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Qué tal amigazos, ¿cómo están? Espero que se encuentren súper bien. Hoy vamos a estudiar la función lineal y primero veremos una pequeña introducción donde hablaremos de la definición y características. Luego conoceremos las distintas formas de representar una función lineal. Continuaremos identificando los elementos, como son las variables, la pendiente y el término independiente, y en cada uno de estos apartados realizaremos actividades de tal manera que los conceptos queden claros. Así que la clase va a estar muy interesante.
Comenzamos. Bien, una función lineal es una función polinómica de grado 1, cuya representación algebraica es la siguiente: f(x) = mx + b. Aunque en lugar de f(x) también podemos ubicar la variable y, entonces nos queda y = mx + b.
Ahora, la representación gráfica de una función lineal es una línea recta que se grafica en el plano cartesiano. De hecho, todas las funciones se grafican en el famoso plano cartesiano, que está compuesto por dos ejes: el eje de las abscisas o x, y el eje de las ordenadas o y. Entonces, como ya se mencionó, la gráfica de esta función es una línea recta que puede ser creciente o decreciente. En este momento estamos ubicando una gráfica creciente. Así que, hasta el momento, hemos visto la definición, la representación algebraica y la representación gráfica.
Sin embargo, a una función lineal también la podemos representar mediante tabla de valores y a esto lo conocemos como el registro tabular. Y si nosotros utilizamos algún software o programa como GeoGebra para graficar las funciones, estamos utilizando la representación dinámica.
Y, ¿qué les parece si en este momento conocemos cómo identificar los elementos de la función lineal? Entonces, por un lado, tenemos las variables, empezando con f(x) o y, que ya quedamos que es lo mismo, que corresponde a la variable dependiente. En cambio, x es la variable independiente. Y aquí hay que mencionar algo importante: esta función es de grado 1, lo que significa que la variable x, la variable independiente, tiene exponente 1. Recordemos que el exponente 1 no se escribe, pero por esta razón la función es de grado 1 o primer grado.
Continuando con los elementos, tenemos la famosa pendiente, que es el grado de inclinación respecto al eje de las abscisas, y finalizamos con b, el término independiente, que es el punto de intersección con el eje de las ordenadas, es decir, con el eje y. Entonces, conocer estos elementos y, sobre todo, saberlos identificar es demasiado importante porque nos servirá para analizar el comportamiento de la función lineal. Y bueno, más adelante veremos a detalle qué representa cada uno de los elementos, porque en este momento vamos a realizar la primera actividad. ¿Qué les parece?
Esta actividad consiste en modificar el valor de la pendiente y el término independiente, y partimos recordando la representación o registro algebraico de la función lineal f(x) = mx + b. Vamos con el primer ejercicio: f(x) = 3x + 1. Miren acá, la pendiente es el número que acompaña a la variable x. En cambio, el término independiente, por así decirlo, es el número que se encuentra solo. Si nosotros observamos esta función, nos damos cuenta que la constante o número que acompaña la variable x es 3, lo que significa que en este caso la pendiente equivale a 3. Escribimos: muy bien. Y bueno, el término independiente es 1. B es igual a 1. Muy sencillo, ¿no? Simplemente recordemos que la pendiente acompaña a x y el término independiente, el número que está solo.
Sigamos con la siguiente función: y = 4x - 5. La pendiente es 4 porque acompaña la variable. Copiamos 4. m = 4. Y el término independiente en esta ocasión es -5, el número que se encuentra solito.
Por acá tenemos la función y de x, que al final viene a ser lo mismo que y de x es igual a -2x. Está claro que la pendiente en este caso es -2 porque -2 multiplica a x. Escribimos -2. Pero, ¿qué sucede? No aparece el término independiente. Cuando eso pasa, significa que acá este término está sumando a 0, porque el 0 no nos suma ni nos resta. Entonces, concluimos que b es igual a 0. El término independiente en esta función es cero. Por favor, nunca lo olviden. Cuando no se visualiza el valor de b, significa que equivale a 0.
Veamos qué sucede con esta función: y = 4 + 7x. Cuidado con pensar que la pendiente es 4 y el término independiente es 7. No, eso es incorrecto. Escuchen, muchachos, cuando estamos iniciando con este tema de identificación de los elementos de la función lineal, se recomienda ordenar los elementos y lo haremos por acá para que ustedes puedan comprender. Entonces, copiamos la variable y igual. Y primero debe escribirse la pendiente acompañada de la variable x, es decir, 7x. Luego viene el término independiente, que para este caso es 4 positivo. Y acá es mucho más sencillo identificar el valor de la pendiente. ¿Cuánto es? Pues 7. Y el término independiente equivale a 4. Claro está que cuando ustedes ya tengan práctica, tal cual está escrita la función, ya pueden identificar los elementos de una manera sencilla, pero por el momento vamos paso a paso.
¿Y qué sucede con esta función? Ustedes dirán, pero profe, no aparece la variable x. Bueno, a esta se le conoce como una función constante. Y de seguro ustedes van a tener la interrogante: entonces, ¿a cuánto equivale la pendiente? Miren, vamos a reescribir esta función por acá: y es igual. Debido a que no aparece la pendiente, significa que es 0. 0x, porque si multiplicamos 0 por x, nos queda 0, y al final el cero no hace falta escribirlo. Luego debemos copiar -6. Así que acá ya podemos distinguir el valor de la pendiente y el valor del término independiente. m es igual a 0 y b es igual a -6. Y con esto, prácticamente hemos terminado con la primera actividad. Espero que les haya parecido interesante.
Bueno, en este punto vamos a hablar un poquito más a detalle sobre la pendiente. Como ya sabemos, su símbolo es la letra m minúscula y es el grado de inclinación de la recta respecto al eje de las abscisas o eje x. Y se pueden dar tres casos: que la gráfica sea creciente, constante o decreciente. Esto depende del valor de la pendiente.
Si la pendiente es un número positivo, es decir, la pendiente es mayor a cero, la gráfica es creciente y la podemos representar de la siguiente manera. Por acá tenemos un ejemplo: una recta creciente. Ahora, si la pendiente m es igual a cero, significa que la recta es constante. Por acá tenemos un ejemplo de cómo se vería la representación gráfica: prácticamente se trata de una recta horizontal. Y el tercer caso se da cuando la pendiente tiene un valor negativo, es decir, la pendiente es menor a cero. Lo que sucede es que la recta será decreciente. Muy bien.
Y antes de continuar, veamos un pequeño resumen: si la pendiente es mayor a cero, la recta es creciente. Si la pendiente es igual a cero, la recta es constante. Y si la pendiente es menor a cero, la recta es decreciente.
Ahora hablemos del término independiente, cuyo símbolo es la letra b minúscula. Es el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas, es decir, con el eje y. Analicemos las siguientes gráficas. Nos ubicamos en el eje y, en el eje vertical, y vemos por qué punto pasa la recta. Y bueno, en esta primera gráfica observamos que la recta corta por un valor positivo al eje y. Este valor, amigazos, que puede ser uno, dos, tres, corresponde al valor de b. Es decir, si b es igual a 5, significa que la recta pasa por y = 5. Por acá tenemos el término independiente para una función constante. Y en esta tercera gráfica también vemos que b es un valor positivo en y.
Ahora pasemos a la siguiente actividad para comprender mucho mejor estos conceptos. Bueno, en esta actividad muy interesante, lo que vamos a hacer es un bosquejo de la gráfica de cada una de estas funciones. Atención, que la gráfica con exactitud aún no la podemos encontrar porque para ello debemos elaborar una tabla de valores o algunos de los métodos que más adelante les voy a mostrar, pero al conocer y al identificar la pendiente y el término independiente, sí podemos realizar un bosquejo muy aproximado de la gráfica real.
Entonces, empecemos. Primero, como ya vimos en la sección anterior, la pendiente nos indica si la gráfica es creciente, decreciente o constante, dependiendo del signo de la pendiente. Entonces, en esta función observamos que la pendiente tiene signo positivo. Se trata de una recta creciente, lo que significa que su comportamiento es de la siguiente manera. Miren, una gráfica creciente. Algo esencial que deben conocer es que esto de constante, creciente o decreciente recibe el nombre de monotonía y se analiza de izquierda a derecha. Y bueno, ya analizamos la pendiente. Ahora analicemos el término independiente. Como les mencioné, este valor nos indica el punto de corte de la recta con el eje y. En este caso, nos está indicando que la recta pasa por -1 en y. Entonces, la vamos a bajar hasta encontrarnos con -1. Observen muy bien. Y así tenemos el bosquejo de la primera función. Como acotación, al término independiente también se le conoce como ordenada al origen. Y listo, hemos terminado con el primer ejercicio.
Pasemos a la siguiente función. Primero, analizamos la pendiente. En este caso, el valor es -2, un número negativo, lo que significa que la recta es decreciente. La gráfica tendrá el siguiente comportamiento. Como les mencioné, la monotonía se analiza de izquierda a derecha y vemos que la gráfica de izquierda a derecha es decreciente. Ahora nos vamos con el término independiente. Es 4 positivo, significa que la gráfica corta en el eje y por el valor de 4 positivo. En este caso, debemos subir nuestra gráfica hasta el valor de 4. Excelente. Y así es como queda el bosquejo de la segunda función.
¿Qué sucede acá? y = -3x. Está claro que la pendiente es -3, un número negativo, y ya sabemos que la monotonía de esta gráfica es decreciente. Entonces, ubicamos nuestra recta. Pero como ya vimos en la actividad número uno, cuando acá no tenemos ningún valor, significa que el término independiente equivale a 0. En conclusión, la gráfica debe pasar por el origen de coordenadas, ya que en este caso, en el origen de coordenadas, y es igual a 0. Así que bajamos nuestra querida función. Muy bien. Y vean esta maravilla, así se comporta nuestra función. Por favor, nunca se olviden que al no tener el término independiente, significa que la gráfica pasa por el origen de coordenadas.
Finalmente, tenemos y = -1. Y como ya estudiamos, se trata de una función constante. La pendiente es igual a cero porque no se visualiza la variable x. Y cuando la pendiente es igual a cero, se trata de una recta horizontal. Pero atención, el término independiente es -1, lo que significa que nuestra recta debe pasar o cortar por -1 en y. Por lo tanto, debemos bajar la gráfica hasta llegar a -1. Excelente. Y es así como se representa gráficamente la función constante y = -1. Pero miren, muchachos, aquí ya no se trata de un bosquejo, sino de la gráfica real, porque para graficar una función constante no hace falta tabla de valores.
Y por hoy hemos terminado con la primera clase sobre función lineal. Por favor, estar atentos a las siguientes clases porque van a estar muy, pero muy interesantes. Sin más, continuaremos practicando, repasando, estudiando. En el caso de que tengan alguna duda, déjenlo en los comentarios. Cuídense mucho y amor y paz.
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