschrieben, ne. Ich kann ja hier bei dieser Eigenschaft so viel verknüpfen, dass vielleicht gar es gar nichts mehr gibt, was das überhaupt dann noch erfüllt. Also ist nicht immer klar, ob eine endliche Menge (in Klammern z.B. die leere Menge) und das nutzen wir hier nebenbei, um ja, die leere Menge zu erwähnen oder dafür noch Notationen einzuführen. Reicht eigentlich eine, und die Notation ist so ein Null mit einem Strich. Aber aus der Schule ist man vielleicht eher gewohnt, die leere Menge so hinzuschreiben. Also die leere Menge, Notation für uns: Null mit zu einem Strich. Die könnte dabei entstehen, oder eine andere endliche Menge, oder eine unendliche Menge. Und das ist eben überhaupt nicht klar, weil ich ja in diesen Eigenschaften alles mögliche verknüpfen kann, ne, wo mir keiner vorher sagt, wie viele Sachen gibt es dann, die das jetzt noch alles erfüllen.

Oder eine unendliche Menge entsteht. Beispiel oder zwei Beispiele dazu. Zwei berühmte Beispiele aus der Zahlentheorie, nämlich wir könnten doch jetzt auf diese Art und Weise hinschreiben, und ich glaube, jetzt bin ich ein bisschen faul geworden und die Mengen heißen oft M und so wie Buchstaben wiederholen sich. Also wir könnten doch jetzt auf diese Art und Weise hinschreiben: Die Menge groß M, wieder eine Menge von natürlichen Zahlen soll das werden, nämlich das soll werden die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft 2 hoch n - 1, diese Zahl ist dann eine Primzahl. Die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, versuche mich wirklich zu bemühen, sauber zu schreiben, mit der Eigenschaft 2 hoch n - 1 ist eine Primzahl. Und jetzt fällt mir wieder ein, dass die Buchstaben doch nicht so ganz zufällig waren. Das groß M da vorne habe ich gewählt wegen ja dem Namen Mersenne, denn diese Definition hier oder Primzahlen dieser Bauart heißen Mersenne-Primzahlen, sogenannte Mersenne-Primzahlen. Also wir haben eine feste natürliche Zahl n und dann machen wir die Rechnung, was ist 2 hoch n - 1, ja, und dann könnte es doch passieren, dass das eine Primzahl ist, könnte auch, dass es keine ist. Und in diese Menge groß M packen wir alle natürlichen Zahlen, sodass dann bei dem Ergebnis 2 hoch n - 1 eine Primzahl herauskommt. Auch hier könnten wir jetzt mal mit den kleinen Zahlen starten, um ein Gefühl für diese Menge zu kriegen, vielleicht ja, einmal so und einmal in Klammern, welche das denn nicht erfüllen. Also ich hatte gesagt, vorher, wir wollen jetzt hier in unserem Schnupperstudiumsvorlesung, wollen wir die natürlichen Zahlen mit eins beginnen lassen. Also ist das erste, was ich checke, ist eins in dieser Menge mit dabei? 2 hoch 1 - 1 ist 1, keine Primzahl. Also ist 1 nicht in in M mit dabei, ne, weil ich müsste jetzt 2 hoch 1 - 1 ausrechnen und gucken, ist das eine Primzahl. Aber 1 ist per Definition keine Primzahl. Dann die 2 ist aber in dieser Menge mit dabei, denn wenn ich diese Rechnung für die 2 durchführe, was ist 2 hoch 2 - 1, kommt 3 heraus und das ist eine Primzahl. Ebenso ist die Zahl 3 in dieser Menge mit dabei, denn wenn ich diese Rechnung für 3 durchführe, 2 hoch 3 - 1, 7 ist eine Primzahl. Die 4 wiederum ist nicht in M mit dabei, denn 2 hoch 4 - 1 ist 15, ist keine Primzahl. Die 5 wiederum ist mit dabei, 2 hoch 5 - 1 ist 32 - 1, 31 ist eine Primzahl. Ja, und so könnte man jetzt hier immer weiter durchgehen und stellt fest, die 7 ist z.B. dabei, die 13, die sind, die 19, die 31. Und ja, jetzt mache ich hier auch mal Punkt Punkt Punkt. Bei der 7 habe ich die Rechnung noch gemacht, da kommt hier 127 heraus und ja, das ist eine Primzahl. Wenn man das so also startet mal zu gucken, welche natürlichen Zahlen n haben denn diese Eigenschaft, die hier rechts steht, dass das 2 hoch n - 1 dann auch oder dann das dann eine Primzahl ist, ja, dann stellt man ziemlich schnell fest, das sind tatsächlich alles wiederum Primzahlen, die hier vorne herauskommen. Das ist ja so von vorne rein jetzt nicht klar gewesen bei der Definition. Das ähm, ja, ist aber bekannt und das kann man zeigen und ist auch nicht so schwer. Man kann zeigen, dass wenn n in dieser Menge groß M mit dabei ist, dann muss das n auf jeden Fall auch schon eine Primzahl gewesen sein. Also 2 hoch N - 1 kann nur eine Primzahl sein, wenn das n schon eine war. Und das haben wir hier oben bei diesen kleinsten Zahlen auch festgestellt, da waren nur die, nur Primzahlen hier aufgetaucht, vier nicht z.B. Ja, aber wir stellen auch fest, nicht alle Primzahlen tauchen hier auf, ne. Die 11 ist die erste, die hier fehlt. 11 wollte ich noch hier in blauen Klammern machen. 11 ist nicht in dieser Menge groß M dabei. Wenn man da die Rechnung macht, 2 hoch 11 - 1, 2048 - 1, 2047. Ich habe die Zerlegung hier auf meinem Zettel stehen: 23 x 89. Ist also, ja, ist also zusammengesetzt, keine Primzahl. Also 11 ist nicht mit dabei. Nicht jede Primzahl ist mit dabei. Aber die andere Richtung steht hier unten: Wenn eine Zahl in dieser Menge M mit dabei ist, dann ist es auch schon eine Primzahl gewesen. Ja, und es ist ein offenes Problem, berühmtes zahlentheoretisches Fragestellung: Gibt es jetzt unendlich viele Mersenne-Primzahlen oder nicht? Offenes Problem. Möchte ich so in in unserer Mengennnotation so definieren, so hinschreiben: Ist diese Menge M unendlich oder nicht? Das schreibt man so auf. Das hier soll stehen für die, ja, Elementanzahl, wenn es denn endlich wäre, von dieser Menge, und das ist das Symbol für unendlich. Also ist M unendlich oder nicht? Ist eine offene Fragestellung, berühmte zahlentheoretische Fragestellung. Ja, wann immer man irgendwo liest, so alle paar Jahre mal ist wieder eine neue größte bekannte Primzahl gefunden worden, dann sind das immer solche Primzahlen, ne, solche Mersenne-Primzahlen, denn durch dieses, durch diesen Exponenten hier wächst das sehr schnell, ne, und man weiß, das kann nur für Primzahlen n hier oben funktionieren. Also setzt man für das n wiederum eine große bekannte Primzahl ein und kriegt dann hier durch eine, ja, viel viel größere Zahl, die eventuell eine Primzahl ist oder nicht. Und für Zahlen dieser Bauart gibt's einen speziellen Primzahltest, Lucas-Lehmer-Test. Deswegen, wann immer man so hört, größte Primzahl gefunden, dann ist das meistens eine von dieser Bauart gewesen, ne, Mersenne-Primzahl oder eigentlich immer.

Ja, zweite Beispiel dem gegenübergestellt sind die sogenannten Fermat-Zahlen. Und deswegen heißt diese nächste Menge jetzt groß F. Wiederum einfach eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die wir über diese Möglichkeit, Elemente auszusondern oder auszuwählen, definieren. Also wieder die gleiche Bauart: Menge aller natürlichen Zahlen mit irgendeiner Eigenschaft. Jetzt machen wir sehr ähnlich, nicht 2 hoch n - 1, sondern 2 hoch n + 1 ist eine Primzahl. Und ich hatte es schon gesagt, die, ja, Zahlen dieser Bauart heißen Fermat-Zahlen oder die Primzahlen dieser Bauart heißen dann Fermat-Primzahlen. 2 hoch n + 1. Da könnten wir wieder, um ein Gefühl für diese Menge zu bekommen, einfach mal starten mit den kleinsten natürlichen Zahlen. Also liegt denn die 1 in der Menge F? Ich würde sagen, ja, denn 2 hoch 1 + 1 hier in Grau in Klammern ist ja 3, ist eine Primzahl. Liegt denn die Zahl 2 in F? Ich würde sagen, ja, denn 2 hoch 2 + 1, 5, und das ist eine Primzahl. Die Zahl 3 liegt aber nicht in F, denn 2 hoch 3 + 1 ist, und das ist keine Primzahl. 4 wiederum liegt in F, 2 hoch 4 + 1 ist 17, und das ist eine Primzahl. Ja, und so könnte man jetzt hier weiter versuchen. Und ähnlich wie vorher kriegt man ein Kriterium, dass diese Zahlen erfüllen müssen, relativ schnell hin. Nämlich man kann wiederum zeigen: Wenn n in der Menge groß F dabei ist, also wenn 2 hoch n + 1 eine Primzahl ist, dann muss das n eine Zweierpotenz gewesen sein. Also n = 2 hoch k für ein k aus den natürlichen Zahlen. Dann nehmen wir jetzt 0 mit dazu, um 2 hoch 0, n = 1 mit dabei zu haben. Also nur für Zweierpotenzen könnte das hier möglich sein. Aber man findet wiederum auch ein Beispiel. Ich wollte gerade fast sagen, man findet schnell ein Beispiel, wo das dann nicht mehr erfüllt ist, aber schnell eben nur im heutigen Computerzeitalter. Das genau war in Zeiten von Euler und Fermat schon schwieriger. Aber 32 liegt nicht in F, denn 2 hoch 32 + 1 ist keine Primzahl, hat den Faktor 641 und den anderen, schreibe ich mal lieber nach. Und auch hier, wie in unserem ersten Beispiel drüber, ist es nicht klar, wie sieht diese Menge nun insgesamt aus? Ist sie endlich oder unendlich? Also auch hier haben wir wieder ein berühmtes offenes Problem in der Mathematik, in der Zahlentheorie: Gibt es unendlich viele Primzahlen dieser Bauart oder nicht? Also wir haben da die ersten zwei Potenzen angeschaut und für die passt das: 2 hoch 0, 2 hoch 1, 2 hoch 2. Man könnte das jetzt noch weitergehen und feststellen, auch für 2 hoch 3 und 2 hoch 4 passt es, ist das wiederum 2 hoch 2 hoch k + 1 dann eine Primzahl ist. Für 2, 3 passte das nicht mehr. Und ich habe jetzt das offene Problem diesmal nicht so wie hier oben hingeschrieben: Gibt es unendlich viele oder nicht, sondern so: Ist das hier schon alles? Also ist F die Menge nur aus diesen fünf? Denn nur die fünf hat man gefunden, nur die fünf sind bekannt und die Vermutung geht dementsprechend an dieser Stelle auch in die Richtung: Ja, das sind die einzigen Fermat-Primzahlen, es gibt nur endlich viele und zwar nur genau diese fünf Zahlen n funktionieren als Exponenten, um damit dann die Fermat-Primzahlen zu bauen, ne. Haben wir immer diese, ja, Doppelung reden wir gerade über den Teil oder über den Teil. Also auch hier wieder ein berühmtes zahlentheoretisches Problem. Und hier ist die Vermutung: Es gibt nur endlich viele. Ich wollte es nur als Beispiele dafür benutzen. Wir haben jetzt diese mächtige Konstruktion kennengelernt, äh, wie man Mengen aufschreiben kann, indem man hier einfach vorne eine schon bekannte Menge von Zahlen, Zahlen sage ich jetzt mal, müssen aber gar keine Zahlen sein, mathematische Objekte benutzt und dann mit der Eigenschaft oder dann, ja, hier hinten eine Eigenschaft benutzt. Und wir wollen aus dieser größeren Menge nur diese hier haben mit der Eigenschaft. Da kann man dann sehr schnell irgendwas hinschreiben, wo es nicht mehr schnell zu beantworten ist, ja, was kommt jetzt da als Menge heraus, ne. Und das hier sind eben zwei berühmte Beispiele: einmal die natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass das hier eine Primzahl ist, 2 hoch n - 1, da ähm sind auch nicht viele bekannt, weil das eben sehr schnell wächst, aber es sind doch, äh, ja, immer mehr gefunden worden und man vermutet unendlich viele. Oder eben die natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, 2 hoch n + 1 ist eine Primzahl, wo eben nur ganz wenige, ja, bekannt gefunden und es wahrscheinlich vermutlich auch nur ganz wenige gibt. Aber das kann dann eine sehr schwierige Fragestellung sein. Nur weil ich die Menge so hingeschrieben habe, äh, ja, weiß ich damit natürlich jetzt noch nichts über, ja, ihre Anzahl von Elementen und sowas.

Okay, kleiner Gedankenstrich, es soll weitergehen hier in der ersten Vorlesung, äh, weitere Symbolik kennenzulernen. Zum Teil bestimmt schon bekannt aus der Schule. Konstruktionen mit Mengen. Schreiben wir einmal auf, was wir da also immer machen können, wenn wir schon zwei Mengen haben. Also wir könnten auf den Wegen, die wir gerade beschrieben, gerade genannt haben, können wir Mengen hinschreiben, definieren. Wir können aber auch, wenn wir zwei Mengen haben, sowas bauen wie die Vereinigung und den Durchschnitt. Und da wollen wir nur kurz die Symbolik erklären. Also es seien groß A und groß B Mengen. Wenn da "es seien A und B Mengen" steht, dann heißt das also, das sind jetzt beliebige Mengen, für alle Mengen kann ich das machen, was jetzt danach kommt. Es seien A und B Mengen, dann haben wir folgende Notationen oder Konstruktionen: A geschnitten B soll sein, definieren wir als alle Elemente klein x mit der Eigenschaft, die sind in A und die sind in B. Das ist also der Durchschnitt oder einfach nur der Schnitt von unseren beiden Mengen. Wir haben auch A vereinigt B, die Menge x aller x mit der Eigenschaft, x liegt in A oder x liegt in B. Wenn wir jetzt die Mengenlehre hier axiomatisch aufbauen würden, dann wäre dieser zweite, diese zweite Sache mit Vereinigung, da da wären ein paar mehr Worte zu notwendig, denn da beim ersten A geschnitten B, da kann ich sozusagen auf dem Weg, den wir gerade besprochen haben, auf diesem zweiten Weg alle x aus A nehmen, die noch eine Zusatzeigenschaft x Element B haben. Hier wäre jetzt nicht klar, wo liegen diese x, die ja da drüber sind. Ja, das soll uns aber nicht weiter interessieren. Wir haben diese Konstruktion A geschnitten B, A vereinigt B. Wir haben auch das Komplement oder die Mengendifferenz A ohne B. Also das sollen alle x aus A sein mit der Eigenschaft, dass das x nicht in B liegt. Durchgestrichen, ich hoffe, ich ja, hier in dem Video ohne Live-Publikum verschreibe ich mich nicht so häufig, sonst bitte gerne in die Kommentare schreiben. Das ist also die Differenz von A und B, A ohne B. Ja, eine weitere Sache, die wir brauchen werden, sind geordnete Paare, kartesische Produkte, dann auch als von geordneten Paaren. Also neben der Menge mit zwei Elementen A und B, A, B, und die habe ich jetzt klein geschrieben, damit uns das an Element erinnert, auch wenn wir ganz am Anfang darüber geredet haben, dass die Begriffe ja nur relativ sind. Neben der Menge A, B ist auch das geordnete Paar, wie es heißt, und jetzt mit runden Klammern A, B, ich einfach das, das gibt es auch. Also das ist auch wichtig, ist auch das geordnete Paar A, B wichtig. Und der Unterschied ist, dass bei geordneten Paaren eine Reihenfolge drin steckt. Also hier gilt nun, das geordnete Paar A, B ist gleich einem geordneten Paar A, B genau dann, wenn an erster Stelle die Sachen übereinstimmen, also A = A und an zweiter Stelle die Sachen übereinstimmen, B = B. Und ja, diese erste Vorlesung hat eben auch so nebenbei den Sinn, immer mehr Formelsprachweise, die einfach vorkommt, einzuführen und so nebenbei zu haben. Also das hier ist die sprech, sprechen wir meistens aus als "genau dann, wenn" oder "die beiden Dinge sind also äquivalent". Folgepfeil in, aber nicht als Folgepfeil, sondern in beide Richtungen. Genau dann, wenn. Also z.B. mit einem Beispiel wird es jedem klar: Das geordnete Paar mit 1 und 2 ist nicht das gleiche wie das geordnete Paar, ich wollte hier ein Gleichheitszeichen durchstreichen, sah nur nicht so schön aus, ist nicht das gleiche wie dieses geordnete Paar. Aber wir hatten ja vorher darüber geredet, in der Menge könnte ich den Unterschied nicht sehen. Also die Menge so aufgeschrieben oder so aufgeschrieben ist die gleiche Menge. Ja.

Und dann haben wir noch und brauchen wir das sogenannte kartesische Produkt von zwei Mengen. Kartesisches Produkt, das ist also, wir genau ist, ist hier gerade oben auf der Seite noch zu sehen. Wir stellen uns also jetzt hier unter diese diese Voraussetzung sozusagen, wir haben groß A und B sind gerade immer feste Mengen und dann können wir das kartesische Produkt bilden. A Kreuz B ist die Notation und das soll jetzt sein wiederum die Menge von allen geordneten Paaren klein a aus A und Klein B aus B. Kartesisches Produkt, die Menge all dieser geordneten Paare.

Auch hier vielleicht ein kleines Beispiel, um es zu veranschaulichen. Z.B. ich könnte die Menge nehmen mit den drei Elementen, den Zahlen 1, 2, 3 und könnte das esische Produkt bauen mit der Menge, die 1 und 4 enthält. Und dann würde ich kriegen eine Menge mit allen möglichen Paaren. Und man kann sich mal kurz überlegen, wie viel Elemente werden das dann? Also allen möglichen Paaren, wo vorne etwas aus der ersten Menge steht, also 1, 2 oder 3 und hinten etwas aus der zweiten Menge, also eins oder vier. Also ich kriege z.B. ein mit 1 oder auch eins mit 4 oder 2 mit 1 und 2 mit 4 und ebenso 3 mit 1 und 3 mit 4. Menge aller Paare, wo in der vorderen Komponente was aus der ersten Menge steht und in der hinteren was aus der zweiten.

Und was vielleicht in der Schule ja öfter auftaucht, aber nicht so hingeschrieben wird. Wir könnten auch aus der Menge aller reellen Zahlen mit sich selbst das karesisches Produkt bauen und dann kriegen wir alle Paare von reellen Zahlen a, b, A und B aus den reellen Zahlen und das wird dann allgemein auch als R hoch 2 aufgeschrieben. Das ist also dann unsere Ebene, die wir häufig mit einem kartesischen Koordinatensystem irgendwie so anfangen zu veranschaulichen. Also das ist die Konstruktion, ein kartesisches Produkt von zwei Mengen A und B zu bauen.

Ja, jetzt sind wir ziemlich genau bei der Hälfte der Vorlesung. Jetzt habe ich in Präsenz immer 5 Minuten Pause gemacht und dann geht's gleich weiter. Es geht weiter mit dem Begriff der Potenzmenge und zwar haben wir ja vorher auch mal ein Beispiel hingeschrieben, eben, dass Mengen auch wiederum Elemente von anderen Mengen sein können und das ist jetzt so ganz essentiell beim Begriff der Potenzmenge, wo nämlich Teilmengen einer festen Menge dann die Elemente einer neuen Menge werden. Also zwischen, ja, Mini-Überschrift oder Begriff Potenzmenge.

Wir haben zu jeder beliebigen Menge A können wir eine Potenzmenge hinschreiben und das ist die folgende Konstruktion, die folgende Definition. Für eine Menge A heißt, ja, und sowas ist jetzt wirklich immer zu lesen, für jede Menge, ne? Also für eine feste Menge A haben wir die Konstruktion Potenzmenge. Also für eine beliebige Menge A heißt P von A, verschiedene Möglichkeiten das P zu schreiben, P von A, die Potenzmenge. Und wie ist die Definition? Wir nehmen alle x und jetzt mache ich extra ein großes X, damit uns das an Mengen erinnert, aber eigentlich ist es vom, ja, der Formel her egal. Also wir machen die Menge aller x mit x ist eine Teilmenge von A. Und dieses Symbol wird hier also auch erst so nebenbei gerade hier eingeführt an dieser Stelle. Das steht also für ist eine Teilmenge von. Manche machen da unten so einen Strich mit ran, man sieht aber genauso häufig das hier ohne so ein Strich da drunter. Könnt ihr machen, wie ihr wollt, ist eine Teilmenge von. Und wenn ich die jetzt wiederum alle in eine Menge zusammensammel, alle Teilmengen von unserer festen Menge A, dann nennt sich das die Potenzmenge von A, die Potenzmenge von A.

Machen wir ein kleines Beispiel dazu und dann soll es auch schon reichen. Wir könnten eine Menge mit den Elementen 4 und 7 hinschreiben und was wäre nun also die Potenzmenge von A, die ich mit einem solchen P aufschreibe? Das wäre die Menge aller möglicher Teilmengen von dieser Menge. Eine mögliche Teilmenge ist immer die leere Menge, für die wir vorher diese Notation eingeführt haben. Eine andere mögliche Teilmenge besteht z.B. nur aus der Zahl 4, also diese Menge mit nur der 4 drin, die taucht hier nach dem Komma also auf in der Potenzmenge. Eine andere mögliche Teilmenge wäre die Menge, die nur die 7 enthält und die einzige andere mögliche Teilmenge ist die Menge, die 4 und 7 enthält. Die Menge ist Teilmenge von sich selbst. Wir könnten hier also auch noch die Menge, äh, ja, A selbst haben. Hier steht also die die Menge A selbst, die ist auch immer ein Element der Potenzmenge, ne? Also diese ganzen Teilmengen von dieser Menge A sind jetzt Elemente der Potenzmenge. So funktioniert diese Konstruktion, Potenzmenge einer Menge zu bauen.

Ja, jetzt mache ich einen längeren Strich, denn der Abschnitt zu Mengen in Vorlesung 1 ist beendet und wir wollen jetzt noch noch über Abbildungen reden. Noch mal kurz, wo sind wir hier ein in der Einordnung? Wir sind in Vorlesung 1 von unserem Schnupperstudium und die Überschrift für Vorlesung 1: Mengen und Abbildung. Bei Mengen haben wir viel jetzt darüber geredet, was sind da für Eigenschaften, die man beachten muss und wie können wir sie aufschreiben. Jetzt soll es um Abbildung gehen und da wird es vor allem darum gehen, noch ein paar, ja, Begriffe zur Abbildung nach und nach kennenzulernen. In Vorlesung 2 dann vor allem die Begriffe für injektiv, subjektiv und bijektiv. Jetzt, ähm, ja, grundlegendere Begriffe zu Abbildung.

Bei Abbildung, wie bei Mengen, werden wir nicht eine formale Definition geben, was eine Abbildung ist. Bei Abbildung könnte man es eigentlich machen, auf Mengen zurückzuführen. Abbildung ist die eigentlich die Menge der Paare, die miteinander in Verbindung stehen, zugeordnet werden. Wir machen das nicht. Wir machen ähnlich wie vorher bei Mengen. In diesem in dieser ersten Vorlesung zu den Grundlagen reicht uns eine Anschauung, nämlich eine Abbildung ist eine Zuordnung von einer Menge in eine andere Menge. Dazu brauchen wir also zunächst mal zwei Mengen. Für eine Abbildung braucht man immer erstmal zwei Mengen und hier wieder allgemein gehalten. Also es seien A und B Mengen. Eine Abbildung und ich sage gleich dazu, dass, ja, man eigentlich auch genauso den Begriff Funktion benutzen könnte, der vielleicht aus der Schule geläufiger ist, wobei vielleicht versteht man unter Funktion dann mehr Abbildung zwischen reellen oder komplexen Zahlen. Abbildung ist der allgemeinere Begriff, aber Funktion, das was wir aus der Schule kennen, ist also etwas, was wir so aufschreiben F von der einen Menge A mit Pfeil in die andere Menge B und dann könnte hier sowas stehen, ein Element klein x und dann taucht da dieser Abbildungspfeil mit noch so ein vertikalen Strich auf, wird abgebildet auf irgendein F von x. Diesen Fall hier lesen wir also als wird abgebildet auf. Klein x wird abgebildet auf eine Abbildung.

Und ich habe gestartet mit, ja, wie wie ist der Formalismus, den wir lernen wollen? Eine Abbildung, sowas, aber, ja, was soll es sein? Ist eine Zuordnung. Und wie gesagt, jetzt kein keine mathematische Definition, denn ich kann ja nicht ein Wort mit einem anderen Wort, was wir noch nicht definiert haben, erklären. Also was ist unsere Vorstellung? Eine Abbildung ist eine Zuordnung, die jedem klein x aus A und das ist wichtig, jedem klein x aus dem Definitionsbereich genau ein klein y in B und das hat dann auch schon mal immer einen speziellen Namen, nämlich F von x, Element B, genau ein F von x, Element B zuordnet. Also auch hier wieder wichtig wird für uns sein, was sind die Eigenschaften einer Abbildung, die erfüllt sein müssen und wie können wir damit hantieren? Also jedem klein x aus dem, was wir Definitionsbereich gleich nennen werden, muss ein F von genau ein F von x hier zugeordnet sein. Also eine eindeutige Zuordnung, jedem links genau eines rechts zuordnen. Es heißen dann groß A, diese erste Menge, die wir da benutzt haben, der Definitionsbereich und groß B, der Bildbereich von dieser Abbildung F, der Bildbereich von F. Und zu einem Element klein x aus A, also aus dem Definitionsbereich, zu einem klein x aus A heißt F von x das Bild von x unter F. Ja, also jedem klein x aus der ersten Menge wird ein eindeutiges F von x in der zweiten Menge zugeordnet und dieses F von x heißt dann das Bild von diesem klein x unter der Abbildung F.

Und zu einem y aus B könnte es jetzt also ein x geben mit F von x = y. Zu x zu y aus B oder ich wollte eigentlich hier auch wirklich direkt so starten. Also zu einem y, was von der Form ist f von x, heißt x ein Urbild unter F. Also x ist jetzt, ja, ein Element aus dem Definitionsbereich, was auf dieses y gebildet wird. Hier sollten wir schon genau drauf schauen. Also jedem x aus A wird genau ein F von x zugeordnet, insofern können wir von dem Bild sprechen von diesem klein x. Das Bild hier ist der bestimmte Artikel. Aber einem y aus B, das könnte ja gleich F von x1 sein, aber vielleicht auch gleich F von x2. In die andere Richtung haben wir jetzt zunächst mal keine Zuordnung. Wir suchen jetzt erst hinterher, okay, ja, diese y, diese haben die Form von x und das x ist dann ein mögliches Urbild davon, aber eben unbestimmte Artikel, ein Urbild von y unter F.

Ja, eine Abbildung ist also genau das, was hier steht, eine Zuordnung von einer Menge, die dann Definitionsbereich heißt, in eine andere Menge mit dieser Eigenschaft, zu jedem x aus A gibt es genau ein F von x in B. Und dementsprechend diese Menge A und B, die gehören auch zwangsläufig dazu. Also zu einer Abbildung müssen immer Definitions- und Bildbereich angegeben werden. Ja, denn so haben wir da drüber beschrieben, ich will jetzt nicht genau sagen definiert, aber beschrieben, was eine Abbildung sein soll. So ist z.B. wenn man einfach nur hinschreibt F von x = x², dann ist das noch keine keine Funktion, noch keine Abbildung, denn wir wissen jetzt ja nicht, sollen wir das gerade betrachten als Abbildung von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen oder von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen, dann hätten wir viel weniger Elemente. Also so, ja, können wir das noch nicht als Abbildung betrachten. Ist das hier allein noch keine sinnvolle Definition einer Abbildung.

Ja, eine Abbildung, da brauche ich zwei Mengen A und B. Die können natürlich auch die gleiche Menge sein, aber ich brauche zwei Mengen und dann eine Zuordnung von einer Menge in die andere Menge. Beispiele listen wir einfach ein paar Sachen auf. Wie könnte sowas jetzt aussehen? Ist einfach der Sinn von diesen Beispielen, um eine, ja, Vorstellung von diesem Begriff zu kriegen. Also nehmen wir doch als Menge A jetzt wieder sowas leichtes wie die Menge mit nur Zahlen 1, 2, 3, die heute mehrmals auftauchte und nehmen wir als B auch einfach nur eine kleine Zahlenmenge, nehmen wir die Zahlen 4 und 5. Und dann könnte ich jetzt eine Abbildung hinschreiben von A nach B. Dazu muss ich jetzt also jedem, jeder von diesen Zahlen genau eine von denen hier zuordnen und, ja, habe ich natürlich mehrere Möglichkeiten, aber wir könnten z.B. die Abbildung benutzen, definiert über, indem ich jetzt konkret hinschreibe, was ist F von 1, was ist F von 2, was ist F von 3? Ich könnte F von 1 auf 4 setzen, F von 2 auf 4 setzen und F von 3 auf 5 setzen. Hauptsache, ich habe jedem hiervon genau eines hiervon zugeordnet, dann habe ich eine Abbildung hingeschrieben.

Ich könnte aber auch folgende Abbildung hinschreiben. Nehmen wir als zweites Beispiel eine Abbildung von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen. Und, ja, kleine Schwierigkeit, die mir in der Präsenzvorlesung aufgefallen ist oder die da aufgekommen ist, wenn da immer die Abbildung einfach klein F heißt, ne? Also da muss man im Kopf immer immer im Zusammenhang denken. Sind wir gerade in so einem allgemeinen Kontext, wo F steht für irgendeine Abbildung und wir sagen, für diese Abbildung haben wir bestimmte Eigenschaften oder was auch immer, oder legen legen Wort legen Vokal kabelen fest, oder ist das F in so einem Beispiel? Ne, muss natürlich immer schauen, wo sind wir hier gerade eingeordnet? Ist das F in diesem Beispiel jetzt ganz konkret diese Abbildung mit ganz konkret diesen Mengen und diesen Werten? Ne, also das ist eine kleine Schwierigkeit, die da auftaucht, wenn man Mathematik macht, dass die Buchstaben, man muss immer schauen, wo befinde ich mich gerade. Ne? Okay.

Zweites Beispiel einer Abbildung, die jetzt hier auch eben einfach F heißt, von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind ein bisschen zu viele, um jetzt hier einfach so alle alle Bilder von Elementen aufzulisten. Also nehmen wir doch eine Abbildungsvorschrift, wie man sagt, also auf was wird das klein x abgebildet? Könnten wir jetzt irgendwas bauen. Wir machen mal als Beispiel x hoch 3 + 2x. Mit reellen Zahlen kann ich ja in dieser Form rumrechnen. Also ist das eine mögliche Abbildungsvorschrift und damit insgesamt eine mögliche Abbildung. Und wie gesagt, wenn die Räume R oder C Körper sind der reellen Zahlen, sowas, dann sagt man auch meistens, das ist jetzt eine Funktion. Okay, Funktion von R nach R, x wird abgebildet auf x hoch 3 + 2x. Aber für uns, äh, genau in dieser Woche, in dieser Vorlesungsreihe, tauchen dann eher Abbildung zwischen solchen Zahlenbereichen auf, vielleicht Z und N.

Wir könnten nehmen, eine ganze Zahl wird abgebildet auf ihr Quadrat. Also ich möchte eine Abbildung von Z nach N hinschreiben, indem ich eine ganze Zahl nehme, die heißt jetzt hier auch n, ne? Hier kann ich mir eigentlich Buchstaben aussuchen, den ich haben will, ne? Ich habe jetzt hier mal n geschrieben, wird abgebildet auf n Quadrat. Und für ganze Zahlen, das Quadrat immer größer gleich 0 ist, sollte aufpassen. Wir hatten ja vorher darüber geredet. Machen wir hier N0. N wird abgebildet auf n Quadrat.

Viertes Beispiel ist ein allgemeingehaltenes Beispiel, was wir wieder benutzen, um noch so nebenbei weitere Begrifflichkeiten, Notationen einzuführen. Also im vierten Beispiel haben wir eine beliebige Menge. Also es startet wieder so mit, ist sei A eine Menge und zwar jetzt eben nicht eine konkrete wie in Beispiel 1, sondern es sei A eine Menge. Dann hatten haben wir immer folgende Abbildung auf A, die sich Identitätsabbildung nennt. It Index A, IDE von der Menge A in die Menge A, nämlich jedes x wird einfach auf sich selbst abgebildet. Könnten uns fragen, wofür brauchen wir das, aber ja, brauchen wir tatsächlich in Argumenten. Also bei jeder Menge haben wir immer die Möglichkeit, ja, von dieser Menge in sich selbst alles auf sich selbst abzubilden, klein x auf x. Und das nennt sich dann die Identitätsabbildung auf A. Und da habe ich also dieses Beispiel missbraucht, um hier noch einen weiteren Begriff, äh, und eine Notation dafür einzuführen. Identitätsabbildung auf A.

Ja, damit soll unsere Beispielliste beendet sein und wir kommen zum, ja, weiteren Punkt in der Vorlesung. Wir wollen über Bilder und Urbilder von Teilmengen reden, wenn wir Abbildung haben und das ist jetzt hier wiederum eine kleine Zwischenüberschrift, der noch weitere Begrifflichkeiten in unserem Grundlagenkapitel eingeführt werden. Bilder, Urbilder von Mengen. Und zwar haben wir ja vorher hier schon in unseren Begrifflichkeiten eigentlich die Wörter benutzt, Bild und Urbild. Das Bild von einem klein x, also das war dann Bild und Urbild von Elementen. Von einem klein x gab es genau ein Bild und von einem y = F von x könnte es möglicherweise mehrere Urbilder geben. Und jetzt wollen wir also über Bilder und Urbilder von Mengen reden. Das heißt, wir starten wieder so ganz allgemein gehalten mit, ist sein A und B Mengen und und es sei F eine Abbildung von A nach B. Dann wollen wir definieren das Bild nicht nur von einem klein x, sondern gleich von der ganzen Teilmenge A Strich von A. Also für eine Teilmenge A von A. Ja, das war unsere Symbolik für Teilmenge. Ich hatte gesagt, manche lassen da unten den Querstrich weg, ist egal. Die Teilmenge heißt also A Strich. Heißt dann jetzt, hatten wir vorher bei der Abbildung natürlich immer F von x, aber wir wollen jetzt auch ein F von der ganzen Menge A Strich haben. Das wird dann wieder eine Menge werden und ganz nahliegend, es wird die Menge aller F von x werden, wenn x jetzt aber nur aus dieser festen Teilmenge A Strich kommt. Also mit unserer Möglichkeit, Mengen aufzuschreiben, soll das diese Definition sein, deswegen hier Doppelpunkt ist gleich, ne? Per Definition wird das jetzt festgelegt. F von A Strich soll sein die Menge aller F von x, wobei x aus der Menge A Strich kommt. Das nennt sich dann das Bild der Menge, das Bild von A Strich unter F.

Und wir haben auch für Teilmengen aus dem Bildbereich, Teilmengen, die sozusagen auf der rechten Seite leben, haben wir auch etwas, wie wir dem eine Teilmenge links zuordnen, nämlich das Urbild. Für eine Teilmenge B Strich von B, also eine Teilmenge des Bildbereiches, heißt dann und da gibt's folgende Notation F hoch -1 von B. Was jetzt zunächst mal noch nichts mit der Umkehrabbildung zu tun hat, über die wir später noch reden werden, die es vielleicht geben kann bei Abbildung. Das ist jetzt hier nur eine Symbolik. F hoch -1 von B soll sein, auch wiederum eine Menge und zwar jetzt eine Menge, die im Definitionsbereich, also links liegt. Und zwar, wir wollen alle x aus A nehmen mit der Eigenschaft, wenn ich F drauf anwende, dann lande ich ja irgendwo im Bildbereich B, aber ich soll in dieser konkreten vorgegebenen Menge B Strich landen. Und x, für die das erfüllt ist, die packe ich in eine Menge zusammen und diese Menge nenne ich das Urbild von B Strich unter F. Und mit diesen Begriffen, ja, wollen wir arbeiten. An die müsst ihr euch gewöhnen, mit denen wollen wir operieren. Und da haben wir natürlich zum einen Übungsaufgaben zu. Am Ende der Vorlesung blende ich das erste Übungsblatt ein. Zum anderen aber jetzt auch an dieser Stelle Beispiel, um uns das anzuschauen.

Beispiel. Ja, also wie gesagt, die Abbildung, die heißen eben einfach meistens F für Funktion. Also F jetzt hier ist wieder eine ganz konkrete Abbildung in meinem Beispiel. Das heißt, ich habe auch ganz konkrete Mengen A und B und, ja, wir um ein übersichtliches Beispiel zu haben, auch wiederum nur eine kleine endliche Menge von Zahlen. Also A die Menge der Zahlen 1 bis 5, natürliche Zahlen und B die Menge der natürlichen Zahlen 1 bis 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Und jetzt muss ich also, wenn ich sagen will, F soll da eine Abbildung von der Menge in die Menge sein, müsste ich hier also fünf Bilder von Elementen zunächst mal hinschreiben. F von 1, F von 2 und so weiter. Das will ich nur in einer Skizze machen. Also gegeben wie in folgender Skizze. Ja, wir wollen uns jetzt so diese Menge vorstellen. So sieht die eine Menge aus, so sieht der andere Menge aus und zwischen denen verläuft also die Abbildung F. Die Menge hat irgendwelche Elemente da drin als, ja, genau grafisch jetzt hier so als Punkte dargestellt. Die Menge A hat hier so fünf Elemente drin, das sollen also die Elemente von A sein, die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5. Und die Menge B hat sechs Elemente, also da liegen irgendwie sechs solche Punkte drin in dieser Menge und das sind also die Mengen, die Elemente von B, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Und anstatt aufzulisten F von 1 gleich so und so, wollte ich das jetzt hier eben so mit einer Skizze machen. Wir legen fest, wie soll die Abbildung aussehen. Es soll eins auf testen wir mal das, es soll eins auf eins abgebildet werden, also hätte ich hier gerne so einen Pfeil. Und es soll zwei auf drei abgebildet werden und dann wollte ich noch machen, vier auch auf drei abgebildet und drei soll auf fünf abgebildet werden. Ich hoffe, nicht zu viele Kreuzungspunkte hier eingebaut. Und fünf soll auf sechs abgebildet werden. Also so wollte ich die Abbildung hier, ja, über diese Skizze definieren. Auf der linken Seite steht die Menge A, der Definitionsbereich. Abbildung hieß, jedem Punkt links muss genau einer rechts zugeordnet werden. Das ist die Definition vom Wort Abbildung. Das heißt, das habe ich durch meine Pfeile erledigt. Von jedem Punkt links geht ein Pfeil zu genau einem Punkt rechts. Ja, und wir wollen das aber hier gerade nur benutzen, um die Worte Bild und Urbilder von Mengen zu üben.

Also dann sind z.B. wir können natürlich jetzt viele Teilmengen anschauen. Also nehmen wir doch mal folgendes. Was ist jetzt das Bild der Menge 1, 2, 3? Also wir haben jetzt wirklich als als Notation auch zur Verfügung, nicht nur F von 1, sondern auch F von der kompletten Menge, also F dann runde Klammern und dann da drin die ganze Menge 1, 2, 3. Na ja, da war die Definition aber sehr nahliegend, nämlich das ist die Menge aus den einzelnen Bildern der Elemente F von 1, F von 2, F von 3. Und jetzt könnte ich in meine Skizze schauen, was habe ich denn da jetzt gemacht? Ich habe eins auf eins abgebildet, 2 auf 3 abgebildet und 3 auf 5, wenn ich meine Pfeile noch halbwegs sehen kann. Also käme jetzt diese Menge hier heraus. Ebenso könnten wir uns anschauen, was ist das Bild der Menge 2 und 4? Und müssten dazu also genauso anschauen die Menge, die F von 2 enthält und F von 4 enthält. Und dann schauen wir wieder in unsere Skizze. Wie haben wir das jetzt hier gemacht? 2 wird abgebildet auf 3, 4 wird abgebildet auch auf 3. Das heißt also, die haben hier beide das gleiche Bild, die Zahl 3. Ja, wir hatten vorher darüber geredet, in einer Menge kommt jedes Element nur genau einmal vor, wenn es denn drin vorkommt. Also steht hier nur einmal die Zahl 3 jetzt in dieser Menge. Das Bild der Menge 2 und 4 ist die Menge, die nur aus der Zahl 3 besteht.

Ja, wir wollen auch den Begriff Urbild einüben. Was ist das Urbild von der Menge, die aus der 5 besteht? Also jetzt steht hier an dieser Stelle immer, wenn hier Urbild steht, steht hier immer eine Teilmenge von der Menge B rechts, ne? Aber könnten wir z.B. einfach nur die Menge mit der Zahl 5 nehmen und dann ist die Definition vom Urbild, die steht noch hier drüber. Jetzt suche ich alle x aus dem Definitionsbereich mit F von x liegt in dieser Menge. Also in diesem Fall, ich suche alle x mit F von x = 5. Ja, weil hier liegt ja nur die 5 drin. Ich suche alle x mit F von x = 5. Und, ja, machen wir das. Also wir suchen in der linken Menge im Definitionsbereich alle, die auf 5 abgebildet werden und das ist genau die Zahl 3. Also ist das die Menge mit der Zahl 3 drin. Ich könnte natürlich auch andere Urbilder testen. Was ist das Urbild der Menge, die aus der 3 besteht? Jetzt suche ich hier in A. Hier ist noch mal die Definition. Ich suche in A alle x mit F von x Element B, also alle x mit F von x Element hier drin, also alle x mit F von x ist gleich 3. Und da stellen wir fest, da gab's ja zwei Stück, nämlich 2 und 4. Also das Urbild dieser Menge besteht aus den Zahlen 2 und 4. Und wir könnten auch noch hinschreiben, was ist z.B. das Urbild der Menge, die nur aus der 2 oder machen wir, ja, doch, nur aus der 2 besteht? Da suche ich alle x aus A mit F von x = 2. Bei 2 landet aber kein Pfeil, also 2 wird nicht getroffen von dieser Abbildung. Das heißt, das Urbild hier hat keine Elemente x drin, ist also dann wiederum die leere Menge. Hier noch mal so nebenbei erinnert an diese Notation, leere Menge. Okay, das sind die Begriffe Bild und Urbild von Mengen. Bilder und Urbilder von Mengen. Und, ja, wie gesagt, hier dieses F hoch -1 beim Urbild ist wirklich nur eine Notation. Darf man jetzt noch nicht so direkt an Umkehrabbildung oder sowas denken.

Ja, wir haben noch ein letztes Thema in dieser ersten Vorlesung. Ich mache einen kleinen Gedankenstrich. Wir bleiben natürlich beim Grundlagenkapitel zur Abbildung, m, aber jetzt eben nicht mehr Bilder, Urbilder von Mengen, sondern noch ein weiterer Begriff, die hintereinander Ausführung von zwei Abbildung, die sogenannte Abbildungskomposition. Abbildungskomposition. Da wird die Situation jetzt gleich so sein, dass wir schon zwei Abbildung gegeben haben und bauen daraus eine dritte. Und das ist auf einem bestimmten allgemeinen Weg immer möglich und der wird auch wichtig für uns werden. Den müssen wir kennen. Also Abbildungskomposition.

Ja, wir haben zwei Abbildung gegeben und aber nicht vier Mengen, sondern drei Mengen, weil Definitions- und Bildbereich sollen an einer Stelle schon zusammenpassen. Also es seien A, B und C Mengen und F von A nach B eine Abbildung und G von B nach C eine weitere Abbildung. Also hier alles im Plural formuliert. Und es sein das Abbildungen, dann heißt g Kreis F. Wir führen da einen neuen, eine neue Operation sozusagen ein und jetzt eine Operation zwischen Abbildung. Also wir führen hier sowas wie einen Malpunkt oder, ja, so ein, nämlich so einen kleinen Kreis, g Kreis F. Und ich mache das mal gelb für unsere Definition. Soll wiederum eine Abbildung werden und die soll gehen von der Menge A in die Menge C. Wir haben ja die Abbildung, mit der wir gestartet haben, die passten hier irgendwie schon zusammen, nämlich, also wir haben den Definitionsbereich von F ist A, aber der Bildbereich von F ist genau der Definitionsbereich von G. Bildbereich von G ist dann dieses C. C und A erkennen wir hier wieder. B ist sozusagen verschwunden. Und wie sieht die Definition aus? Auf was wird ein klein x zugeordnet? Wir wenden erst das X kommt ja aus A. Das heißt, wir könnten das X kommt ja aus A, wenn das hier schon so da steht, ne? Das heißt, wir könnten erst F auf Anwenden auf das X, F von X. Das liegt dann in B. Das ist dann also ein Element im Definitionsbereich von G. Da können wir G drauf anwenden und landen dann in C. Und das steht ja auch hier. Es soll am Ende ein Element aus C herauskommen. Also lange Rede, hier ist die Abbildungszuordnung. X wird abgebildet auf G von F von x. Und das war noch kein Satz. Nämlich dann heißt das hier die hintereinander Ausführung, hintereinander Ausführung, schrägstrich, wie es schon da drüber steht, Komposition von diesen beiden Abbildungen F und G. Also Hintereinanderausführung, markiere ich hier auch noch mal, langes Wort, ist also jetzt dieses g Kreis F.

Ja, die Skizze dazu, die wir immer im Kopf haben sollen. Wie ist jetzt also genau, wie sieht das jetzt hier also skizzenhaft aus? Wir haben unsere drei Mengen A, B und C. Wir haben unsere Abbildung zwischen A und B oder von A nach B geht die Abbildung F. Von B nach C geht die Abbildung G. Und bisschen mehr Platz. So. Und jetzt könnte ich eine Abbildung bauen, die von A nach C geht, indem ich auf so einen klein x erst F anwende und dann G anwende. Und die Abbildung, die dann entsteht, die haben wir g Kreis F da drüber genannt. Also g Kreis F ist nun die folgende Abbildung, die von A direkt nach C geht. G Kreis F, wie sie in den Zahlen drüber steht, x wird abgebildet auf G von F von x. Ja, das heißt, wir müssen hier mit der Reihenfolge aufpassen. Und das soll der, das ist der Sinn dieser Skizze, dass man das so im Kopf hat. Also es wird ja erst das F angewandt und deswegen steht das F hier drinnen, am nächsten am x und dann wird das G angewandt. Und weil das dann eben so aussieht, erst wird F angewandt, dann G angewandt, ist das in gewisser Weise von rechts nach links, ne? Deswegen diese Notation. Diese Abbildung kommt heraus, wenn ich erst auf das X F anwende und dann das G. Von der Skizze her müssen wir dann aber das hier im Kopf haben. Hier vorne steht erst F und dann G. Und das was herauskommt, ist dann, wenn man so will, ein bisschen gedreht, g Kreis F.

Machen wir auch noch ein Beispiel dazu und das ist tatsächlich dann schon das Ende von dieser Vorlesung. Also diese Begriffe werden wie gesagt durch die Übung eingeübt. Ja, aber machen wir auch hier ein Beispiel zur Abbildungskomposition. Nehmen wir die Abbildung F von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Ich möchte aus meiner natürlichen Zahl die Quadratwurzel betrachten, ne? Also 2 auf Wurzel 2 abbilden, 3 auf Wurzel 3, 4 auf 2 abbilden und so weiter. Von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Und dann schreiben wir irgendeine Abbildung hin von den reellen Zahlen wieder in die reellen Zahlen. X wird abgebildet auf x² + X, die Parabel-Funktion oder was auch immer. Könnten wir ja anschauen. Und jetzt könnte ich daraus eine Abbildungskomposition bauen. G Kreis F, eine Abbildung, die von N ausgeht, weil ja die Abbildung F von N ausging, ne? Und auf die Elemente soll ja zuerst die Abbildung F angewandt werden. Das kann ich machen, aus alle für alle Elemente x aus der Menge A. Also geht diese Abbildung, die Hintereinanderausführung, geht auch von der Menge N aus. Und die Situation hier in dem Beispiel ist so, wie es da oben ist, dass der Bildbereich der Abbildung F ist, aber genau der Definitionsbereich der Abbildung G. Also, wenn ich F von x schon habe, also auf das x schon F angewandt habe, könnte ich doch darauf dann G anwenden und lande dann in C. Und das steht ja hier. Es soll am Ende ein Element aus C herauskommen. Also in diesem Fall auch wieder einfach nur eine reelle Zahl. Steht hier. Das ist also unsere Menge C, die hier stehen muss. Wiederum kommen reelle Zahlen heraus. Müssen uns also zum einen jetzt hier so nach und nach immer an dieser Abbildungsnotation gewöhnen, ne? Mit diesem F Doppelpunkt Definitions-Bildbereich und dann hier ein anderer Pfeil, ne? Nämlich dieser, es wird abgebildet auf irgendwas, Pfeil, der dann hier zwischen den Elementen läuft. Okay.

Das ist zunächst mal zwischen welchen Mengen befindet sich diese Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen und wie sieht jetzt die Abbildungsvorschrift in diesem Fall aus? Na ja, hier oben stand ja die Abbildungskomposition, da wird dann erst das F angewandt und dann das G. Weil das jetzt hier natürliche Zahlen im Definitionsbereich sind, schreibe ich klein n, aber dürfte auch x schreiben, ne? Also erst wird F angewandt, also aus dem N wird Wurzel n, aber das wiederum wird dann in die Abbildung G eingesetzt. Also darauf wiederum wird dann G angewandt. Das heißt also, ich kriege statt dem N, kriege ich Wurzel n, aber dieses Wurzel n kriege ich eingesetzt in das, was hier steht, nämlich für das X. Also Wurzel n Quadrat + Wurzel n. Wurzel n Quadrat für unsere natürlichen Zahlen, die ja nicht negativ sind, ist das also wieder gleich n. Also steht hier n + Wurzel n. Also die Abbildungsvorschrift, die dann herauskommt, die ist folgende Abbildung von N nach R. Die natürliche Zahl klein n wird abgebildet auf n + Wurzel n. Erhalten habe ich das eben, indem ich in die Abbildung G jetzt F von N hier unten war es ein N, kein X, F von N einsetze. Also statt x hier Wurzel n einsetze und gucke, was dann passiert. Und so, ja, das ist das Konzept der Abbildungskomposition, was wir brauchen werden. Und, ja, wie gesagt, hier die Warnung mit der Skizze, dass man bei dieser Notation immer ein bisschen aufpassen muss. Also dieses g-Kreis F, schreibe ich hier vielleicht auch noch mal dazu, muss man also am besten von rechts nach links lesen, dass erst das F angewandt wird und dann das G. Und warum das aber trotzdem sinnvoll ist von der Notation, ist eben, sobald man hier an diese Elemente denkt, ne? An das auf das X wird ja erst F angewandt und dann wird es eingesetzt in das, was außenrum steht, die Abbildung G. Also so taucht das hier auf und deswegen diese Notation. Aber wenn man jetzt, äh, ohne den elementweisen Hintergrund irgendwo g-Kreis F sieht, dann muss man also daran denken, ah, das gehört also zu diesem Bild, was ich hier leider gerade fast weggemacht habe, wo erst F angewandt wird und dann G angewandt wird. So entsteht dann hier g-Kreis F.

Okay, das waren also schon einige Begrifflichkeiten zum Thema Abbildung und vorher zum Thema Mengen in dieser ersten Vorlesung. Gab es jetzt überhaupt keinen Beweis, weil es ja auch keine Sätze gab. Es gab nur Begrifflichkeiten und Formalismen. Die Theorie, die wir uns anschauen wollen, die beginnt dann also ab morgen, ab der zweiten Vorlesung. Jetzt blende ich hier für die, die das mitmachen wollen, auch direkt das erste Übungsblatt ein, wo es eben einfach darum geht, die Begriffe von heute zu Mengen, kartesische Produkte, Potenzmengen und so ein bisschen an kleinen Beispielen einzuüben und auch die Begriffe zur Abbildung, hier taucht die Abbildungskomposition auf, an kleinen Beispielen selbst zu üben. Und es gab noch eine vierte Aufgabe, welche der folgenden Aussagen gelten denn bei Potenzmengen, wenn ich sowas betrachte. Okay, damit ist die erste Vorlesung beendet. Ich scrolle noch einmal kurz zurück zu dem Anfang, zur Einordnung, wo wir hier also stehen. Wir haben das Thema vom diesjährigen Schnupperstudium: Unendliche Mengen und ihre Mächtigkeiten. Vorlesung 1 legt aber nur die tischen Grundbegriffe Mengen und Abbildung oder startet damit, diese, ja, einzuführen. Und diese Vorlesungsreihe besteht aus fünf Vorlesungen. In der zweiten Vorlesung geht's um injektiv und subjektiv und bijektiv und dann kommen wir danach, also erst zu den Kernthemen von unserem Thema, unendliche Mengen und ihre Mächtigkeiten. Ja, vielen Dank fürs Zuhören und falls ich mich irgendwo verschrieben habe oder sonstiges, bitte einfach in die Kommentare schreiben. Vielen Dank.