Transcription
Bonjour à tous, aujourd'hui on va parler d'une formule peu connue, mais qui fait pourtant partie des équations les plus influentes qui soit. Et pour une fois, non, on ne va pas parler de physique fondamentale, mais de mathématiques financières, puisqu’il s’agit de la formule de Black-Scholes.
La formule de Black-Scholes est une équation qui, depuis les années 70, a profondément transformé le secteur de la finance de marché, et a donc eu un impact considérable sur l'économie de ces dernières décennies. Un impact qui se chiffre à l’heure actuelle en milliers de milliards de dollars.
Aujourd'hui on va donc essayer de comprendre ce qu'est cette mystérieuse formule, à quoi elle sert, comment on l’établit. Et surtout le lien fascinant qu'elle entretient avec certains concepts essentiels de physique statistique.
[jingle]
Imaginons une situation complètement fictive. Vous êtes boulanger, et l'ambassadeur du coin vient vous commander 20 000 croissants pour une réception. C'est une super opportunité pour vous, vous lui faites un devis, qu'il accepte. Seul point particulier : la réception aura lieu dans un an. Oui, l’ambassadeur est prévoyant. Le problème c'est que vous ne pouvez pas préparer dès maintenant les croissants pour dans un an, il faudra le faire maximum quelques jours avant. Sauf que vous avez déjà fixé le prix sur votre devis, et peut-être que d'ici un an, le coût des matières premières nécessaires aura beaucoup changé. Disons qu'actuellement la tonne de blé coûte environ 200€.
[0 HISTORIQUE]
Mais vous savez que dans les années passées, le cours du blé a varié, et donc impossible de prévoir combien il coûtera exactement dans un an. Si ça reste autour de 200€, ça va aller. Mais si le coût du blé augmente trop d'ici l’échéance, comme vous avez déjà négocié le prix des croissants, vous risquez fort de vous retrouver avec une opération déficitaire. Ca serait un peu embêtant !
Vous décidez donc d'aller voir votre banque pour trouver une solution, et celle-ci vous propose une sorte d’assurance. Le prix actuel du blé sur le marché est de 200€ la tonne; eh bien si dans un an celui-ci a significativement augmenté, et qu’il est supérieur à disons 220€, la banque s’engage à vous le fournir quand même à 220€, pas plus. C'est plutôt avantageux pour vous comme idée.
[1 SCENARIOS]
Voici l’historique du prix sur l’année qui vient de s’écouler. Si pour l’année à venir, le prix du blé baisse sur le marché, tant mieux pour vous, la matière première vous coûtera moins cher que prévu. S’il augmente, mais qu'au bout d’un an il est en-dessous de 220, vous ferez moins de bénéfice avec vos croissants, mais ça va encore. En revanche si le prix du blé sur le marché augmente fortement et dépasse 220, la banque s’occupe de vous le fournir. Même si le prix de marché est 250 voire 300 ou 400 euros : peu importe, elle ne vous le fera payer que 220€. Donc vous êtes couvert en cas de hausse importante du prix du blé.
Évidemment cette proposition a un coût, rien n’est gratuit : vous allez devoir verser dès maintenant une somme fixe à la banque, afin de bénéficier de cette couverture. C’est comme de payer une prime d'assurance. Et la question cruciale est la suivante : combien la banque doit-elle vous faire payer pour ça ?
Vous trouvez peut-être cette question anecdotique, mais il s’agit en fait d’un cas spécifique d'un problème de finance extrêmement important : celui de l'évaluation du prix des options, ou pricing des options. Ce service d’assurance financière que vous propose la banque avec le blé, c'est en effet ce qu'on appelle une option de type "call". Une option call, c’est un contrat qu’on achète en payant d’avance une prime fixe, et qui offre la possibilité d'acheter un produit à une certaine date dans le futur, mais à un prix fixé d’avance. Ici le contrat était pour une tonne de blé dans un an, et le prix fixé d'avance c'était 220€. C’est ce qu’on appelle le prix d'exercice de l’option.
[2 CALL]
Si quand on arrive à la date donnée, le cours du produit sur le marché est supérieur au prix d'exercice, le bénéficiaire va en général décider d'exercer l'option. C'est-à-dire qu’il demande à la banque qui lui a vendu l'option d’honorer son engagement, et donc de lui vendre le produit au prix d'exercice. Ici la banque sera obligée contractuellement de vendre une tonne de blé au boulanger pour 220€, et ce quel que soit le cours du blé sur le marché. Mais si le cours du blé sur le marché est inférieur à 220€, là le boulanger a intérêt à acheter sur le marché et à ne pas exercer l'option. L’option va simplement expirer, un peu comme une assurance qui n'aurait servi à rien. Une option call, c’est un droit d’acheter à une certaine date à un certain prix, mais ça n'est pas une obligation. Le détenteur est libre d'exercer ou pas l'option, et donc de se rendre acquéreur ou pas. C’est pour ça qu’on appelle ça une « option ».
A l'opposé de ces options "call", il existe des options qu'on appelle "put", et qui permettent cette fois de faire l’inverse : de vendre un produit à une certaine date, et à un prix fixé à l'avance. Et là le même principe s’applique.
[2 PUT]
Si le prix de marché est inférieur au prix d'exercice, le détenteur aura intérêt à exercer l'option pour écouler son produit à un prix plus avantageux que s'il vendait sur le marché. Ca permet par exemple de s'assurer contre une baisse des prix, si on sait qu'on aura une marchandise à écouler à une date future. Et si le prix de marché est resté supérieur au prix de l’option, le détenteur vendra sur le marché sans exercer l’option.
Il existe encore d'autres types d'options, et de façon générale, celles-ci ne portent pas que sur les matières premières, comme le blé, mais peuvent aussi porter sur des devises ou des actions. Le produit sur lequel porte l’option s’appelle l’actif sous-jacent. Et se procurer des options, c’est une manière pour l’acquéreur de l’option de faire face aux incertitudes, et de se couvrir face aux éventuels risques de fluctuations imprévisibles des cours, ou des taux de change. Et donc la grande question que l'on s'est posée dans le cas du blé, c'est : comment fixer le juste prix d'une option ? Comment la banque, ou l'institution financière qui va émettre l’option, peut-elle décider de la valeur de cette option ?
Pour déterminer cela, on peut déjà se demander combien ça va lui coûter quand il faudra honorer son engagement. Pour faire simple, imaginons pour commencer qu'on ne parle pas d’une option financière, mais plutôt d’une assurance incendie sur un logement. Comment calculer le coût d’une assurance, ce qu’il faudra débourser pour couvrir l’éventuel sinistre ?
[3 INCENDIE]
Pour ça, on peut estimer la probabilité qu’un incendie se produise dans le logement concerné au cours de l’année, disons 0.1%. Puis on peut regarder la valeur du logement, disons 100 000 euros. Dans 99.9% des cas le logement ne brulera pas et ça coûtera 0 à la banque. Dans 0.1% des cas il faudra rembourser le logement et ça coûtera 100 000 euros. Et donc en moyenne, ça coûtera 0.1% fois 100 000 c’est à dire 100 euros par logement assuré. Ce raisonnement en moyenne montre combien cela va coûter à la banque de fournir ce contrat d’assurance. Si la banque le fait avec un grand nombre de clients et de logements, elle peut s’autoriser ce raisonnement « en moyenne » comme base pour fixer la valeur de la prime d’assurance.
Ca c'était pour un risque d’incendie, mais revenons au cas d’une option call sur par exemple le prix du blé. C'est plus compliqué car ce n’est pas binaire comme l’incendie que j’ai imaginé. Il peut se passer différentes choses.
[4 COÛT]
Si à échéance le cours du blé est inférieur au prix d’exercice de 220€, l’option ne coûtera rien à la banque, puisque son détenteur n’aura aucun intérêt à l’exercer. Mais si le cours du blé termine au dessus de 220€ et que le détenteur exerce l’option, la banque sera contrainte de lui vendre une tonne de blé à 220€, donc à un prix inférieur à celui du marché. Si la banque se procure la tonne sur le marché, cela lui coûtera la différence entre les deux : et donc d’autant plus cher que le cours dépasse 220€. Pour estimer le coût moyen de l’option pour la banque, il faut donc pouvoir tenir compte de tous les scénarios possibles.
Pour ça, regardons déjà comment le cours du blé a varié par le passé.
[5 HISTORIQUE]
Imaginons qu'il ait en gros cette allure-ci sur les 5 dernières années. Ces variations ont l'air essentiellement aléatoires, donc impossible de savoir avec certitude ce qu'il adviendra dans l’année à venir.
L’évolution d’un cours de bourse est par nature imprédictible, et c’est ce que mathématiquement on appelle un processus stochastique. Parfois ça monte, parfois ça descend, sans logique apparente. Et ça ressemble beaucoup à ce qu’on appelle en physique, un mouvement brownien.
[jingle]
Le mouvement brownien, cela désigne à l’origine le mouvement, en apparence totalement aléatoire, que subissent des petites particules immergées dans un fluide. Il a été décrit pour la première fois en 1827 par Robert Brown, alors qu’il observait au microscope des grains de pollen dans l’eau. En 1905, Albert Einstein en a fourni une description théorique, en proposant que ce mouvement erratique soit dû aux collisions aléatoires des molécules d’eau avec les particules en suspension. Une interprétation confirmée quelques années plus tard par les expériences du français Jean Perrin, ce qui a permis de donner du crédit à l’idée que la matière était faite d’atomes et de molécules, et qui a valu à Jean Perrin le prix Nobel en 1926.
[MICROSCOPE]
Ici j’ai tenté une petite mise en évidence expérimentale du mouvement brownien avec du lait observé au microscope. Et les particules que l’on distingue sont de minuscules gouttelettes de graisse et de protéines en suspension. On voit bien leur mouvement erratique.
Le modèle mathématique le plus simple du mouvement brownien, c’est celui dit de la marche aléatoire.
[6 WALK]
Par exemple en 2 dimensions, on imagine qu’une particule donnée se trouve dans une des cases d’une grille, et qu’à chaque instant, la particule saute sur une des cases voisines tirée au hasard. Une chance sur 4 d’aller au-dessus, 1 chance sur 4 d’aller en-dessous, et pareil à droite et à gauche. Avec ce genre de modèle très simple, la particule suit une trajectoire complètement erratique qu’on appelle donc une marche aléatoire. On voit que plus le temps passe, plus la particule semble se balader loin, mais en revenant parfois et en restant en moyenne autour de sa position initiale.
Avec une seule particule, on ne comprend pas forcément ce qu’il se passe, mais imaginons que j’en dépose un très grand nombre au centre, et que chacune suive sa trajectoire en marché aléatoire.
[7 WALK MANY]
On voit qu’il se forme comme une tâche qui s’étale, et c’est exactement ce qu’il se passerait si on déposait par exemple une goutte de colorant au milieu de l’eau. Sur un grand nombre de particules, la marche aléatoire reproduit un phénomène de diffusion.
Là vous allez me dire : c’est très joli mais quel rapport avec la finance et les options ? Eh bien on vient de voir un mouvement brownien en 2 dimensions, mais les cours de bourse ressemblent beaucoup à des mouvements brownien en 1 dimension. A chaque instant, un cours de bourse sur un actif donné va monter ou descendre, et ce de façon en apparence imprédictible, comme les petits sauts de ma particule. On peut essayer d’en faire un modèle simple.
[8 VOLATILITE]
Imaginons que chaque jour de cotation à la bourse, le cours du blé monte ou descende de 0.2€, à une chance sur 2. On peut simuler une trajectoire possible pour l’année entière à venir, et même plein de trajectoires différentes, puisqu’il y a une composante de hasard. Ca a l’air pas mal mais on voit que ça ne colle pas avec l’historique, ça varie bien trop peu. C’est parce que des sauts de 0.2€ par jour, ça n’est pas assez. On peut regarder avec 0.5€, 1€ voire 5€. On voit que l’amplitude générale colle plutôt pas mal avec des sauts de 1€. Cette valeur qui représente la taille typique des sauts, c’est ce qu’on appelle la volatilité, et c’est quelque chose qui va dépendre du cours qu'on considère, mais qu’on peut mesurer en utilisant un historique des cours passés.
Malgré tout, ce modèle où le cours fait un petit saut fixe à chaque instant est quand même un peu trop simpliste. On le voit bien sur les courbes qui ont des dents de scie, et on sait qu’en pratique la taille des sauts qu’on observe peut varier d’une fois sur l’autre. Plutôt que quelque chose de binaire qui monte ou qui descend d’une valeur fixe, on peut imaginer par exemple que la taille des sauts suive une distribution gaussienne.
[9 GAUSSIENNE]
La majorité du temps les sauts seront petits, en positif ou en négatif, et de temps en temps ils seront plus extrêmes. C’est le genre de variation qu’on constate en pratique sur les vrais cours de bourse. Et la largeur de la gaussienne, son écart-type, représente la volatilité du cours.
Et même encore mieux, on peut essayer de raisonner non pas sur les variations absolues, en euros ou en dollars, mais sur les variations en pourcentage, qui sont plus représentatives. Ce sont d’ailleurs des pourcentages qui sont toujours rapportés dans les infos boursières. Le modèle mathématique qu’on obtient alors s’appelle un mouvement brownien géométrique, et c’est la description typique que l’on utilise quand on veut modéliser un cours de bourse par un processus stochastique. Avec ce modèle, si on est capable d’estimer la volatilité à partir d’un historique du cours, on peut simuler plein d’évolutions possibles et crédibles de ce cours. Et donc créer des scénarios pour essayer de calculer le juste prix de notre option.
Voici comment on peut procéder : on utilise le modèle du mouvement brownien pour simuler une évolution possible du cours du blé. On regarde au bout d’un an combien cela va coûter à la banque, en fonction de si ça a dépassé ou pas le prix d’exercice. Et puis on recommence, des milliers de fois. Et on fait la moyenne. On trouvera alors le coût moyen de l’option pour la banque, ce que ça lui coûtera en moyenne d’honorer sa part du contrat. On peut appeler cela le juste prix, si on veut, même si en pratique le vrai prix sera plus élevé pour tenir compte des frais, du bénéfice, etc. Mais ce prix théorique permet de donner une référence.
Ici si on fait ces simulations avec disons 1 million de trajectoires possibles et un prix d’exercice de 220€, on trouve une valeur moyenne d’environ 8.5€. Ca représente le prix de référence de l’option qu'a proposé la banque à notre boulanger. Evidemment, le prix de l’option sera différent si on change le prix d’exercice. Si le prix d’exercice est plus élevé, disons 240€, l’option sera moins chère, environ seulement 4€.
[10 COURBE]
On peut même tracer la courbe du prix de l’option en fonction du prix d’exercice, et c’est une courbe décroissante. C’est logique que ça varie comme ça. Si le prix d’exercice est plus élevé, il y a moins de chance que le cours du blé atteigne cette valeur, donc moins de chance que l’option soit exercée. Donc ça coûte moins cher. Inversement avec un prix d’exercice plus bas, le prix de l’option sera plus élevé car elle a plus de chance de servir et donc de coûter de l’argent à la banque qui l’a émise.
Le prix de l’option va aussi dépendre du temps qui nous sépare de la date d’effet. Ici on a pris l’exemple d’un an. Mais si on prend 6 mois le prix de l’option sera plus faible, il y a moins de risque de forte variation en 6 mois qu'en un an. Et si on prend 2 ans ce sera l’inverse. En pratique c’est d’ailleurs rare que les options portent sur une durée si longue, la durée typique c’est plutôt quelques semaines ou quelques mois.
La méthode qu’on a utilisée ici, simuler plein de cours possibles et estimer ainsi le prix de l’option, c’est une méthode qu’on appelle parfois « Monte-Carlo ». C’est le nom générique qu’on donne à tout un tas de méthodes qui font intervenir des simulations d’un processus aléatoire. Ca marche bien mais c’est un peu fastidieux : ici c’était un cas simple et j’ai simulé un million de trajectoires. C’est facile avec un ordinateur moderne, mais il y a 50 ans c’était beaucoup moins faisable. Et c’est dans ce contexte qu’en 1973 a été publié une formule qui permet d’avoir directement la réponse sans faire ce genre de simulations : la fameuse formule de Black et Scholes.
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La formule dont on va parler est basée sur un modèle qui est donc dû aux économistes Fischer Black et Myron Scholes, qui l’auraient mise au point à la fin des années 70, mais publiée seulement en 1973, en même temps qu’un autre économiste : Robert Merton. Pour démontrer leur formule, ils ont raisonné sur la stratégie que peut mettre en place la banque, ou l’institution qui a créé et vendu l’option.
[ATTENTISME]
On l’a dit, la méthode de calcul Monte Carlo permet d’estimer le « juste prix » de l’option, mais en supposant que la banque a une sorte de stratégie attentiste : elle attend l’échéance, et en fonction du prix du marché de l’actif par rapport au prix d’exercice, cela va lui coûter plus ou moins cher d’honorer le contrat.
En moyenne, sur plein de situations différentes, cela lui coûtera ce « juste prix » qu’on a calculé. Mais d’une fois sur l’autre, ce sera très différent : parfois ça ne lui coutera rien, parfois ça lui coûtera beaucoup, si le cours termine avec un prix très différent du prix d’exercice. L’inconvénient de cette stratégie attentiste, c’est qu’elle génère de l’incertitude pour la banque. Parfois elle sera bénéficiaire, parfois elle sera déficitaire, il y a une grosse part de hasard, ce que les banques n’aiment pas trop. Or Black et Scholes ont montré qu’en adoptant une certaine stratégie d’investissement, moins attentiste, la banque pouvait, au moins en théorie, éliminer cette incertitude. C’est-à-dire faire en sorte que quelle que soit l’évolution du cours de bourse, cela lui coûte exactement la même chose de fournir le service : plus de hasard.
[DELTA NEUTRE]
L’idée est la suivante : quand l’option est vendue, la banque collecte la prime et va investir en partie dans l’actif concerné. Ici imaginons qu’elle achète du blé, mais pas forcément une tonne complète. Et ensuite au fur et à mesure que le cours change, elle va de façon continue ajuster la quantité qu’elle possède. Plus le cours augmente, plus elle devra en posséder afin de fournir le blé à échéance en cas d’exercice de l’option. Et inversement elle en conservera de moins en moins si le prix descend.
Et Black et Scholes ont montré qu’il existe une stratégie optimale de couverture en continu, qui élimine le hasard et l’incertitude. Cette stratégie porte un nom technique : ça s’appelle la couverture en delta neutre. Et nos deux économistes ont démontré qu’en suivant cette stratégie optimale qui élimine l’incertitude, le juste prix de l’option obéit à une certaine équation différentielle que vous pouvez voir ici.
[11 ED]
Les équations différentielles, ce sont des équations qui portent sur les fonctions, et qu’on croise généralement plutôt en physique, pour modéliser l’électromagnétisme, la mécanique des fluides ou encore les transferts de chaleur. Et d’ailleurs l’équation établie par Black et Scholes ressemble assez fortement aux équations de diffusion de la chaleur. Ils ont alors montré qu’on pouvait résoudre de façon exacte cette équation différentielle, et en tirer une formule qui donne directement le juste prix des options, en fonction de la volatilité des cours, du prix d’exercice et du temps avant la date d’exercice.
Et donc sans faire aucune simulation Monte-Carlo ou aucun calcul fastidieux, il est possible de déterminer le juste prix de tout un tas d’options, sur à peu près n’importe quel type de cours, quel que soit l’actif sous-jacent concerné.
Tout à l’heure quand on évoquait l’évolution des cours, je vous ai parlé de mouvement brownien, et je l’ai illustré avec l’image de particules qui diffusent dans de l’eau. Et maintenant on parle du juste prix des options et on se retrouve avec une équation différentielle qui ressemble à l’équation de la chaleur. Ca n’est pas un hasard, il y a un lien profond entre les deux.
Quand on parle de la diffusion de la chaleur, on peut adopter deux points de vues complémentaires. Soit un point de vue « microscopique », où on imagine des petits paquets d’énergie qui sautent aléatoirement à droite ou à gauche.
[12 MICRO MACRO]
Soit un point de vue macroscopique où on considère par exemple la température d’un objet en tout point, et on regarde comment cette température évolue globalement dans l’espace et dans le temps, en utilisant une équation différentielle.
D’un côté on a un processus microscopique stochastique, de l’autre côté une évolution macroscopique déterministe régie par une équation différentielle. Eh bien il se passe la même chose avec les cours de bourse et les prix des options. Et c’est un cas particulier d’une relation plus profonde mise en évidence par le physicien Richard Feynman et le mathématicien Robert Kac.
L’anecdote raconte que Feynman et Kac travaillaient tous les deux à l’université de Cornell aux Etats Unis, chacun dans son département. Et qu’un jour Kac est allé à un séminaire de Feynman où celui-ci présentait son approche de la mécanique quantique à partir de ce qu’on appelle les intégrales de chemin. Kac s’est alors rendu compte que Feynman et lui travaillaient en fait sur le même sujet mais de deux points de vue différents. Ils ont alors combiné leurs idées et ont pu démontrer un résultat général fascinant : pour toute une famille d’équations différentielles, comme l’équation de la chaleur, il est possible d’obtenir une solution en simulant un certain processus stochastique. Il aura fallu 20 ans de plus pour que cette correspondance mystérieuse soit reconnue et appliquée aux mathématiques financières, mais d’une certaine manière la formule de Black-Scholes peut être vue comme une déclinaison de la formule de Feynman-Kac.
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Depuis sa publication en 1973, la formule de Black-Scholes a eu un impact considérable sur la finance de marché. En permettant de fixer correctement le prix d’options portant sur tous types de produits financiers, elle a rendu possible le développement de toute l’ingénierie financière autour de ce qu’on appelle les produits dérivés. Car je vous ai parlé ici d’options qui permettaient d’acheter des matières premières ou des devises. Mais grâce à la formule de Black-Scholes, on peut émettre et fixer le prix d’options sur quasiment tout et n’importe quoi dont le cours fluctue : comme des actions, voire même d’autres options. Oui oui, des options sur des options.
D’ailleurs je vous ai présenté les options comme une sorte d’instrument d’assurance, qui permet à certains acteurs économiques de réduire leur exposition à des incertitudes. C’est un usage qui existe toujours aujourd’hui, mais les options sont aussi surtout utilisées à des fins de spéculation. Imaginez : vous pensez que le cours du blé va monter, vous en êtes convaincus parce que vous avez fait une analyse de ce marché qui vous fait penser ça. Une chose possible pour spéculer grâce à votre idée, c’est d’acheter du blé, et de le revendre s’il monte. Mais une autre possibilité, c’est d’acheter une option call. Si à échéance le prix du blé a effectivement monté comme vous l’aviez prédit, vous exercez votre option : vous achetez le blé pas cher grâce à elle, et vous le revendez immédiatement au prix du marché en empochant la différence. Et là pas besoin d’être boulanger ou quoi que ce soit, vous utilisez simplement l’option pour faire un pari à la hausse, et jamais vous n’entrez en possession physique du moindre grain de blé. Inversement vous pouvez utiliser les options put pour faire des paris à la baisse. Si vous pensez que le cours du blé va s’effondrer, vous achetez des options put qui vous permettront de faire l’inverse : si vous aviez raison, à échéance de l’option vous acheterez au prix du marché, donc pas cher, et vous revendrez immédiatement au prix d’exercice de l’option.
Ca peut paraitre un peu bizarre d’utiliser ce mécanisme d’option juste à cette fin. Si on voit l’option comme un mécanisme d’assurance, spéculer avec c’est comme de prendre une assurance sur un truc que vous ne possédez pas. Supposez : vous avez remarqué que votre voisin conduit très mal. Vous vous dites qu’il va finir par avoir un accident, et pour essayer de tirer un bénéfice de ça, vous décidez de prendre une assurance sur *sa* voiture. Evidemment en vrai on peut pas faire ça, heureusement, mais imaginez. Si je suis assuré contre les accidents de mon voisin, ben j’ai tout intérêt à ce qu’il se plante. Je m’assure contre un risque que je ne cours pas personnellement. Je vais donc espérer qu’il se crache pour toucher l’argent de l’assurance. Eh bien ce qu’il n’est pas possible de faire avec une assurance auto ou logement, on peut d’une certaine façon le faire avec les risques financiers, en jouant avec des options portant sur des risques auxquels on n’est pas forcément exposés, juste par spéculation.
En rendant simple et mathématique la question complexe du pricing des options, la formule de Black-Scholes a permis ce type de montage à des échelles vertigineuses. On estime en effet que le montant total couvert par les options en circulation dans le monde serait aujourd’hui d’environ 600 000 milliards de dollars.
Bien évidemment, la formule de Black-Scholes a aussi mené à des excès. Et il n’est pas rare que même les financiers chevronnés se plaignent de son rôle dans certaines crises financières et de son utilisation abusive. Comme a pu le faire par exemple le célèbre investisseur Warren Buffet. On peut aussi évoquer la retentissante faillite du fond d’investissement Long-Term Capital Management, un fond pourtant cofondé par Merton et Scholes, deux des découvreurs de la formule. Et ironiquement, leur fond s’est effondré un an après que ces derniers aient reçu le prix Nobel d’économie pour leurs travaux sur la fameuse équation.
Il ne faut en effet pas oublier que comme tout modèle mathématique, la formule de Black-Scholes repose sur certaines hypothèses assez contraignantes, et qui portent sur l’évolution stochastique des cours. J’ai évoqué notamment l’hypothèse du mouvement brownien géométrique, dont on sait qu’elle n’est pas rigoureusement exacte, et qu’elle néglige notamment certaines fluctuations de grande ampleur. Des fortes hausses ou baisses, dont on sait qu’elles se produisent parfois, même si elle ne devraient pas arriver si l’hypothèse du mouvement brownien géométrique était parfaitement correcte. Ce sont ces événements extrêmes que l’économiste Nassim Taleb appelle les cygnes noirs, et j’en avais d’ailleurs parlé dans ma vidéo qui comparait les tremblements de terre aux crachs boursiers, un autre bel exemple de correspondance entre finance et physique. Vous pouvez aller la voir si le sujet vous intéresse.
Voilà c’est tout pour aujourd’hui, n’oubliez pas de vous abonner si ça n’est pas déjà le cas. Je rappelle que cette vidéo n’est pas un cours de maths financières et encore moins un tutoriel d’investissement donc ne faites pas n’importe quoi. Merci à Gilles de la chaine Heureka, qui a gentiment accepté de relire mon script, vous pouvez allez voir sa chaîne et notamment la série de vidéo qu’il a consacré à la faillite du fond Long Term Capital Management dont j’ai parlé. Pour prolonger la discussion n’hésitez pas à venir sur le discord de science étonnante, le lien est en description, et moi je vous retrouve très vite pour une nouvelle vidéo. A bientôt.